1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 52 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.记 （分数：2.00）A.PQRB.QRPC.QPRD.RPQ3.(1)下列广义积分收敛的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.下列广义积分发散的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.已知 F(x)为函数 f(x)的一个原函数，且 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(sin 2 x)=cos2x+ta
2、n 2 x，则 f(x)= 1(0x1)（分数：2.00）填空项 1:_7. （分数：2.00）填空项 1:_8. （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)=x+ 0 a f(x)dx，a1，则 0 a f(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设封闭曲线 L 的极坐标方程为 r=cos3 （分数：2.00）填空项 1:_11.区域 D：(x 2 +y 2 ) 2 x 2 一 y 2 所围成的面积为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：22，分数：44.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.设 f(lnx)=
3、1+x，且 f(0)=1，求 f(x)（分数：2.00）_14.设 f(x)= （分数：2.00）_15.设 f(lnx)= （分数：2.00）_16.设 x0，可微函数 y=f(x)与反函数 x=g(y)满足 0 f(x) g(t)dt= （分数：2.00）_17.设函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=0，且其反函数为 g(x)若 0 f(x) g(t)dt=x 2 e x ，求f(x)（分数：2.00）_18.设 f(x)在(一，+)内可微，且 f(0)=0，又 f(lnx)= （分数：2.00）_19. （分数：2.00）_20.求不定积分 （分数：2.00）_21.求不定积分 （
4、分数：2.00）_22.求不定积分 （分数：2.00）_23.求不定积分sin 4 xcos 3 xdx（分数：2.00）_24.求不定积分 （分数：2.00）_25.求不定积分 （分数：2.00）_26.求不定积分 （分数：2.00）_27.求不定积分 （分数：2.00）_28.求不定积分 （分数：2.00）_29.求不定积分 （分数：2.00）_30.求不定积分cos(lnx)dx（分数：2.00）_31. （分数：2.00）_32.设连续函数 f(x)满足 0 x tf(xt)dt=1cosx，求 （分数：2.00）_33.设函数 y=y(x)满足微分方程 y“一 3y+2y=2e x
5、，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线 y=x 2 一 x+1在该点的切线重合，求函数 y=y(x)（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）模拟试卷 52 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.记 （分数：2.00）A.PQRB.QRPC.QPR D.RPQ解析：解析： Q= -1 1 (x 3 cosx-e -x )dx=一 -1 1 e -x dx0， 3.(1)下列广义积分收敛的是( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析： 1 +
6、 e -x dx=一 e -x | 1 + =e -1 收敛，应选(A) 4.下列广义积分发散的是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.已知 F(x)为函数 f(x)的一个原函数，且 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6.设 f(sin 2 x)=cos2x+tan 2 x，则 f(x)= 1(0x1)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 x 2 一 ln(1 一 x)+C）解析：解析： 7. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：
7、解析：8. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：9.设 f(x)=x+ 0 a f(x)dx，a1，则 0 a f(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 A= 0 a f(x)dx，则 f(x)=x+A，两边积分得 10.设封闭曲线 L 的极坐标方程为 r=cos3 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：曲线所围成的平面图形的面积为11.区域 D：(x 2 +y 2 ) 2 x 2 一 y 2 所围成的面积为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解
8、析：解析：设区域 D 位于第一卦限的区域为 D 1 ， 三、解答题(总题数：22，分数：44.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.设 f(lnx)=1+x，且 f(0)=1，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(lnx)=1+x 得 f(x)=1+e x ， f(x)=x+e x +C， 由 f(0)=1 得 C=0，故 f(x)=x+e x )解析：14.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 f(lnx)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 f(x)连续得 f(
9、x)连续，又由 f(1-0)=f(1)=e+C 1 ，f(1+0)=e+C 2 且f(1)=e 得 C 1 =C 2 =0， )解析：16.设 x0，可微函数 y=f(x)与反函数 x=g(y)满足 0 f(x) g(t)dt= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设函数 f(x)在0，+)上可导，f(0)=0，且其反函数为 g(x)若 0 f(x) g(t)dt=x 2 e x ，求f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 f(x) g(t)dt=x 2 e x 两边求导得 gf(x)f(x)=(x 2 +2x)e x ，整理得f(x)=(x+2)e x
10、，则 f(x)=(x+1)e x +C， 由 f(0)=0 得 C=一 1，故 f(x)=(x+1)e x 一 1)解析：18.设 f(x)在(一，+)内可微，且 f(0)=0，又 f(lnx)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 f(0)=0 得 C 1 =0，C 2 =一 2，故 f(x)= )解析：19. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.求不
11、定积分sin 4 xcos 3 xdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：sin 4 xcos 3 xdx=sin 4 x(1 一 sin 2 x)d(sinx)=(sin 4 xsin 6 x)d(sinx)= )解析：24.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.求不定积分 （分
12、数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.求不定积分cos(lnx)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设连续函数 f(x)满足 0 x tf(xt)dt=1cosx，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 0 x tf(x 一 t)dt x 0 x f(u)du 一 0 x uf(u)du 得 x 0 x f(u)du 一 0 x uf(u)du=1 一 cosx两边求导得 0 x f(u)du=sinx，故 )解析：33.设函数 y=y(x)满足微分方程 y“一 3y+2y=2e x ，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线 y=x 2 一 x+1在该点的切线重合，求函数 y=y(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 一 3+2=0，特征值为 1 =1， 2 =2，y“一 3y+2y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x 令特解 y 0 =axe x ，代入得 a=一 2， 原方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x 一 2x e x 曲线 y=x 2 一 x+1 在(0，1)处的斜率为 y| x=0 =一 1， 由题意得 y(0)=1，y(0)=一 1，从而 )解析：
