1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 51 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：1，分数：2.00)1.设 f(x)的一个原函数为 ln 2 x，则xf(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：31，分数：62.00)2.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_3.设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得 f()=一f()cot（分数：2.00）_4.设 f(x)在-a，a上连续，在(一 a，a)内可导，且 f(一 a)=f(a)(a0)，证明：存在 (一 a，a)，使得 f
2、()=2f()（分数：2.00）_5.设函数 f(x)在0，1上可微，且满足 f(1)= xf(x)dx(01)，证明：存在 (0，1)，使得f()= （分数：2.00）_6.设 f(x)在0，1上有二阶导数，且 f(1)=f(0)=f(1)=f(0)=0，证明：存在 (0，1)，使 f“()=f()（分数：2.00）_7.设 f(x)在a，b上连续可导，f(x)在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0， a b f(x)dx=0，证明：(1)在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()=f()； (2)在(a，b)内至少存在一点 ()，使得f“()=f()（分数：2.00）_8.设奇函数
3、 f(x)在一 1，1上二阶可导，且 f(1)=1，证明： (1)存在 (0，1)，使得 f()=1；(2)存在 (一 1，1)，使得 f“()+f()=1（分数：2.00）_9.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，证明：存在 (0，1)，使得 （分数：2.00）_10.设 f(x)在 上二阶连续可导，且 f(0)=0，证明：存在 ， ，使得 （分数：2.00）_11.若函数 f(x)在0，1上二阶可微，且厂 f(0)=f(1)，|f”(x)|1，证明：|f(x)| （分数：2.00）_12.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明：2x 0 x f(t)dt=1 在(0，
4、1)内有且仅有一个实根（分数：2.00）_13.证明：方程 x a =lnx(a0)在(0，+)内有且仅有一个根（分数：2.00）_14.设 f n (x)=C n 1 cosxC n 2 cos 2 x+(一 1) n-1 C n n cos n x，证明：对任意自然数 n，方程 在区间 （分数：2.00）_15.设 f(x)在0，1上连续、单调减少且 f(x)0，证明：存在 c(0，1)，使得 0 c f(x)dx=(1 一 c)f(c)（分数：2.00）_16.求在 x=1 时有极大值 6，在 x=3 时有极小值 2 的三次多项式（分数：2.00）_17.求函数 f(x)= （分数：2.
5、00）_18.设 f(x)为一 2，2上连续的偶函数，且 f(x)0，F(x)= -2 2 |xt|f(t)dt，求 F(x)在一 2，2上的最小值点（分数：2.00）_19.求函数 f(x)= （分数：2.00）_20.f(x，y)=x 3 +y 3 一 3xy 的极小值（分数：2.00）_21.设 y=f(x)= （分数：2.00）_22.设 f(x)= （分数：2.00）_23.设 g(x)在a，b上连续，且 f(x)在a，b上满足 f“(x)+g(x)f(x)一 f(x)=0，又 f(a)=f(b)=0，证明：f(x)在a，b上恒为零（分数：2.00）_24.求函数 （分数：2.00）
6、_25.设 y=y(x)由 x 2 y 2 +y=1(y0)确定，求函数 y=y(x)的极值（分数：2.00）_26.求 f(x)= 0 1 |xt|dt 在0，1上的最大值、最小值（分数：2.00）_27.当 x0 时，证明： （分数：2.00）_28.当 x0 时，证明： 0 x (t 一 t 2 )sin 2n tdt （分数：2.00）_29.证明：当 0x1 时，e -2x （分数：2.00）_30.设 0ab （分数：2.00）_31.求 （分数：2.00）_32.求微分方程 yy“+(y) 2 =0 的满足初始条件 y(0)=1，y(0)= （分数：2.00）_考研数学二（高等数
7、学）模拟试卷 51 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：1，分数：2.00)1.设 f(x)的一个原函数为 ln 2 x，则xf(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2lnx 一 ln 2 x+C）解析：解析：由题意得 二、解答题(总题数：31，分数：62.00)2.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：3.设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，证明：至少存在一点 (0，)，使得 f()=一f()cot（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)sinx，(0)=()=
8、0， 由罗尔定理，存在 (0，)，使得()=0， 而 (x)=f(x)sinx+f(x)cosx， 于是 f()sin+f()cos=0，故 f()=一f()cot)解析：4.设 f(x)在-a，a上连续，在(一 a，a)内可导，且 f(一 a)=f(a)(a0)，证明：存在 (一 a，a)，使得 f()=2f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 f(一 a)=f(a)得 (-a)=(a)， 由罗尔定理，存在 (一 a，a)，使得 ()=0， )解析：5.设函数 f(x)在0，1上可微，且满足 f(1)= xf(x)dx(01)，证明：存在 (0，1)，使得f()= （分数：2.
9、00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=xf(x)， 由积分中值定理得 f(1)= .cf(c).=cf(c)，其中c0， 从而 (c)=(1)，由罗尔中值定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 ()=0 而 (x)=f(x)+xf(x)，故 f()= )解析：6.设 f(x)在0，1上有二阶导数，且 f(1)=f(0)=f(1)=f(0)=0，证明：存在 (0，1)，使 f“()=f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e -x f(x)+f(x)， (0)=(1)=0，由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()=0， 而 (x)=e -a f“(x)一 f(x)且 e
10、 -x 0，故 f”()=f()解析：7.设 f(x)在a，b上连续可导，f(x)在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0， a b f(x)dx=0，证明：(1)在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()=f()； (2)在(a，b)内至少存在一点 ()，使得f“()=f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 F(x)= a x f(t)dt，F(a)=F(b)=0， 由罗尔定理，存在 c(a，b)，使得F(c)=0，即 f(c)=0 令 h(x)=e -x f(x)，h(a)=h(c)=0， 由罗尔定理，存在 (a，c)，使得 h()=0， 由 h(x)=e -x f
11、(x)一 f(x)且 e -x 0，故 f()=f() (2)同理，由 h(c)=h(b)=0，则存在 (c，b)，使得 f()=f() 令 (x)=e x f(x)一 f(x),()=()=0， 由罗尔定理，存在 (，) )解析：8.设奇函数 f(x)在一 1，1上二阶可导，且 f(1)=1，证明： (1)存在 (0，1)，使得 f()=1；(2)存在 (一 1，1)，使得 f“()+f()=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 h(x)=f(x)一 x， 因为 f(x)在一 1，1上为奇函数，所以 f(0)=0， 从而h(0)=0，h(1)=0， 由罗尔定理，存在 (0，1
12、)，使得 h()=0， 而 h(x)=f(x)一 1，故(0，1)，使得 f()=1 (2)令 (x)=e x f(x)一 1， 因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)为偶函数，由 f()=1 得 f(一 )=1 因为 (一 )=()，所以存在 (一 ，) )解析：9.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，证明：存在 (0，1)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=arctanx，F(x)= 0，由柯西中值定理，存在 (0，1)，)解析：10.设 f(x)在 上二阶连续可导，且 f(0)=0，证明：存在 ， ，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
13、令 F(x)=一 cos2x，F(x)=2 sin2x0 由柯西中值定理，存在 使得)解析：11.若函数 f(x)在0，1上二阶可微，且厂 f(0)=f(1)，|f”(x)|1，证明：|f(x)| （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 )解析：12.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明：2x 0 x f(t)dt=1 在(0，1)内有且仅有一个实根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=2x 0 x f(t)dt 一 1， (0)=一 1，(1)=1 一 0 1 f(t)dt， 由f(x)1 得 0 1 f(t)dt1，从而 (1)=1- 0 1 f
14、(t)dt0， 由零点定理，存在 c(0，1)，使得(C)=0，即方程 2x 一 0 x f(t)dt=1 至少有一个实根 因为 (x)=2 一 f(x)0，所以 (x)在0，1上严格递增，故 2x- 0 x f(t)dt=1 在(0，1) 内有且仅有一个实根)解析：13.证明：方程 x a =lnx(a0)在(0，+)内有且仅有一个根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x a 一 lnx，f(x)在(0，+)连续， 因为 f(1)=10， 所以 f(x)在(0，+)内至少有一个零点，即方程 x a =lnx 在(0，+)内至少有一个根 因为 f(x)=ax a-1 一 )
15、解析：14.设 f n (x)=C n 1 cosxC n 2 cos 2 x+(一 1) n-1 C n n cos n x，证明：对任意自然数 n，方程 在区间 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f n (x)=C n 1 cosxC n 2 cos 2 x+(一 1) n-1 C n n cos n x 得 f n (x)=1一(1 一 cosx) n ， 因为 g(x)=一 n(1 一 cosx) n-1 sinx0 所以 g(x)在 内有唯一的零点，从而方程 )解析：15.设 f(x)在0，1上连续、单调减少且 f(x)0，证明：存在 c(0，1)，使得 0 c f(x)
16、dx=(1 一 c)f(c)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=(x 一 1) 0 x f(t)dt， 因为 (0)=(1)=0，所以存在 c(0，1)，使得 (c)=0， 而 (x)= 0 x f(t)dt+(x 一 1)f(x)， 于是 0 c f(x)dx=(1 一 c)f(c)解析：16.求在 x=1 时有极大值 6，在 x=3 时有极小值 2 的三次多项式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=ax 3 +bx 2 +cx+d， 由 f(1)=6，f(1)=0，f(3)=2，f(3)=0 得 )解析：17.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确
17、答案：(正确答案：显然 f(x)为偶函数，只研究 f(x)在0，+)上的最小值和最大值 )解析：18.设 f(x)为一 2，2上连续的偶函数，且 f(x)0，F(x)= -2 2 |xt|f(t)dt，求 F(x)在一 2，2上的最小值点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(x)= -2 2 |xt|f(t)dt= -2 x (xt)f(t)dt+ x 2 (t 一 x)f(t)dt =x -2 x f(t)dt -2 x tf(t)dt 2 x tf(t)dt+x 2 x f(t)dt， F(x)= -2 x f(t)dt+ -2 x f(t)dt= -2 0 f(t)dt+ 0 x
18、 f(t)dt+ 2 0 f(t)dt+ 0 x f(t)dt， 因为 -2 0 f(t)dt= 0 2 f(t)dt，所以 F(x)=2 0 x f(t)dt 因为 f(x)0，所以 F(x)=0 得 x=0， 又因为 F“(x)=2f(x)，F”(0)=2f(0)0，所以 x=0 为 F(x)在(一 2，2)内唯一的极小值点，也为最小值点)解析：19.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.f(x，y)=x 3 +y 3 一 3xy 的极小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：21.设 y=f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(
19、正确答案： f(0)=f(00)=1，由 f(0)=f(00)=f(0+0)=1 得 f(x)在 x=0 处连续 (2)当 x0 时，由 f(x)=2x 2x (1+lnx)=0 得 当 x0 时，f(x)=10 当 x0 时，f(x)0；当 0x 时，f(x)0；当 x 时，f(x)0， 则 x=0 为极大点，极大值为 f(0)=1； )解析：22.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 f - (0)f + (0)，所以 f(x)在 x=0 处不可导 )解析：23.设 g(x)在a，b上连续，且 f(x)在a，b上满足 f“(x)+g(x)f(x)一 f(x)=0
20、，又 f(a)=f(b)=0，证明：f(x)在a，b上恒为零（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)在区间a，b上不恒为零，不妨设存在 x 0 (a，b)，使得 f(x 0 )0，则 f(x)在(a，b)内取到最大值，即存在 c(a，b)，使得 f(c)=M0，且 f(c)=0，代入得 f“(c)=f(c)=M0，则 x=c 为极小值点，矛盾，即 f(x)0，同理可证明 f(x)0，故 f(x)0(axb)解析：24.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 得 x=一 1，x=0 当 x一 1 时，y0；当一 1x0 时，y0；当x0 时，y0， 得 y=x 一 2
21、为曲线的斜渐近线； )解析：25.设 y=y(x)由 x 2 y 2 +y=1(y0)确定，求函数 y=y(x)的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 2 y 2 +y=1 两边关于 x 求导得 )解析：26.求 f(x)= 0 1 |xt|dt 在0，1上的最大值、最小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)= 0 1 |x 一 t|dt= 0 x (xt)dt+ x 1 (tx)dt )解析：27.当 x0 时，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.当 x0 时，证明： 0 x (t 一 t 2 )sin 2n tdt （分数：2.00）
22、_正确答案：(正确答案：令 f(x)= 0 x (t 一 t 2 )sin 2n tdt， 令 f(x)=(xx 2 )sin 2n x=0 得x=1，x=k(k=1，2，)， 因为当 0x1 时，f(x)0；当 x1 时，f(x)0， 所以 x=1 时，f(x)取最大值， )解析：29.证明：当 0x1 时，e -2x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 等价于一 2xln(1-x)一 ln(1+x)， 令 f(x)=ln(1+x)一 ln(1 一 x)一2x，f(0)=0， )解析：30.设 0ab （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.求微分方程 yy“+(y) 2 =0 的满足初始条件 y(0)=1，y(0)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 yy”+(y) 2 =0 得(yy)=0，从而 yy=C 1 ， )解析：
