1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 50 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：32，分数：64.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_2.设 y=f(x)与 y=sinx 在原点相切，求 （分数：2.00）_3.设 f(x)在(一，+)有定义，f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f(0)=a，求 f(x)（分数：2.00）_4.设 f(x)可导，y=f(cos 2 x)，当 x= 处取增量x=一 02 时，y 的线性部分为 02，求 （分数：2.00）_5.设 y=x sin2x ，求 y（分数：2.00）_6.设 （
2、分数：2.00）_7.设 y=x(sinx) cosx ，求 dy（分数：2.00）_8.设函数 y=y(x)由 2 xy =x+y 确定，求 dy| x=0 （分数：2.00）_9.设函数 y=y(x)由 x+y=tany 确定，求 dy（分数：2.00）_10.设 y=y(x)由 ln(x 2 +y)=x 3 y+sinx 确定，求 （分数：2.00）_11.求 2y 一 x=(xy)ln(xy)确定的函数 y=y(x)的微分 dy（分数：2.00）_12.设由 sinxy+ln(yx)=x 确定函数 y=y(x)，求 y(0)（分数：2.00）_13.设由 e -y +x(yx)=1+x
3、 确定 y=y(x)，求 y“(0)（分数：2.00）_14.设 y=y(x)由 确定，求 （分数：2.00）_15.设 siny+xe y =0，当 y=0 时，求 （分数：2.00）_16.设 y=y(x)由 (x0)所确定，求 （分数：2.00）_17.设 x=x(t)由 sint t x(t) (u)du=0 确定，(0)=(0)=1 且 (u)0 为可导函数，求 x”(0)（分数：2.00）_18.证明：曲线 （分数：2.00）_19.设函数 y=y(x)由方程组 （分数：2.00）_20.设 （分数：2.00）_21.求 （分数：2.00）_22.设 y=y(x)由 （分数：2.0
4、0）_23.设 f(x)= 其中 g(x)= 0 cosx (1+sin 2 t)dt，求 （分数：2.00）_24.设 y=e x sinx，求 y (n) （分数：2.00）_25. （分数：2.00）_26. （分数：2.00）_27.f(x)=x 4 ln(1 一 x)，当 n4 时，求 f (n) (0)（分数：2.00）_28.设 y=x 2 ln(1+2x)，求 y (6) （分数：2.00）_29.设 f(x)= （分数：2.00）_30.设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，证明：存在 (0，3)，使得 f()=0
5、（分数：2.00）_31.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)且 f(a)=0，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_32.解方程(3x 2 +2)y“=6xy，已知其解与 e x 一 1(x0)为等价无穷小（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）模拟试卷 50 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：32，分数：64.00)1.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：2.设 y=f(x)与 y=sinx 在原点相切，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意得 f(0)=0，f(0)=co
6、sx| x=0 =1， )解析：3.设 f(x)在(一，+)有定义，f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f(0)=a，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=0，y=0 得 f(0)=0 )解析：4.设 f(x)可导，y=f(cos 2 x)，当 x= 处取增量x=一 02 时，y 的线性部分为 02，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：5.设 y=x sin2x ，求 y（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：6.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：7.设 y=x(sinx) cosx ，求 dy（分数：2.00
7、）_正确答案：(正确答案：lny=lnx+coslnsinx，两边微分得 )解析：8.设函数 y=y(x)由 2 xy =x+y 确定，求 dy| x=0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x=0 时，y=1 2 xy =x+y 两边关于 x 求导得 )解析：9.设函数 y=y(x)由 x+y=tany 确定，求 dy（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x+y=tany 两边关于 x 求导得 )解析：10.设 y=y(x)由 ln(x 2 +y)=x 3 y+sinx 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=0 代入得 y=1， ln(x 2 +y)=x 3
8、y+sinx 两边关于 x 求导得 =3x 2 y+x 3 y+cosx， 将 x=0，y=1 代入得 )解析：11.求 2y 一 x=(xy)ln(xy)确定的函数 y=y(x)的微分 dy（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：2yx=(xy)ln(xy)关于 x 求导得 )解析：12.设由 sinxy+ln(yx)=x 确定函数 y=y(x)，求 y(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=0 时，y=1， sinxy+ln(yx)=x 两边对 x 求导得 将 x=0，y=1 代入得)解析：13.设由 e -y +x(yx)=1+x 确定 y=y(x)，求 y“(0)（分数：
9、2.00）_正确答案：(正确答案：x=0 时，y=0 e -y +x(yx)=1+x 两边关于 x 求导得 一 e -y y+y 一 x+x(y一 1)=1，则 y(0)=一 1； 一 e -y y+yx+x(y一 1)=1 两边关于 x 求导得 e -y (y) 2 一 e -y y“+2(y一 1)+xy“=0，代入得 y”(0)=一 3)解析：14.设 y=y(x)由 确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=0 时，y=1 )解析：15.设 siny+xe y =0，当 y=0 时，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=0 时，x=0 siny+xe y =0
10、 两边关于 x 求导得 )解析：16.设 y=y(x)由 (x0)所确定，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 x=x(t)由 sint t x(t) (u)du=0 确定，(0)=(0)=1 且 (u)0 为可导函数，求 x”(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：t=0 时，x(0)=0 sint t x(t) (u)du=0 两边关于 t 求导得 cost 一 x(t)x(t)+(t)=0，取 t=0 得 x(0)=2； 两边再关于 t 求导可得一 sint 一 x(t)x(t) 2 一x(t)x“(t)+(t)=0， 取 t=0 得 x”(0)=一
11、3)解析：18.证明：曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设函数 y=y(x)由方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：t=0 时，x=0，y=一 1， )解析：20.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y= 0 t sin(ts) 2 ds=一 0 t sin(ts) 2 d(t 一 s)= 0 t sinu 2 du， )解析：21.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 r=1+cos 的参数方程为 )解析：22.设 y=y(x)由 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 f(x)= 其中 g(x)= 0
12、cosx (1+sin 2 t)dt，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 y=e x sinx，求 y (n) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 A(2x 一 1)+B(x+1)=33x 得 解得 A=一 2B=1 )解析：26. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.f(x)=x 4 ln(1 一 x)，当 n4 时，求 f (n) (0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设 y=x 2 ln(1+2x)，求 y (6) （分数：2.00）_正确
13、答案：(正确答案：y (5) =C 5 0 x 2 ln(1+2x) (5) +C 5 1 2xln(1+2x) (4) +C 5 2 2ln(1+2x) (3) ， )解析：29.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 当 x(0，1)时，f(x)=-x， 当 01 时，由 f(2)一 f(0)=2f()得一 1=一 2，解得 当 12 时，由 f(2)一 f(0)=2f()得一 1= )解析：30.设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1，证明：存在 (0，3)，使得 f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正
14、确答案：因为 f(x)在0，3上连续，所以 f(x)在0，3上取到最小值 m 和最大值 M 3mf(0)+f(1)+f(2)3M，即 m1M， 由介值定理，存在 c0，3，使得 f(c)=1 因为 f(c)=f(3)=1，所以由罗尔定理，存在 (c，3) )解析：31.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)且 f(a)=0，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=(b 一 x) a f(x)， 因为 (a)=(b)=0，所以存在 (a，b)，使得()=0， 而 (x)=一 a(b 一 x) a-1 f(x)+(b 一 x) a f(x)，故 f()= )解析：32.解方程(3x 2 +2)y“=6xy，已知其解与 e x 一 1(x0)为等价无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 从而 y=C 1 (3x 2 +2)，解得 y=C 1 x 3 +2C 1 x+C 2 ， 因为 C 1 x 3 +2C 1 x+C 2 e x 一 1x，所以 C 2 =0， )解析：
