1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 49 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：15，分数：30.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=a 处可导，则 （分数：2.00）A.f(a)B.2f(a)C.0D.f(2a)3.F(x)=cosx|sin2x|在(0，2)内( )（分数：2.00）A.有一个不可导点B.有两个不可导点C.有三个不可导点D.可导4.设 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导5.设 f(x)可导，且 F(x)=f(x)(1
2、+|sinx|)在 x=0 处可导，则( )（分数：2.00）A.f(0)=0B.f(0)=0C.f(0)=f(0)D.f(0)=一 f(0)6.设 f(x)可导，则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.若曲线 y=x 2 +ax+b 与曲线 2y=一 1+xy 3 在(1，一 1)处相切，则( )（分数：2.00）A.a=3，b=1B.a=1，b=3C.a=一 1，b=一 1D.a=1，b=18.设 f(x)二阶连续可导且满足 f“(x)+f 2 (x)=2x，且 f(0)=0，则( )（分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大值点B.x=0 为 f(x)的极小
3、值点C.(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 既非 f(x)的极值点，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点9.若函数 f(-x)=f(x)(一x+)，在(一，0)内 f(x)0 且 f“(x)0，则在(0，+)内有( )（分数：2.00）A.f(x)0，f“(x)0B.f(x)0，f“(x)0C.f(x)0，f”(x)0D.f(x)0，f“(x)010.设 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f”(x)0，又y=f(x+x)一 f(x)，则当x0 时有( )（分数：2.00）A.ydy0B.ydy0C.dyy0D.dyy011.设 f(x)在(一,+)上连续，F(x)= 0 x
4、f(t)dt，则下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)为偶函数，则 F(x)为奇函数B.若 f(x)为奇函数，则 F(x)为偶函数C.若 f(x)为以 T 为周期的偶函数，则 F(x)为以 T 为周期的奇函数D.若 f(x)为以 T 为周期的奇函数，则 F(x)为以 T 为周期的偶函数12.设 f(x)为连续的奇函数，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极小点B.x=0 为 f(x)的极大点C.曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线平行于 x 轴D.曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线不平行于 x 轴13.设偶函数 f(x)有连续的二阶导数，并且 f“(0)0，
5、则 x=0( )（分数：2.00）A.不是函数的驻点B.一定是函数的极值点C.一定不是函数的极值点D.不能确定是否是函数的极值点14.曲线 上 t=1 对应的点处的曲率半径为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.15.下列曲线有斜渐近线的是( )（分数：2.00）A.B.y=x 2 +sinxC.D.y=x 2 +sin 2 x二、填空题(总题数：6，分数：12.00)16.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_17.的斜渐近线为 1 （分数：2.00）填空项 1:_18.函数 y=x2 x 的极小值点为 1（分数：2.00）填空项 1:_19.函数 y=x+2co
6、sx 在 （分数：2.00）填空项 1:_20.设函数 y=y(x)由 e 2x+y -cosxy=e 一 1 确定，则曲线 y=y(x)在 x=0 对应点处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_21.椭圆 2x 2 +y 2 =3 在点(1，一 1)处的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.设 f(x)= （分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_25. （分数：2.00）_26.求 f(x)的连续区间及间断点 （分数：2.00）_27.求函数
7、（分数：2.00）_28.设 f(x)在(0，1)内有定义，且 e x f(x)与 e -f(x) 在(0，1)内都是单调增函数，证明：f(x)在(0，1)内连续（分数：2.00）_29.设 f(x)= （分数：2.00）_30.设 f(x)=3x 2 +x 2 |x|，求使得 f (n) (0)存在的最高阶数 n（分数：2.00）_31.设函数 y=y(x)可导并满足 y“+(x 一 1)y+x 2 y=e x ，且 y(0)=1，若 （分数：2.00）_32.设 f(x)是以 4 为周期的可导函数，f(1)= （分数：2.00）_33.已知微分方程 y+y=f(x)，其中 f(x)= （分
8、数：2.00）_考研数学二（高等数学）模拟试卷 49 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：15，分数：30.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=a 处可导，则 （分数：2.00）A.f(a)B.2f(a) C.0D.f(2a)解析：解析：3.F(x)=cosx|sin2x|在(0，2)内( )（分数：2.00）A.有一个不可导点 B.有两个不可导点C.有三个不可导点D.可导解析：解析： F(x)=0x= 不可导，F - ()F + () 同理 4.设 f(x)= （分数：2.00
9、）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导 解析：解析：由 f(10)=f(1)=1，f(1+0)=1 得 f(x)在 x=1 处极限存在且连续 5.设 f(x)可导，且 F(x)=f(x)(1+|sinx|)在 x=0 处可导，则( )（分数：2.00）A.f(0)=0 B.f(0)=0C.f(0)=f(0)D.f(0)=一 f(0)解析：解析：F(0)=f(0)， 6.设 f(x)可导，则下列结论正确的是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析： 应选(B) 事实上，对任意的 M0， 因为 =+，所以存在 X 0 0，当 xX 0 时，有 f(x)M 0 当
10、 xX 0 时，f(x)一 f(X 0 )=f()(xX 0 )M(xX 0 )(X 0 x)，从而 f(x)f(X 0 )+M(x-X 0 )，两边取极限得 7.若曲线 y=x 2 +ax+b 与曲线 2y=一 1+xy 3 在(1，一 1)处相切，则( )（分数：2.00）A.a=3，b=1B.a=1，b=3C.a=一 1，b=一 1 D.a=1，b=1解析：解析：由 y=x 2 +ax+b 得 y=2x+a； 2y=一 1+xy 3 两边对 x 求导得 2y=y 3 +3xy 2 y，解得 因为两曲线在(1，一 1)处相切，所以 8.设 f(x)二阶连续可导且满足 f“(x)+f 2 (
11、x)=2x，且 f(0)=0，则( )（分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大值点B.x=0 为 f(x)的极小值点C.(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 既非 f(x)的极值点，(0，f(0)也非 y=f(x)的拐点解析：解析：取 x=0 得 f“(0)=0 由 f“(x)+f 2 (x)=2x 得 f“(x)+2f(x)f“(x)=2，从而 f“(0)=2 因为 ，所以存在 0，当 0|x| 时， 从而 9.若函数 f(-x)=f(x)(一x+)，在(一，0)内 f(x)0 且 f“(x)0，则在(0，+)内有( )（分数：2.00）A.f(x)0，f“(x)0B
12、.f(x)0，f“(x)0C.f(x)0，f”(x)0 D.f(x)0，f“(x)0解析：解析：因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，f“(x)为偶函数，从而在(0，+)内有 f(x)0，f“(x)0，应选(C)10.设 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f”(x)0，又y=f(x+x)一 f(x)，则当x0 时有( )（分数：2.00）A.ydy0 B.ydy0C.dyy0D.dyy0解析：解析：y=f(x+x)一 f(x)=f(c)x(xcx+x)， 由 f(x)0，f“(x)0 得 f(c)xf(x)x0，即ydy0，应选(A)11.设 f(x)在(一,+)上连续，F(x)=
13、0 x f(t)dt，则下列命题错误的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)为偶函数，则 F(x)为奇函数B.若 f(x)为奇函数，则 F(x)为偶函数C.若 f(x)为以 T 为周期的偶函数，则 F(x)为以 T 为周期的奇函数 D.若 f(x)为以 T 为周期的奇函数，则 F(x)为以 T 为周期的偶函数解析：解析：取 f(x)=1 一 cosx，f(x)是以 2 为周期的偶函数，而 F(x)= 0 x (1 一 cost)dt=xsinx，F(x)不是以 2 为周期的奇函数，应选(C)12.设 f(x)为连续的奇函数，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极小点B.x=0
14、为 f(x)的极大点C.曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线平行于 x 轴 D.曲线 y=f(x)在 x=0 处的切线不平行于 x 轴解析：解析：由13.设偶函数 f(x)有连续的二阶导数，并且 f“(0)0，则 x=0( )（分数：2.00）A.不是函数的驻点B.一定是函数的极值点 C.一定不是函数的极值点D.不能确定是否是函数的极值点解析：解析：因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，从而 f(0)=0 因为 f(0)=0，而 f”(0)0，所以 x=0 一定是 f(x)的极值点，应选(B)14.曲线 上 t=1 对应的点处的曲率半径为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.
15、解析：解析：15.下列曲线有斜渐近线的是( )（分数：2.00）A. B.y=x 2 +sinxC.D.y=x 2 +sin 2 x解析：解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)16.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a=3）填空项 1:_ （正确答案：b=一 2）解析：解析：f(10)=f(1)=a+b，f(1+0)=1， 因为 f(x)在 x=1 处连续，所以 a+b=1；17.的斜渐近线为 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=一 x 一 2 及 y=x+2）解析：解析：18.函数 y=x2 x 的极小值点为 1（分
16、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 y=2 x +x2 x ln2=2 x (1+xln2)=0 得 当 时，y0， 故 x= 19.函数 y=x+2cosx 在 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 y=12sinx=0 得 y“=一 2cosx，因为 为 y=x+2cosx 的极大值点，也是最大值点，故最大值为20.设函数 y=y(x)由 e 2x+y -cosxy=e 一 1 确定，则曲线 y=y(x)在 x=0 对应点处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x
17、=0 时，y=1， e 2x+y 一 cosxy=e 一 1 两边对 x 求导得 21.椭圆 2x 2 +y 2 =3 在点(1，一 1)处的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=2x 一 3）解析：解析：2x 2 +y 2 =3 两边对 x 求导得 4x+2yy=0，即 三、解答题(总题数：12，分数：24.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25. （分数：2.00）_正确
18、答案：(正确答案： 因为 f(0 一 0)f(0+0)，所以 )解析：26.求 f(x)的连续区间及间断点 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： f(x)的连续区间为(一，1)(1，+) 因为 )解析：27.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=0，x=1 及 x=2 为函数的间断点 )解析：28.设 f(x)在(0，1)内有定义，且 e x f(x)与 e -f(x) 在(0，1)内都是单调增函数，证明：f(x)在(0，1)内连续（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 c(0，1)， 当 xc 时，由 e x f(x)e c f(c)及 e -f(x) e
19、-f(x) 得f(c)f(x)e c-x f(c)， 令 xc - 得 f(c 一 0)=f(c)； 当 xc 时，由 e x f(x)e x f(c)及 e -f(x) e -f(c) 得 f(c)f(x)e c-x f(c)， 令 xc + 得 f(c+0)=f(c)， 因为 f(c-0)=f(c+0)=f(c)，所以f(x)在 x=c 处连续，由 c 的任意性得 f(x)在(0，1)内连续)解析：29.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(一 1)=f(一 1)+g(一 1)=11=0， F(一 10)=f(-1-0)+g(一 1 一 0)=a 一 1， F(一
20、1+0)=f(-1+0)+g(一 1+0)=11=0， 由 F(x)在 x=一 1 处连续，所以 a=1； F(1)=f(1)+g(1)=一 1+b， F(10)=f(10)+g(10)=一 1+1=0， F(1+0)=f(1+0)+g(1+0)=一 1+b， 由 F(x)在 x=1 处连续得 b=1，故a=1，b=1)解析：30.设 f(x)=3x 2 +x 2 |x|，求使得 f (n) (0)存在的最高阶数 n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设函数 y=y(x)可导并满足 y“+(x 一 1)y+x 2 y=e x ，且 y(0)=1，若 （分数：2.00）_正
21、确答案：(正确答案：由 得 y(0)=0， )解析：32.设 f(x)是以 4 为周期的可导函数，f(1)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 f(x)以 4 为周期，所以 f(5)=f(1)= f(5)=f(1)=一 2， 故y=f(x)在(5，f(5)的法线方程为 )解析：33.已知微分方程 y+y=f(x)，其中 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 0x1 时，y+y=2 的通解为 y=C 1 e -x +2； 当 x1 时，y+y=0 的通解为 y=C 2 e -x ， 由 y(0)=0 得 C 1 =-2，再由 C 1 e -1 +2=C 2 e -1 得 C 2 =2e 一 2， 故所求的特解为 )解析：
