1、考研数学二(高等数学)-试卷 8 及答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.下列命题正确的是( )(分数:2.00)A.若f(x)在 x=a 处连续,则 f(x)在 x=a 处连续B.若 f(x)在 x=a 处连续,则f(x)在 x=a 处连续C.若 f(x)在 x=a 处连续,则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续D.若3.设 为 f(x)=arctanx 在0,a上使用微分中值定理的中值,则 为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.4.下列说法中正
2、确的是( )(分数:2.00)A.若 f“(x 0 )0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值,则当 x(x 0 -,x 0 )时,f(x)单调增加,当 X(x 0 ,x 0 +)时,f(x)单调减少C.f(x)在 x 0 取极值,则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数,f“(0)0,则 f(x)在 x=0 处一定取到极值5.设 (分数:2.00)A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微D.一阶连续可偏导二、填空题(总题数:3,分数:6.00)6. (分数:2.00)填空项 1:_7. (分数:2.00)填空项 1:_8.设 f(x)满足 f(x)=f(x+2),
3、f(0)=0,又在(-1,1)内 f“(x)=x,则 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:16,分数:40.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 f(x)在0,2上连续,且 f(0)=0,f(1)=1证明:(分数:4.00)(1).存在 cE(0,1),使得 f(C)=1-2c;(分数:2.00)_(2).存在 0,2,使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()(分数:2.00)_10.设 f(x)在a,b上连续,任取 x i a,b(i=1,2,n),任取 k i 0(i=1,2,n),证明:存在 a,b,使得 k 1 f(X 1 )+k 2 f
4、(x 2 )+k n f(x 2 )=(k 1 +k 2 +k n )f()(分数:2.00)_11.设 f(x)在 x=0 的邻域内二阶连续可导, (分数:2.00)_设 f(x)在-a,a(a0)上有四阶连续的导数, (分数:4.00)(1).写出 f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式;(分数:2.00)_(2).证明:存在 1 , 2 -a,a,使得 (分数:2.00)_设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 f(a)=f(b)=0, a b f(x)dx=0证明:(分数:8.00)(1).存在 c(a,b),使得 f(f)=0;(分数:2.00)_(2).存在 i (a,
5、b)(i=1,2),且 1 2 ,使得 f“( i )+f( i )=0(i=1,2);(分数:2.00)_(3).存在 (a,b),使得 f“()=f();(分数:2.00)_(4).存在 (a,b),使得 f“()-3f“()+2f()=0(分数:2.00)_12.设 a 1 a 2 a n ,且函数 f(x)在a 1 ,a n 上 n 阶可导,ca 1 ,a n 且 f(a 1 )=f(a 2 )=f(a n )=0证明:存在 (a 1 ,a n ),使得 (分数:2.00)_13.设 f(x)连续, 0 x tf(x-t)dt=1-cosx,求 (分数:2.00)_14.设 f(x)在
6、0,+)上连续,非负,且以 T 为周期,证明: (分数:2.00)_15. (分数:2.00)_16.求 z=x 2 +12xy+2y 2 在区域 4x 2 +y 2 25 上的最值(分数:2.00)_17.设 f(x)连续,且 f(0)=1,令 F(t)= (分数:2.00)_18.设函数 f(x)Ca,b,且 f(x)0,D 为区域 axb,ayb证明: (分数:2.00)_19.设有微分方程 y“-2y=(x),其中 (x)= (分数:2.00)_20.设 f(x)二阶连续可导,f(0)=0,f“(0)=1,且xy(x+y)-f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0 为全微分方程,
7、求 f(x)及该全微分方程的通解(分数:2.00)_21.设函数 f(x)二阶连续可导,f(0)=1 且有 f“(x)+3 0 x f“(t)dt+2x 0 1 f(tx)dt+e -x =0,求f(x)(分数:2.00)_考研数学二(高等数学)-试卷 8 答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.下列命题正确的是( )(分数:2.00)A.若f(x)在 x=a 处连续,则 f(x)在 x=a 处连续B.若 f(x)在 x=a 处连续,则f(x)在 x=
8、a 处连续 C.若 f(x)在 x=a 处连续,则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续D.若解析:解析:令 显然f(x)1 处处连续,然而 f(x)处处间断,(A)不对; 令 显然 f(x)在x=0 处连续,但在任意 x=a0 处函数 f(x)都是间断的,故(C)不对; 令 ,但 f(x)在 x=0 处小连续,(D)不对; 若 f(x)在 x=a 处连续,则 ,又 0f(x)-f(a)f(x)-f(a),根据夹逼定理,3.设 为 f(x)=arctanx 在0,a上使用微分中值定理的中值,则 为( ) (分数:2.00)A.B.C. D.解析:解析:令 f(a)-f(0)=f“()a,即4.
9、下列说法中正确的是( )(分数:2.00)A.若 f“(x 0 )0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值,则当 x(x 0 -,x 0 )时,f(x)单调增加,当 X(x 0 ,x 0 +)时,f(x)单调减少C.f(x)在 x 0 取极值,则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数,f“(0)0,则 f(x)在 x=0 处一定取到极值 解析:解析:5.设 (分数:2.00)A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微 D.一阶连续可偏导解析:解析:因为 ,所以 f(x,y)在(0,0)处连续; 二、填空题(总题数:3,分数:6.00)6. (分数:2.00)填空项 1
10、:_ (正确答案:正确答案: )解析:解析:7. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:8.设 f(x)满足 f(x)=f(x+2),f(0)=0,又在(-1,1)内 f“(x)=x,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:因为在(-1,1)内 f“(x)=x,三、解答题(总题数:16,分数:40.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:设 f(x)在0,2上连续,且 f(0)=0,f(1)=1证明:(分数:4.00)(1).存在 cE(0,1),使得 f(C)=1-2c;(分数:2.00)_正确答案
11、:(正确答案:令 (x)=f(x)-1+2x,(0)=-1,(1)=2,因为 (0)(1)解析:(2).存在 0,2,使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 f(x)c0,2,所以 f(x)在0,2上取到最小值 m 和最大值 M, 由6m2f(0)+f(1)+3f(2)6M 得 m M, 由介值定理,存在 0,2,使得 )解析:10.设 f(x)在a,b上连续,任取 x i a,b(i=1,2,n),任取 k i 0(i=1,2,n),证明:存在 a,b,使得 k 1 f(X 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x 2 )=(k
12、1 +k 2 +k n )f()(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 f(x)在a,b上连续,所以 f(x)在a,b上取到最小值 m 和最大值 M,显然有 mf(x i )M(i=1,2,n), 注意到 k i 0(i=1,2,n),所以有 k i mk i f(x i )k i M(i=1,2,n),同向不等式相加,得 (k 1 +k 2 +k n )mk 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )(k 1 +k 2 +k n )M, 即 m M, 由介值定理,存在 a,b,使得 f()= )解析:11.设 f(x)在 x=0 的邻域内二阶连续可导, (分数
13、:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:设 f(x)在-a,a(a0)上有四阶连续的导数, (分数:4.00)(1).写出 f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 存在,得 f(0)=0,f“(0)=0,f“(0)=0,则 f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式为 )解析:(2).证明:存在 1 , 2 -a,a,使得 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:上式两边积分得 因为 f (4) (x)在-a,a上为连续函数,所以 f (4) (x)在-a,a上取到最大值 M 和最小值 m,于是有 mx 4 f (4) () 4 Mx 4 ,
14、根据介值定理,存在 1 -a,a,使得 f (4) ( 1 )= )解析:设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且 f(a)=f(b)=0, a b f(x)dx=0证明:(分数:8.00)(1).存在 c(a,b),使得 f(f)=0;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 F(x)= a x f(t)dt,则 F(x)在a,b上连续,存(a,b)内可导,且 F“(x)=f(x)故存在 c(a,b),使得 a b f(x)dx=F(b)-F(a)=F“(c)(b-a)=f(c)(b-a)=0,即 f(c)=0)解析:(2).存在 i (a,b)(i=1,2),且 1 2 ,使
15、得 f“( i )+f( i )=0(i=1,2);(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 h(x)=e x f(x),因为 h(a)=h(c)=h(b)=0,所以由罗尔定理,存在 1 (a,c), 2 (c,b),使得 h“( 1 )=h“( 2 )=0, 而 h“(x)=e x f“(x)+f(x)且 e x 0,所以 f“( i )+f( i )=0(i=1,2)解析:(3).存在 (a,b),使得 f“()=f();(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 (x)=e -x f“(x)+f(x),( 1 )=( 2 )=0,南罗尔定理,存在( 1 , 2 ) )解析:(4).
16、存在 (a,b),使得 f“()-3f“()+2f()=0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 g(x)=e -x f(x),g(a)=g(c)=g(b)=0, 由罗尔定理,存在 1 (a,c), 2 (c,b),使得 g“( 1 )=g“( 2 )=0, 而 g“(x)=e -x f“(x)-f(x)且 e -x 0,所以 f“( 1 )-f( 1 )=0,f“( 2 )-f( 2 )=0 令 (x)=e -x f“(x)-f(x),( 1 )=( 2 )=0, 由罗尔定理,存在 ( 1 , 2 ) )解析:12.设 a 1 a 2 a n ,且函数 f(x)在a 1 ,a n 上
17、n 阶可导,ca 1 ,a n 且 f(a 1 )=f(a 2 )=f(a n )=0证明:存在 (a 1 ,a n ),使得 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 c=a i (i=1,2,n)时,对任意的 (a 1 ,a n ),结论成立; 设 c 为异于 a 1 ,a 2 ,a n 的数,不妨设 a 1 ca 2 a n 构造辅助函数 (x)=f(x)-k(x-a 1 )(x-a 2 )(x-a n ),显然 (x)在a 1 ,a n 上 n 阶可导,且 (a 1 )=(c)=(a 2 )=(a n )=0, 由罗尔定理,存在 1 (1) (a 1 ,c), 2 (1) (c,a
18、 2 ), n (1) (a n-1 ,a n ),使得 “( 1 (1) )=“( 2 (1) )=“( n (1) )=0,“(x)在(a 1 ,a n )内至少有 n个不同零点,重复使用罗尔定理,则 (n-1) (x)在(a 1 ,a n )内至少有两个不同零点,设为 c 1 ,c 2 (a 1 ,a 2 ),使得 (n-1) (c 1 )= (n-1) (c 2 )=0, 再由罗尔定理,存在 (c 1 ,c 2 ) (a 1 ,a 2 ),使得 (n) ()=0 而 (n) (x)=f (n) (x)-n!k,所以 f (n) ()=n!k,从而有 )解析:13.设 f(x)连续, 0
19、 x tf(x-t)dt=1-cosx,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 0 x tf(x-t)dt x 0 (x-u)f(u)(-du)= 0 x (x-u)f(u)du =x 0 x f(u)du- 0 x uf(u)du, 得 x 0 x f(u)du- 0 x f(u)du=1-cosx, 两边求导得 0 x f(u)du=sinx,令 )解析:14.设 f(x)在0,+)上连续,非负,且以 T 为周期,证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对充分大的 x,存在自然数 n,使得 nTx(n+1) T , 因为 f(x)0,所以 0 nT f(t)dt 0 x
20、 f(t)dt 0 (n+1)T f(t)dt, )解析:15. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:16.求 z=x 2 +12xy+2y 2 在区域 4x 2 +y 2 25 上的最值(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 4x 2 +y 2 25 时,由 得驻点为(x,y)=(0,0) 当 4x 2 +y 2 =25 时,令 F=x 2 +12xy+2y 2 +(4x 2 +y 2 -25) 因为 x(0,0)=0,z(2, )=-50, ,所以目标函数的最大和最小值分别为 )解析:17.设 f(x)连续,且 f(0)=1,令 F(t)= (分数:2.00)_正确答
21、案:(正确答案:令 (002,0rt) 得 F“(t)=2tf(t 2 ),F“(0)=0, )解析:18.设函数 f(x)Ca,b,且 f(x)0,D 为区域 axb,ayb证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为积分区域关于直线 y=x 对称, )解析:19.设有微分方程 y“-2y=(x),其中 (x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当 x1 e 2x -1,由 y(0)=0 得 C 1 =1,y=e 2x -1; 当 x1 时,y“-2y=0 的通解为y=C 2 e 2x ,根据给定的条件, y(1+0)=C 2 e 2 =y(1-0)=e 2 -1,解得
22、C 2 =1-e -2 ,y=(1-e -2 )e 2x , 补充定义 y(1)=e 2 -1,则得在(-,+)内连续且满足微分方程的函数 )解析:20.设 f(x)二阶连续可导,f(0)=0,f“(0)=1,且xy(x+y)-f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0 为全微分方程,求 f(x)及该全微分方程的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 P(x,y)=xy(x+y)-f(x)y,Q(x,y)=f“(x)+x 2 y,因为xy(x+y)-f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0 为全微分方程,所以 ,即 f“(x)+f(x)=x 2 , 解得 f(x)=C 1
23、cosx+C 2 sinx+x 2 -2,由 f(0)=0,f“(0)=1 得 C 1 =2,C 2 =1, 所以 f(x)=2cosx+sinx+x 2 -2 原方程为xy 2 -(2cosx+sinx)y+2ydx+(-2sinx+cosx+2x+x 2 y)dy=0,整理得(xy 2 dx+x 2 ydy)+2(ydx+xdy)-2(ycosxdx+sinxdy)+(-ysinxdx+cosxdy)=0, 即 d( x 2 y 2 +2xy-2ysinx+ycosx)=0, 原方程的通解为 )解析:21.设函数 f(x)二阶连续可导,f(0)=1 且有 f“(x)+3 0 x f“(t)
24、dt+2x 0 1 f(tx)dt+e -x =0,求f(x)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 x 0 1 f(tx)dt= 0 x f(u)du,所以 f“(x)+3 0 x f“(t)dt+2x 0 1 f(tx)dt+e -x =0 可化为 f“(x)+3 0 x f“(t)dt+2 0 x f(t)dt+e -x =0, 两边对 x 求导得 f“(x)+3f“(x)+2f(x)=e -x , 由 2 +3+2=0 得 1 =-1, 2 =-2, 则方程 f“(x)+3f“(x)+2f(x)=0 的通解为 C 1 e -x +C 2 e -2x 令 f“(x)+3f“(x)+2f(x)=e -x 的一个特解为 y 0 =axe -x ,代入得 a=1, 则原方程的通解为 f(x)=C 1 e -x +C 2 e -2x +xe -x 由 f(0)=1,f“(0)=-1 得 C 1 =0,C 2 =1,故原方程的解为 f(x)=e -2x +xe -x )解析: