1、考研数学二（高等数学）-试卷 8 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续B.若 f(x)在 x=a 处连续，则f(x)在 x=a 处连续C.若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续D.若3.设 为 f(x)=arctanx 在0，a上使用微分中值定理的中值，则 为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.下列说法中正
2、确的是( )（分数：2.00）A.若 f“(x 0 )0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值，则当 x(x 0 -，x 0 )时，f(x)单调增加，当 X(x 0 ，x 0 +)时，f(x)单调减少C.f(x)在 x 0 取极值，则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数，f“(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值5.设 （分数：2.00）A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微D.一阶连续可偏导二、填空题(总题数：3，分数：6.00)6. （分数：2.00）填空项 1:_7. （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，
3、f(0)=0，又在(-1，1)内 f“(x)=x，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：40.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1)=1证明：（分数：4.00）(1).存在 cE(0，1)，使得 f(C)=1-2c；（分数：2.00）_(2).存在 0，2，使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()（分数：2.00）_10.设 f(x)在a，b上连续，任取 x i a，b(i=1，2，n)，任取 k i 0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1 f(X 1 )+k 2 f
4、(x 2 )+k n f(x 2 )=(k 1 +k 2 +k n )f()（分数：2.00）_11.设 f(x)在 x=0 的邻域内二阶连续可导， （分数：2.00）_设 f(x)在-a，a(a0)上有四阶连续的导数， （分数：4.00）(1).写出 f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式；（分数：2.00）_(2).证明：存在 1 ， 2 -a，a，使得 （分数：2.00）_设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0， a b f(x)dx=0证明：（分数：8.00）(1).存在 c(a，b)，使得 f(f)=0；（分数：2.00）_(2).存在 i (a，
5、b)(i=1，2)，且 1 2 ，使得 f“( i )+f( i )=0(i=1，2)；（分数：2.00）_(3).存在 (a，b)，使得 f“()=f()；（分数：2.00）_(4).存在 (a，b)，使得 f“()-3f“()+2f()=0（分数：2.00）_12.设 a 1 a 2 a n ，且函数 f(x)在a 1 ，a n 上 n 阶可导，ca 1 ，a n 且 f(a 1 )=f(a 2 )=f(a n )=0证明：存在 (a 1 ，a n )，使得 （分数：2.00）_13.设 f(x)连续， 0 x tf(x-t)dt=1-cosx，求 （分数：2.00）_14.设 f(x)在
6、0，+)上连续，非负，且以 T 为周期，证明： （分数：2.00）_15. （分数：2.00）_16.求 z=x 2 +12xy+2y 2 在区域 4x 2 +y 2 25 上的最值（分数：2.00）_17.设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= （分数：2.00）_18.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb证明： （分数：2.00）_19.设有微分方程 y“-2y=(x)，其中 (x)= （分数：2.00）_20.设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f“(0)=1，且xy(x+y)-f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0 为全微分方程，
7、求 f(x)及该全微分方程的通解（分数：2.00）_21.设函数 f(x)二阶连续可导，f(0)=1 且有 f“(x)+3 0 x f“(t)dt+2x 0 1 f(tx)dt+e -x =0，求f(x)（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）-试卷 8 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 处连续B.若 f(x)在 x=a 处连续，则f(x)在 x=
8、a 处连续 C.若 f(x)在 x=a 处连续，则 f(x)在 x=a 的一个邻域内连续D.若解析：解析：令 显然f(x)1 处处连续，然而 f(x)处处间断，(A)不对； 令 显然 f(x)在x=0 处连续，但在任意 x=a0 处函数 f(x)都是间断的，故(C)不对； 令 ，但 f(x)在 x=0 处小连续，(D)不对； 若 f(x)在 x=a 处连续，则 ，又 0f(x)-f(a)f(x)-f(a)，根据夹逼定理，3.设 为 f(x)=arctanx 在0，a上使用微分中值定理的中值，则 为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：令 f(a)-f(0)=f“()a，即4.
9、下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.若 f“(x 0 )0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值，则当 x(x 0 -，x 0 )时，f(x)单调增加，当 X(x 0 ，x 0 +)时，f(x)单调减少C.f(x)在 x 0 取极值，则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数，f“(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值 解析：解析：5.设 （分数：2.00）A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微 D.一阶连续可偏导解析：解析：因为 ，所以 f(x，y)在(0，0)处连续； 二、填空题(总题数：3，分数：6.00)6. （分数：2.00）填空项 1
10、:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：7. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：8.设 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又在(-1，1)内 f“(x)=x，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为在(-1，1)内 f“(x)=x，三、解答题(总题数：16，分数：40.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1)=1证明：（分数：4.00）(1).存在 cE(0，1)，使得 f(C)=1-2c；（分数：2.00）_正确答案
11、：(正确答案：令 (x)=f(x)-1+2x，(0)=-1，(1)=2，因为 (0)(1)解析：(2).存在 0，2，使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)c0，2，所以 f(x)在0，2上取到最小值 m 和最大值 M， 由6m2f(0)+f(1)+3f(2)6M 得 m M， 由介值定理，存在 0，2，使得 )解析：10.设 f(x)在a，b上连续，任取 x i a，b(i=1，2，n)，任取 k i 0(i=1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1 f(X 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x 2 )=(k
12、1 +k 2 +k n )f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上连续，所以 f(x)在a，b上取到最小值 m 和最大值 M，显然有 mf(x i )M(i=1，2，n)， 注意到 k i 0(i=1，2，n)，所以有 k i mk i f(x i )k i M(i=1，2，n)，同向不等式相加，得 (k 1 +k 2 +k n )mk 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )(k 1 +k 2 +k n )M， 即 m M， 由介值定理，存在 a，b，使得 f()= )解析：11.设 f(x)在 x=0 的邻域内二阶连续可导， （分数
13、：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 f(x)在-a，a(a0)上有四阶连续的导数， （分数：4.00）(1).写出 f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 存在，得 f(0)=0，f“(0)=0，f“(0)=0，则 f(x)的带拉格朗日余项的马克劳林公式为 )解析：(2).证明：存在 1 ， 2 -a，a，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：上式两边积分得 因为 f (4) (x)在-a，a上为连续函数，所以 f (4) (x)在-a，a上取到最大值 M 和最小值 m，于是有 mx 4 f (4) () 4 Mx 4 ，
14、根据介值定理，存在 1 -a，a，使得 f (4) ( 1 )= )解析：设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0， a b f(x)dx=0证明：（分数：8.00）(1).存在 c(a，b)，使得 f(f)=0；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= a x f(t)dt，则 F(x)在a，b上连续，存(a，b)内可导，且 F“(x)=f(x)故存在 c(a，b)，使得 a b f(x)dx=F(b)-F(a)=F“(c)(b-a)=f(c)(b-a)=0，即 f(c)=0)解析：(2).存在 i (a，b)(i=1，2)，且 1 2 ，使
15、得 f“( i )+f( i )=0(i=1，2)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 h(x)=e x f(x)，因为 h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 h“( 1 )=h“( 2 )=0， 而 h“(x)=e x f“(x)+f(x)且 e x 0，所以 f“( i )+f( i )=0(i=1，2)解析：(3).存在 (a，b)，使得 f“()=f()；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e -x f“(x)+f(x)，( 1 )=( 2 )=0，南罗尔定理，存在( 1 ， 2 ) )解析：(4).
16、存在 (a，b)，使得 f“()-3f“()+2f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(x)=e -x f(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0， 由罗尔定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 g“( 1 )=g“( 2 )=0， 而 g“(x)=e -x f“(x)-f(x)且 e -x 0，所以 f“( 1 )-f( 1 )=0，f“( 2 )-f( 2 )=0 令 (x)=e -x f“(x)-f(x)，( 1 )=( 2 )=0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：12.设 a 1 a 2 a n ，且函数 f(x)在a 1 ，a n 上
17、n 阶可导，ca 1 ，a n 且 f(a 1 )=f(a 2 )=f(a n )=0证明：存在 (a 1 ，a n )，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 c=a i (i=1，2，n)时，对任意的 (a 1 ，a n )，结论成立； 设 c 为异于 a 1 ，a 2 ，a n 的数，不妨设 a 1 ca 2 a n 构造辅助函数 (x)=f(x)-k(x-a 1 )(x-a 2 )(x-a n )，显然 (x)在a 1 ，a n 上 n 阶可导，且 (a 1 )=(c)=(a 2 )=(a n )=0， 由罗尔定理，存在 1 (1) (a 1 ，c)， 2 (1) (c，a
18、 2 )， n (1) (a n-1 ，a n )，使得 “( 1 (1) )=“( 2 (1) )=“( n (1) )=0，“(x)在(a 1 ，a n )内至少有 n个不同零点，重复使用罗尔定理，则 (n-1) (x)在(a 1 ，a n )内至少有两个不同零点，设为 c 1 ，c 2 (a 1 ，a 2 )，使得 (n-1) (c 1 )= (n-1) (c 2 )=0， 再由罗尔定理，存在 (c 1 ，c 2 ) (a 1 ，a 2 )，使得 (n) ()=0 而 (n) (x)=f (n) (x)-n!k，所以 f (n) ()=n!k，从而有 )解析：13.设 f(x)连续， 0
19、 x tf(x-t)dt=1-cosx，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 0 x tf(x-t)dt x 0 (x-u)f(u)(-du)= 0 x (x-u)f(u)du =x 0 x f(u)du- 0 x uf(u)du， 得 x 0 x f(u)du- 0 x f(u)du=1-cosx， 两边求导得 0 x f(u)du=sinx，令 )解析：14.设 f(x)在0，+)上连续，非负，且以 T 为周期，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对充分大的 x，存在自然数 n，使得 nTx(n+1) T ， 因为 f(x)0，所以 0 nT f(t)dt 0 x
20、 f(t)dt 0 (n+1)T f(t)dt， )解析：15. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.求 z=x 2 +12xy+2y 2 在区域 4x 2 +y 2 25 上的最值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 4x 2 +y 2 25 时，由 得驻点为(x，y)=(0，0) 当 4x 2 +y 2 =25 时，令 F=x 2 +12xy+2y 2 +(4x 2 +y 2 -25) 因为 x(0，0)=0，z(2， )=-50， ，所以目标函数的最大和最小值分别为 )解析：17.设 f(x)连续，且 f(0)=1，令 F(t)= （分数：2.00）_正确答
21、案：(正确答案：令 (002，0rt) 得 F“(t)=2tf(t 2 )，F“(0)=0， )解析：18.设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为积分区域关于直线 y=x 对称， )解析：19.设有微分方程 y“-2y=(x)，其中 (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x1 e 2x -1，由 y(0)=0 得 C 1 =1，y=e 2x -1； 当 x1 时，y“-2y=0 的通解为y=C 2 e 2x ，根据给定的条件， y(1+0)=C 2 e 2 =y(1-0)=e 2 -1，解得
22、C 2 =1-e -2 ，y=(1-e -2 )e 2x ， 补充定义 y(1)=e 2 -1，则得在(-，+)内连续且满足微分方程的函数 )解析：20.设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f“(0)=1，且xy(x+y)-f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0 为全微分方程，求 f(x)及该全微分方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 P(x，y)=xy(x+y)-f(x)y，Q(x，y)=f“(x)+x 2 y，因为xy(x+y)-f(x)ydx+f“(x)+x 2 ydy=0 为全微分方程，所以 ，即 f“(x)+f(x)=x 2 ， 解得 f(x)=C 1
23、cosx+C 2 sinx+x 2 -2，由 f(0)=0，f“(0)=1 得 C 1 =2，C 2 =1， 所以 f(x)=2cosx+sinx+x 2 -2 原方程为xy 2 -(2cosx+sinx)y+2ydx+(-2sinx+cosx+2x+x 2 y)dy=0，整理得(xy 2 dx+x 2 ydy)+2(ydx+xdy)-2(ycosxdx+sinxdy)+(-ysinxdx+cosxdy)=0， 即 d( x 2 y 2 +2xy-2ysinx+ycosx)=0， 原方程的通解为 )解析：21.设函数 f(x)二阶连续可导，f(0)=1 且有 f“(x)+3 0 x f“(t)
24、dt+2x 0 1 f(tx)dt+e -x =0，求f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 x 0 1 f(tx)dt= 0 x f(u)du，所以 f“(x)+3 0 x f“(t)dt+2x 0 1 f(tx)dt+e -x =0 可化为 f“(x)+3 0 x f“(t)dt+2 0 x f(t)dt+e -x =0， 两边对 x 求导得 f“(x)+3f“(x)+2f(x)=e -x ， 由 2 +3+2=0 得 1 =-1， 2 =-2， 则方程 f“(x)+3f“(x)+2f(x)=0 的通解为 C 1 e -x +C 2 e -2x 令 f“(x)+3f“(x)+2f(x)=e -x 的一个特解为 y 0 =axe -x ，代入得 a=1， 则原方程的通解为 f(x)=C 1 e -x +C 2 e -2x +xe -x 由 f(0)=1，f“(0)=-1 得 C 1 =0，C 2 =1，故原方程的解为 f(x)=e -2x +xe -x )解析：
