1、考研数学二（高等数学）-试卷 7 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)可导，则当x0 时，y-dy 是x 的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小B.等价无穷小C.同阶无穷小D.低阶无穷小3.设 f(x)dx=x 2 +C，则xf(1-x 2 )dx 等于( )（分数：2.00）A.B.C.2(1-x 2 ) 2 +CD.-2(1-x 2 ) 2 +C4.设区域 D 由 x=0，y=0，x+y= ，x+y=1 围成，若 I 1 = ln(x
2、+y) 3 dxdy，I 2 = (x+y) 3 dxdy，I 3 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 2 I 3 I 1C.I 1 I 2 I 3D.I 2 I 3 I 15.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 -1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.-ln3B.ln3C.ln3D.12ln3二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)连续可导，f(0)=0 且 f“(0)=b，若 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_8.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_
3、9.设 f(x，y)满足 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_11.求 （分数：2.00）_12. （分数：2.00）_13.求 （分数：2.00）_14.设 f(x)= （分数：2.00）_15.设 f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+100)，求 f“(0)（分数：2.00）_16.设 = 0 x cos(x-t) 2 dt 确定 y 为 x 的函数，求 （分数：2.00）_17.设 ba0，证明： （分数：2.00）_设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f(x)0(1
4、 存在，证明：（分数：4.00）(1).存在 (1，2)，使得 （分数：2.00）_(2).存在 (1，2)，使得 1 2 f(t)dt=(-1)f“()ln2（分数：2.00）_18.求 （分数：2.00）_19. （分数：2.00）_20. 0 n xcosxdx（分数：2.00）_21.求 （分数：2.00）_22.求由圆 x 2 +y 2 =2y 与抛物线 y=x 2 所围成的平面图形的面积（分数：2.00）_23.设 z= ，其中 f，g 二阶可导，证明： （分数：2.00）_24.设 且 F 可微，证明： （分数：2.00）_25.计算 （分数：2.00）_26.设二阶常系数齐次线
5、性微分方程以 y 1 =e 2x ，y 2 =2e -x -3e 2x 为特解，求该微分方程（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）-试卷 7 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)可导，则当x0 时，y-dy 是x 的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小 B.等价无穷小C.同阶无穷小D.低阶无穷小解析：解析：因为 f(x)可导，所以 f(x)可微分，即y=dy+o(x)，所以y-dy 是x 的高阶无穷小，选(A)3.设 f(x)dx
6、=x 2 +C，则xf(1-x 2 )dx 等于( )（分数：2.00）A.B. C.2(1-x 2 ) 2 +CD.-2(1-x 2 ) 2 +C解析：解析：xf(1-x 2 )dx= f(1-x 2 )d(1-x 2 )= 4.设区域 D 由 x=0，y=0，x+y= ，x+y=1 围成，若 I 1 = ln(x+y) 3 dxdy，I 2 = (x+y) 3 dxdy，I 3 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 2 I 3 I 1 C.I 1 I 2 I 3D.I 2 I 3 I 1解析：解析：由 x+y1 得ln(x+y) 3 0，于是 I 1 = ln(x+y)
7、3 dxdy0； 当 5.设 y=y(x)为微分方程 2xydx+(x 2 -1)dy=0 满足初始条件 y(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.-ln3B.ln3C.ln3D.12ln3 解析：解析：由 2xydx+(x 2 -1)dy=0 得 =0，积分得 ln(x 2 -1)+lny=lnC，从而 y= 由 y(0)=1 得 C=-1，于是 y= 故 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：7.设 f(x)连续可导，f(0)=0 且 f“(0)=b，若 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_
8、（正确答案：正确答案：a+b）解析：解析：8.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=-2x+1）解析：解析：在点(0，1)处 t=0，9.设 f(x，y)满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y 2 +xy+1）解析：解析： =2y+ 1 (x)， 因为 f“ y (x，0)=x，所以 1 (x)=x，即 =2y+x， 再由 三、解答题(总题数：18，分数：36.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：11.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )
9、解析：13.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 x=0、x=1 为 f(x)的间断点 因为 f(0-0)f(0+0)，所以 x=0 为 f(x)的跳跃间断点 )解析：15.设 f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+100)，求 f“(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f“(x)=(x-1)(x+2)(x+100)+x(x+2)(x+100)+x(x-1)(x-99) 得 f“(0)=(-1)2(-3)100=100！)解析：16.设 = 0 x cos(x-t) 2 dt 确定
10、y 为 x 的函数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x cos(x-t) 2 dt x 0 cosu 2 (-du)= 0 x cost 2 dt 等式 = 0 x cost 2 dt 两边对 x 求导，得 =cosx 2 于是 )解析：17.设 ba0，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (a+b)(lnb-lha)-2(b-a)0令 (x)=(a+x)(lnx-lna)-2(x-a)，(a)=0， “(x)=lnx-lna+ -1，(a)=0，“(x)= 0(xa) 由 “(x)0(xa)，再由(x)0(xa) )解析：设 f(x)在1，2上连续，在(1
11、，2)内可导，且 f(x)0(1 存在，证明：（分数：4.00）(1).存在 (1，2)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 h(x)=lnx，F(x)= 1 x f(x)dt，且 F“(x)=f(x)0， 由柯西中值定理，存在(1，2)，使得 )解析：(2).存在 (1，2)，使得 1 2 f(t)dt=(-1)f“()ln2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：18.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20. 0 n xcosxdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0
12、n cosxdx= 0 xcosxdx+ 2 xcosxdx+ (n-1) n xcosxdx， 0 xcosxdx= 0 cosxdx= cosxdx=， 0 2 xcosxdx 0 (t+)costdt= 0 tcostdt+ 0 costdt=+2=3 2 3 xcosxdx )解析：21.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.求由圆 x 2 +y 2 =2y 与抛物线 y=x 2 所围成的平面图形的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 所围成的面积为 )解析：23.设 z= ，其中 f，g 二阶可导，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
13、 )解析：24.设 且 F 可微，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 两边对 x 求偏导得 )解析：25.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由对称性得 I= sinx 2 cosy 2 dxdy siny 2 cosx 2 dxdy )解析：26.设二阶常系数齐次线性微分方程以 y 1 =e 2x ，y 2 =2e -x -3e 2x 为特解，求该微分方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 y 1 =e 2x ，y 2 =2e -x -3e 2x 为特解，所以 e 2x ，e -x 也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为 1 =-1， 2 =2，特征方程为(+1)(-2)=0 即 2 -2=0，所求的微分方程为 y“-y“-2y=0)解析：
