1、考研数学二（高等数学）-试卷 4 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=1，b=1C.a=-1，b=1D.a=-1，b=-13.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点4.设 f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足
2、（分数：2.00）A.取极大值B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否取极值二、填空题(总题数：8，分数：16.00)5.设 f(x)=sinx，f(x)=1-x 2 ，则 (x)= 1，定义域为 2（分数：2.00）填空项 1:_6.设函数 f(x)在0，1上连续，且 f(x)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)在 x=2 处可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_11.计算 （分数：2.00）填空项 1:_12.以 y=
3、C 1 e -2x +C 2 e x +cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：30.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14. （分数：2.00）_15.求 （分数：2.00）_16.设 x 1 =2，x n+1 =2+ （分数：2.00）_17.设 f(x)=g(a+bx)-g(a-bx)，其中 g“(a)存在，求 f“(0)（分数：2.00）_设 f(x)在a，b上有定义，M0 且对任意的 x，ya，b，有 f(x)-f(y)Mx-y k （分数：4.00）(1).证明：当 k0 时，f(
4、x)在a，b上连续；（分数：2.00）_(2).证明：当 k1 时，f(x)常数（分数：2.00）_18.求 y=f(x)= （分数：2.00）_19.求arcsin 2 xdx（分数：2.00）_20. （分数：2.00）_设 f(x)连续，且 F(x)= 0 x (x-2t)f(t)dt证明：（分数：4.00）(1).若 f(x)是偶函数，则 F(x)为偶函数；（分数：2.00）_(2).若 f(x)单调不增，则 F(x)单调不减（分数：2.00）_21.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内可导，f(0)=f(2)=0，且f“(x)2证明： 0 2 f(x)dx2（分数：2.00）_
5、22.设 u=f(z)，其中 z 是由 z=y+x(z)确定的 x，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证明：（分数：2.00）_23.计算 （分数：2.00）_24.设当 x0 时，f(x)满足 1 x f(t)dt-f(x)=x，求 f(x)（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）-试卷 4 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 （分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=1，b=1 C.a=-1，b=1D.a=-1，b=-1解析：
6、解析：因为 ，所以 ，即 a=1，又3.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点 D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点解析：解析：由4.设 f(x，y)在(0，0)的某邻域内连续，且满足 （分数：2.00）A.取极大值 B.取极小值C.不取极值D.无法确定是否取极值解析：解析：因为 ，所以由极限的保号性，存在 0，当 0 时， 0因为当 0 时，x+y 2 0，所以当 0 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)5.设 f(x)=sinx，f
7、(x)=1-x 2 ，则 (x)= 1，定义域为 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：arcsin(1-x 2 )， ）解析：解析：(x)=arcsin(1-x 2 )， 6.设函数 f(x)在0，1上连续，且 f(x)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.设 f(x)在 x=2 处可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：8）解析：解析：因为 =2，所以 =0，再由 f(x)在 x=2 处的连续性得 f(2)=0 由8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
8、案：正确答案：*）解析：解析：9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：10.设 z= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.计算 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1-sin1）解析：解析：改变积分次序得12.以 y=C 1 e -2x +C 2 e x +cosx 为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y“+y“-2y=-sinx-3cosx）解析：解析：特征值为 1 =-2， 2 =1，特征方程为 2 +-2=0， 设所求的微
9、分方程为 y“+y“-2y=Q(x)，把 y=cos 代入原方程，得 Q(x)=-sinx-3cosx，所求微分方程为 y“+y“-2y=-sinx-3cosx三、解答题(总题数：14，分数：30.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设 x 1 =2，x n+1 =2+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 =l，则 l=1+ ，现证明 =1+ 因为 0x n -l= x n-1 -l x 1 -l， 且 x 1 -l=0，所以由
10、夹逼定理得 =1+ )解析：17.设 f(x)=g(a+bx)-g(a-bx)，其中 g“(a)存在，求 f“(0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 f(x)在a，b上有定义，M0 且对任意的 x，ya，b，有 f(x)-f(y)Mx-y k （分数：4.00）(1).证明：当 k0 时，f(x)在a，b上连续；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x 0 a，b，由已知条件得 0f(x)-f(x 0 )Mx-x 0 k ， )解析：(2).证明：当 k1 时，f(x)常数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x 0 a，b，因为 k1， 所以
11、 0 )解析：18.求 y=f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =，所以 y=f(x)没有水平渐近线， 由 =-得 x=0 为铅直渐近线，由 =得 x=2 为铅直渐近线， )解析：19.求arcsin 2 xdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 e x =t，dx= )解析：设 f(x)连续，且 F(x)= 0 x (x-2t)f(t)dt证明：（分数：4.00）(1).若 f(x)是偶函数，则 F(x)为偶函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x (-x+2u)f(-u)(-du)
12、 设 f(-x)=f(x)，因为 F(-x)= 0 -x (-x-2t)f(t)dt )解析：(2).若 f(x)单调不增，则 F(x)单调不减（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(x)= 0 x (x-2t)f(t)dt=x 0 x f(t)dt-2 0 x tf(t)dt F“(x)= 0 x f(t)dt-xf(x)=xf()-f(x)，其中 介于 0 与 x 之间 当 x0 2 f(x)dx2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理得 f(x)-f(0)=f“( 1 )x，其中 0 1 x， f(x)-f(2)=f“( 2 )(x-2)，其中 x 2 2，于是
13、)解析：22.设 u=f(z)，其中 z 是由 z=y+x(z)确定的 x，y 的函数，其中 f(z)与 (z)为可微函数证明：（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，z=y+x(z)两边对 x 求偏导得 解得 ，z=y+x(z)两边对 y 求偏导得 )解析：23.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设当 x0 时，f(x)满足 1 x f(t)dt-f(x)=x，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1 x f(t)dt-f(x)=x，两边求导得 f(zx)-f“(x)=1， 解得 f(x)=Ce x +1，而f(1)=-1，所以 f(x)=1-2e x-1 )解析：
