1、考研数学二（高等数学）-试卷 3 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= 0 1-cosx sint 2 dt，g(x)= （分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价的无穷小3.设 f(x)=x 3 +ax 2 +bx在 x=1 处有极小值-2，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=2B.a=-1，b=-2C.a=0，b=-3D.a=0，b=3二、填空题(总题数：8，分数：16.00)4.= 1 （分数：
2、2.00）填空项 1:_5.设函数 y=f(x)由方程 xy+21nx=y 4 所确定，则曲线 y=f(x)在(1，1)处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_6.y=e x 在 x=0 处的曲率半径为 R= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x)C1，+)，广义积分 1 + f(x)dx 收敛，且满足 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_9.设 z=xy+ ，其中 f 可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_10. （分数：2.00）填空项 1:_11.设连续函数 f(x)满足 f(x)= （分数：2.00）填空项
3、1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.求 （分数：2.00）_14.设 f(x)= 0 tanr arctant 2 dt，g(x)=x-sinx，当 x0 时，比较这两个无穷小的关系（分数：2.00）_15.设 （分数：2.00）_16.设 f(x)= （分数：2.00）_17.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g“(x)0证明：存在 (a，b)，使得（分数：2.00）_18.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f“(x)0，证明：存在 ，(1，2)，使得（分数：2.00）_1
4、9.求 （分数：2.00）_20. （分数：2.00）_21. （分数：2.00）_22.设 f(t)= （分数：2.00）_设 f(x)为连续函数，证明：（分数：4.00）(1). 0 xf(sinx)dx= 0 f(sinx)dx= （分数：2.00）_(2). 0 2 f(sinx)dx=4 （分数：2.00）_23.求摆线 L： （分数：2.00）_24.设 z= f(t，e t )dt，f 有一阶连续的偏导数，求 （分数：2.00）_25.计算 I= ydxdy，其中 D 由曲线 （分数：2.00）_26.求微分方程 cosy （分数：2.00）_27.一半球形雪堆融化速度与半球的表
5、面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为 r 0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 18，求全部融化需要的时间（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）-试卷 3 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= 0 1-cosx sint 2 dt，g(x)= （分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小 C.等价无穷小D.同阶但非等价的无穷小解析：解析：当 x0 时，g(x) 所以 f(x)是 g(x)的高阶无穷小，选(
6、B)3.设 f(x)=x 3 +ax 2 +bx在 x=1 处有极小值-2，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=2B.a=-1，b=-2C.a=0，b=-3 D.a=0，b=3解析：解析：f“(x)=3x 2 +2ax+b，因为 f(x)在 x=1 处有极小值-2， 所以 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)4.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：5.设函数 y=f(x)由方程 xy+21nx=y 4 所确定，则曲线 y=f(x)在(1，1)处的法线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=-x+2）解析：解析
7、：xy+2lnx=y 4 两边对 x 求导得 y+ 将 x=1，y=1 代入得 6.y=e x 在 x=0 处的曲率半径为 R= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2*）解析：解析：y“(0)=1，y“(0)=1，则曲线 y=e x 在 x=0 处的曲率为 ，则曲率半径为 R=2 7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2x+3+5lnx-3+C）解析：解析：8.设 f(x)C1，+)，广义积分 1 + f(x)dx 收敛，且满足 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 1 + f(x)dx
8、=A，则由 f(x)= ，得 9.设 z=xy+ ，其中 f 可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：z+xy）解析：解析：10. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：23）解析：解析： 其中 D 1 =(x，y)0x1，0y1-x， 11.设连续函数 f(x)满足 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2e 2x -e x）解析：解析： =2 0 x f(t)dt，则 f(x)= 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.求 （分数：2.00）_正确
9、答案：(正确答案： )解析：14.设 f(x)= 0 tanr arctant 2 dt，g(x)=x-sinx，当 x0 时，比较这两个无穷小的关系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为当 x0 时，g(x)=x-sinx= )解析：15.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0f(x)=x x得 =0=f(0)，故 f(x)在 x=0 处连续 由 得 f“ - (0)=1， 再由 )解析：17.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 g“(x)0证明：存在 (a，b)，使得
10、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 F“()=0，而 F“(x)=f“(x)g(b)+f(a)g“(x)-f“(x)g(x)-f(x)g“(x)，所以 )解析：解析：这是含端点和含 的项的问题，且端点与含 的项不可分离，具体构造辅助函数如下：把结论中的 换成 x 得18.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f“(x)0，证明：存在 ，(1，2)，使得（分数：2.00）_正确答案：
11、(正确答案：令 F(x)=lnx，F“(x)= 0，由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得由拉格朗日中值定理得 ln2-ln1= ，其中 (1，2)， f(2)-f(1)=f“()(2-1)=f“()，其中 (1，2)， 故 )解析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 f(t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 1 t 2 f(t)dt= 因为 f(1)=0，所以 )解析：设 f(x)为连续函数，证明：（分数：4.00）(1
12、). 0 xf(sinx)dx= 0 f(sinx)dx= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 I= 0 xf(sinx)dx，则 I= 0 xf(sinx)dx 0 (-t)f(sint)(-dt)= 0 (-t)f(sint)dt= 0 (-x)f(sinx)dx= 0 f(sinx)dx- 0 xf(sinx)dx= 0 f(sinx)dx-I， 则 I= 0 xf(sinx)dx= 0 f(sinx)dx= )解析：(2). 0 2 f(sinx)dx=4 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 2 f(sinx)dx= - f(sinx)dx=2 0 f(sinx)
13、dx=2 0 f(sinx)dx=4 )解析：23.求摆线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：V= 0 2a f 2 (x)dx= 0 2a y 2 dx= 0 2 a 3 (1-cost) 3 dt=8 0 2a 3 dt=32a 3 0 sin 6 =32a 3 I 6 =32a 3 )解析：24.设 z= f(t，e t )dt，f 有一阶连续的偏导数，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.计算 I= ydxdy，其中 D 由曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 令 t=1- ，则 x=a(1-t) 2 ，dx=-2a(1-t)dt。 于
14、是 )解析：26.求微分方程 cosy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 cosy -cosxsin 2 y=siny 得 -cosxsin 2 y=siny 令 u=siny，则 -u=cosxu 2 ，令 u -1 =z，则 +z=-cosx， 解得 z=(-cos)e dx dx+Ce -dx =-e x cosxdx+Ce -x )解析：27.一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为 k0，设融化过程中形状不变，设半径为 r 0 的雪堆融化 3 小时后体积为原来的 18，求全部融化需要的时间（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻雪堆的半径为 r，则有 ，于是有 =-kt+C 0 ，由 r(0)=r 0 ，r(3)= ，得 C 0 =r 0 ，k= ，于是 )解析：
