1、考研数学二（高等数学）-试卷 33 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)在0，a上连续，在(0，a)内二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)- （分数：2.00）_21.设 z=yf(x 2 -y 2 )，其中 f 可导，证明： （分数：2.00）_22.设 y=f(x，t)，其中 t 是由 g(x，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，且 f(x，t)，g(x，y，t)一阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_23.求 （分数：2.00
2、）_24.求微分方程 y“-y“+2y=0 的通解（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）-试卷 33 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)在0，a上连续，在(0，a)内二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0 时，f“(x)= ，当 x+ (0)= =1，得 f“(0)=1，则 容易验证 )解析：16.证明：对任意的 x，yR 且 xy，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(t)=e t ，因为 f“(t)=e
3、t 0，所以函数 f(t)=e t 为凹函数，根据凹函数的定义，对任意的 x，yR 且 xy，有 )解析：设 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 2f(0)= 0 2 f(t)dt=f(2)+f(3)证明：（分数：4.00）(1). 1 ， 2 (0，3)，使得 f“(1 0 )=f“( 2 )=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 0 x f(t)f(t)dt，F“(x)=f(x)， 0 2 f(t)dt=F(2)-F(0)=F“(c)(2-0)=2f(c)，其中 0 M， 由介值定理，存在 x 0 2，3，使得 f(x 0 )= ，即 f(2)+f(3
4、)=2f(x 0 )，于是 f(0)=f(c)=f(x 0 )， 由罗尔定理，存在 1 (0，c) (0，3)， 2 (c，x 0 ) )解析：(2).存在 (0，3)，使得 f“()-2f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e -2x f“(x)，( 1 )=( 2 )=0， 由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：17. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19. 0 n cosxdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 n cosxdx=n 0 cosxdx= cosx
5、dx= )解析：20.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 ln(x+ )为奇函数，所以 )解析：设 y=f(x)为区间0，1上的非负连续函数（分数：4.00）(1).证明存在 c(0，1)，使得在区间0，c上以 f(c)为高的矩形面积等于区间c，1上以 y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：S 1 (c)=cf(c)，S 2 (c)= c 1 f(t)dt=- 1 c f(t)dt，即证明 S 1 (c)=S 2 (c)，或 cf(c)+ 1 c f(t)dt=0令 (x)=x 1 x f(t)dt，(0)=(1)=0，根据罗尔定理，存在
6、 c(0，1)，使得 “(c)=0，即 cf(c)+ 1 c f(t)dt=0，所以 S 1 (c)=S 2 (c)，命题得证)解析：(2).设 f(x)在(0，1)内可导，且 f“(x)- （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 h(x)=xf(x)- x 1 f(t)dt，因为 h“(x)=2f(x)+xf“(x)0，所以 h(x)在01上为单调函数，所以(1)中的 c 是唯一的)解析：21.设 z=yf(x 2 -y 2 )，其中 f 可导，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 y=f(x，t)，其中 t 是由 g(x，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，且 f(x，t)，g(x，y，t)一阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 y=f(x，t)与 g(x，y，t)=0 两边对 x 求导得 解得 )解析：23.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由对称性得 )解析：24.求微分方程 y“-y“+2y=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 -+2=0，特征值为 12 = 则原方程的通解为 y= )解析：
