1、考研数学二(高等数学)-试卷 32 及答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.函数 f(x)=xsinxe cosx ,-x+是( )(分数:2.00)A.有界函数B.单调函数C.周期函数D.偶函数3.f(x)在(-,+)内二阶可导,f“(x)0, (分数:2.00)A.单调增加且大于零B.单调增加且小于零C.单调减少且大于零D.单调减少且小于零4.设在区间a,b上 f(x)0,f“(x)0,f“(x)0,令 S 1 = a b f(x)dx,S 2 =f(b
2、)(b-a), S 3 = (分数:2.00)A.S 1 S 2 S 3B.S 2 S 1 S 3C.S 3 S 1 S 2D.S 2 S 3 S 1二、填空题(总题数:7,分数:14.00)5.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_6.设 y=x 5 +5 x -tan(x 2 +1),则 y“= 1(分数:2.00)填空项 1:_7.设 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_8.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_9.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_10.设 z=f(x 2 +y 2 +z 2 ,xyz)且 f 一阶连续可偏导,则 (分数:2.00)填空项 1:_11.
3、设 f(x)在0,+)上非负连续,且 f(x)f(x-t)dt=2x 3 ,则 f(x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:17,分数:34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_13.求 (分数:2.00)_14. (分数:2.00)_15. (分数:2.00)_16.由方程 sinxy+ln(y-x)=x 确定函数 y=y(x),求 (分数:2.00)_17.设 f(x)= (分数:2.00)_18.证明方程 lnx= (分数:2.00)_19.求 (分数:2.00)_20. (分数:2.00)_21.设 f(x)= (分数:2
4、.00)_22.求 (分数:2.00)_23.设曲线 y=a+x-x 3 ,其中 a0 时,该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在 X 轴上方与 X轴所围成图形的面积相等,求 a(分数:2.00)_24.举例说明多元函数连续不一定可偏导,可偏导不一定连续(分数:2.00)_25.求二元函数 f(x,y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极值(分数:2.00)_26.改变积分次序并计算 (分数:2.00)_27.求微分方程 xy“=yln (分数:2.00)_28.求微分方程 y“+y=x 2 +3+cosx 的通解(分数:2.00)_考研数学二(高等数学)-试卷 32
5、 答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:4,分数:8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.函数 f(x)=xsinxe cosx ,-x+是( )(分数:2.00)A.有界函数B.单调函数C.周期函数D.偶函数 解析:解析:显然函数为偶函数,选(D)3.f(x)在(-,+)内二阶可导,f“(x)0, (分数:2.00)A.单调增加且大于零B.单调增加且小于零 C.单调减少且大于零D.单调减少且小于零解析:解析:由4.设在区间a,b上 f(x)0,f“(x)0,f“(x)0,令 S 1 = a b f(
6、x)dx,S 2 =f(b)(b-a), S 3 = (分数:2.00)A.S 1 S 2 S 3B.S 2 S 1 S 3 C.S 3 S 1 S 2D.S 2 S 3 S 1解析:解析:因为函数 f(x)在a,b上为单调减少的凹函数,根据几何意义,S 2 S 1 S 3 , 选(B)二、填空题(总题数:7,分数:14.00)5.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:6.设 y=x 5 +5 x -tan(x 2 +1),则 y“= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:5x 4 +5 x ln5-2xsec 2 (x 2 +1)
7、)解析:解析:y“=5x 4 +5 x ln5-2xsec 2 (x 2 +1)7.设 f(x)= (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:令 f(x)= ,解得 A=3,B=-2, 即 f(x)= ,于是 f (n) (x)= 8.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:9.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:10.设 z=f(x 2 +y 2 +z 2 ,xyz)且 f 一阶连续可偏导,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:z=f(x 2
8、 +y 2 +z 2 ,xyz)两边对 x 求偏导得 11.设 f(x)在0,+)上非负连续,且 f(x)f(x-t)dt=2x 3 ,则 f(x)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2x)解析:解析: 0 x f(xt)dt x 0 f(u)(-du)= 0 x f(u)du, 令 F(x)= 0 x f(u)du,由f(x) 0 x f(x-t)dt=2x 3 ,得 f(x) 0 x f(u)du=2x 3 , 即 三、解答题(总题数:17,分数:34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:13.求 (分数:2.00)
9、_正确答案:(正确答案: )解析:14. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:15. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f(t)=e t ,由微分中值定理, )解析:16.由方程 sinxy+ln(y-x)=x 确定函数 y=y(x),求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:将 x=0 代入 sinxy+ln(y-x)=x 得 y=1, sinxy+ln(y-x)=x 两边对 x 求导得将 x=0,y=1 代入得 )解析:17.设 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:当x 当 x1 时,f“(x)=1; 又 ,则 f(x)在 x=-1 处不连
10、续,故也不可导 由 f(1+0)=f(1-0)=f(1)=0 得 f(x)在 x=1 处连续 因为 所以 f(x)在 x=1 处也不可导,)解析:18.证明方程 lnx= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: ,令 f(x)=lnx- ,令 f“(x)= =0,得 x=e,因为 f“(e)= ,所以 f“(e)= 0 为 f(x)的最大值,又因为 =- )解析:19.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:20. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:21.设 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 0 1 f(x)dx=A, 对 f(x)
11、= - 0 1 f(x)dx 两边积分得 A= 0 1 dx-A )解析:22.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:23.设曲线 y=a+x-x 3 ,其中 a0 时,该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在 X 轴上方与 X轴所围成图形的面积相等,求 a(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设曲线 y=a+x-x 3 与 x 轴正半轴的交点横坐标为 ,(0 (a+x-x 3 )dx= (a+x-x 3 )dx,移项得 0 (a+x-x 3 )dx+ (a+x-x 3 )dx= 0 (a+x-x 3 )dx=0 (4a+2- 3 )=0, 因为 0,所
12、以 4a+2- 3 =0 又因为(,0)为曲线 y=a+x-x 3 与 x轴的交点,所以有 a+- 3 =0,从而有 =-3a a-3a+27a 3 =0 )解析:24.举例说明多元函数连续不一定可偏导,可偏导不一定连续(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设 f(x,y)= ,显然 f(x,y)在点(0,0)处连续,但 不存在,所以f(x,y)在点(0,0)处对 x 不可偏导,由对称性,f(x,y)在点(0,0)处对 y 也不可偏导 设 f(x,y)= 因为 所以 f(x,y)在点(0,0)处可偏导,且 f“ x (0,0)=f“ y (0,0)=o 因为 )解析:25.求二元函数 f(
13、x,y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极值(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:二元函数 f(x,y)的定义域为 D=(x,y)y0, )解析:26.改变积分次序并计算 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:改变积分次序得 原式= )解析:27.求微分方程 xy“=yln (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:xy“=yln 可写为 ,原方程化为 u+x =ulnu。 变量分离得 )解析:28.求微分方程 y“+y=x 2 +3+cosx 的通解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:特征方程为 2 +1=0,特征值为 1 =-i, 2 =i, 方程 y“+y=0 的通解为y=C 1 cosx+C 2 sinx 对方程 y“+y=x 2 +3,特解为 y 1 =x 2 +1; 对方程 y“+y=cosx,特解为 ,原方程的特解为 x 2 +1+ 则原方程的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx+x 2 +1+ )解析: