1、考研数学二（高等数学）-试卷 32 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 f(x)=xsinxe cosx ，-x+是( )（分数：2.00）A.有界函数B.单调函数C.周期函数D.偶函数3.f(x)在(-，+)内二阶可导，f“(x)0， （分数：2.00）A.单调增加且大于零B.单调增加且小于零C.单调减少且大于零D.单调减少且小于零4.设在区间a，b上 f(x)0，f“(x)0，f“(x)0，令 S 1 = a b f(x)dx，S 2 =f(b
2、)(b-a)， S 3 = （分数：2.00）A.S 1 S 2 S 3B.S 2 S 1 S 3C.S 3 S 1 S 2D.S 2 S 3 S 1二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 y=x 5 +5 x -tan(x 2 +1)，则 y“= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 z=f(x 2 +y 2 +z 2 ，xyz)且 f 一阶连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.
3、设 f(x)在0，+)上非负连续，且 f(x)f(x-t)dt=2x 3 ，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.求 （分数：2.00）_14. （分数：2.00）_15. （分数：2.00）_16.由方程 sinxy+ln(y-x)=x 确定函数 y=y(x)，求 （分数：2.00）_17.设 f(x)= （分数：2.00）_18.证明方程 lnx= （分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_20. （分数：2.00）_21.设 f(x)= （分数：2
4、.00）_22.求 （分数：2.00）_23.设曲线 y=a+x-x 3 ，其中 a0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在 X 轴上方与 X轴所围成图形的面积相等，求 a（分数：2.00）_24.举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续（分数：2.00）_25.求二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极值（分数：2.00）_26.改变积分次序并计算 （分数：2.00）_27.求微分方程 xy“=yln （分数：2.00）_28.求微分方程 y“+y=x 2 +3+cosx 的通解（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）-试卷 32
5、 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 f(x)=xsinxe cosx ，-x+是( )（分数：2.00）A.有界函数B.单调函数C.周期函数D.偶函数 解析：解析：显然函数为偶函数，选(D)3.f(x)在(-，+)内二阶可导，f“(x)0， （分数：2.00）A.单调增加且大于零B.单调增加且小于零 C.单调减少且大于零D.单调减少且小于零解析：解析：由4.设在区间a，b上 f(x)0，f“(x)0，f“(x)0，令 S 1 = a b f(
6、x)dx，S 2 =f(b)(b-a)， S 3 = （分数：2.00）A.S 1 S 2 S 3B.S 2 S 1 S 3 C.S 3 S 1 S 2D.S 2 S 3 S 1解析：解析：因为函数 f(x)在a，b上为单调减少的凹函数，根据几何意义，S 2 S 1 S 3 ， 选(B)二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6.设 y=x 5 +5 x -tan(x 2 +1)，则 y“= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5x 4 +5 x ln5-2xsec 2 (x 2 +1)
7、）解析：解析：y“=5x 4 +5 x ln5-2xsec 2 (x 2 +1)7.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 f(x)= ，解得 A=3，B=-2， 即 f(x)= ，于是 f (n) (x)= 8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设 z=f(x 2 +y 2 +z 2 ，xyz)且 f 一阶连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：z=f(x 2
8、 +y 2 +z 2 ，xyz)两边对 x 求偏导得 11.设 f(x)在0，+)上非负连续，且 f(x)f(x-t)dt=2x 3 ，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x）解析：解析： 0 x f(xt)dt x 0 f(u)(-du)= 0 x f(u)du， 令 F(x)= 0 x f(u)du，由f(x) 0 x f(x-t)dt=2x 3 ，得 f(x) 0 x f(u)du=2x 3 ， 即 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.求 （分数：2.00）
9、_正确答案：(正确答案： )解析：14. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(t)=e t ，由微分中值定理， )解析：16.由方程 sinxy+ln(y-x)=x 确定函数 y=y(x)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 x=0 代入 sinxy+ln(y-x)=x 得 y=1， sinxy+ln(y-x)=x 两边对 x 求导得将 x=0，y=1 代入得 )解析：17.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当x 当 x1 时，f“(x)=1； 又 ，则 f(x)在 x=-1 处不连
10、续，故也不可导 由 f(1+0)=f(1-0)=f(1)=0 得 f(x)在 x=1 处连续 因为 所以 f(x)在 x=1 处也不可导，)解析：18.证明方程 lnx= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，令 f(x)=lnx- ，令 f“(x)= =0，得 x=e，因为 f“(e)= ，所以 f“(e)= 0 为 f(x)的最大值，又因为 =- )解析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 0 1 f(x)dx=A， 对 f(x)
11、= - 0 1 f(x)dx 两边积分得 A= 0 1 dx-A )解析：22.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设曲线 y=a+x-x 3 ，其中 a0 时，该曲线在 x 轴下方与 y 轴、x 轴所围成图形的面积和在 X 轴上方与 X轴所围成图形的面积相等，求 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设曲线 y=a+x-x 3 与 x 轴正半轴的交点横坐标为 ，(0 (a+x-x 3 )dx= (a+x-x 3 )dx，移项得 0 (a+x-x 3 )dx+ (a+x-x 3 )dx= 0 (a+x-x 3 )dx=0 (4a+2- 3 )=0， 因为 0，所
12、以 4a+2- 3 =0 又因为(，0)为曲线 y=a+x-x 3 与 x轴的交点，所以有 a+- 3 =0，从而有 =-3a a-3a+27a 3 =0 )解析：24.举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x，y)= ，显然 f(x，y)在点(0，0)处连续，但 不存在，所以f(x，y)在点(0，0)处对 x 不可偏导，由对称性，f(x，y)在点(0，0)处对 y 也不可偏导 设 f(x，y)= 因为 所以 f(x，y)在点(0，0)处可偏导，且 f“ x (0，0)=f“ y (0，0)=o 因为 )解析：25.求二元函数 f(
13、x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny 的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：二元函数 f(x，y)的定义域为 D=(x，y)y0， )解析：26.改变积分次序并计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：改变积分次序得 原式= )解析：27.求微分方程 xy“=yln （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：xy“=yln 可写为 ，原方程化为 u+x =ulnu。 变量分离得 )解析：28.求微分方程 y“+y=x 2 +3+cosx 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +1=0，特征值为 1 =-i， 2 =i， 方程 y“+y=0 的通解为y=C 1 cosx+C 2 sinx 对方程 y“+y=x 2 +3，特解为 y 1 =x 2 +1； 对方程 y“+y=cosx，特解为 ，原方程的特解为 x 2 +1+ 则原方程的通解为 y=C 1 cosx+C 2 sinx+x 2 +1+ )解析：
