1、考研数学二(高等数学)-试卷 31 及答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 a(xa),则 (分数:2.00)A.eB.e 2C.1D.3.函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是( ) (分数:2.00)A.B.C.D.4.设 (分数:2.00)A.1B.2C.D.5.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-2y“-3y=(2x+1)e -x 的特解形式为( )(分数:2.00)A.(ax+b)e -xB.x 2 e -xC.x 2 (ax+b)
2、e -xD.x(ax+b)e -x二、填空题(总题数:4,分数:8.00)6.设 f(x)一阶连续可导,且 f(0)=0,f“(0)0,则 (分数:2.00)填空项 1:_7.设 f(x)二阶连续可导,且 (分数:2.00)填空项 1:_8.设 f(x,y)可微,f(1,2)=2,f“ x (1,2)=3,f“ y (1,2)=4,(x)=fx,f(x,2x),则 “(1)= 1(分数:2.00)填空项 1:_9.设 u=u(x,y)二阶连续可偏导,且 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:16,分数:38.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_11.设 f
3、(x)在1,+)内可导,f“(x) =a0,令 a n = 1 n f(x)dx证明:a n 收敛且0 (分数:2.00)_12. (分数:2.00)_13.x=(y)是 y=f(x)的反函数,f(x)可导,且 (分数:2.00)_设 f(x)在(-1,1)内二阶连续可导,且 f“(x)0证明:(分数:4.00)(1).对(-1,1)内任一点 x0,存在唯一的 (x)(0,1),使得 f(x)=f(0)+xf“(x)x;(分数:2.00)_(2). (分数:2.00)_设函数 (分数:6.00)(1).确定常数 a,使得 f(x)在 x=0 处连续;(分数:2.00)_(2).求 f“(x);
4、(分数:2.00)_(3).讨论 f“(x)在 x=0 处的连续性(分数:2.00)_14. (分数:2.00)_15. (分数:2.00)_16. (分数:2.00)_17. (分数:2.00)_18. (分数:2.00)_设直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 所围成的图形面积为 S 1 ,它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S 2 ,且a0,从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程(分数:2.00)_22.某人的食量是 2500 卡天(1 卡=41868 焦),其中 1200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中,他所消耗的为 16 卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之
5、百有效,而一千克脂肪含热量 10000 卡,求该人体重怎样随时间变化(分数:2.00)_考研数学二(高等数学)-试卷 31 答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 a(xa),则 (分数:2.00)A.eB.e 2C.1D. 解析:解析:因为 ,所以3.函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:(a)不对,如 存在,但 f(x)在 x=1 处不连续,所以也不可导;4.设 (分数:2.00
6、)A.1B.2 C.D.解析:解析:令 (02,0ra)5.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-2y“-3y=(2x+1)e -x 的特解形式为( )(分数:2.00)A.(ax+b)e -xB.x 2 e -xC.x 2 (ax+b)e -xD.x(ax+b)e -x 解析:解析:方程 y“-2y“-3y=(2x+1)e -x 的特征方程为 2 -2-3=0,特征值为 1 =-1, 2 =3,故方程 y“-2y“-3y=(2x+1)e -x 的特解形式为 x(ax+b)e -x ,选(D)二、填空题(总题数:4,分数:8.00)6.设 f(x)一阶连续可导,且 f(0)=0,f“(0)0,则
7、 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:7.设 f(x)二阶连续可导,且 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:e 2)解析:解析:8.设 f(x,y)可微,f(1,2)=2,f“ x (1,2)=3,f“ y (1,2)=4,(x)=fx,f(x,2x),则 “(1)= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:47)解析:解析:因为 “(x)=f“ x x,f(x,2x)3+f“ y x,f(x,2x)f“ x (x,2x)+2f“ y (x,2x), 所以 “(1)=f“ x 1,f(1,2)+f“ y 1,f(1,2)
8、f“ x (1,2)+2f“ y (1,2)=3+4(3+8)=479.设 u=u(x,y)二阶连续可偏导,且 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:u(x,3x)=x 两边对 x 求导,得 u“ x (x,3x)+3u“ y (x,3x)=1, 再对 x 求导,得 u“ xx (x,3x)+6u“ xy (x,3x)+9u“ yy (x,3x)=0 由 ,得 10u“ xx (x,3x)+6u“ xy (x,3x)=0, u“ x (x,3x)=x 3 两边对 x 求导,得 u“ xx (x,3x)+3u“ xy (x,3x)=3x 2 , 解得 u“ xy
9、 (x,3x)= 三、解答题(总题数:16,分数:38.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:11.设 f(x)在1,+)内可导,f“(x) =a0,令 a n = 1 n f(x)dx证明:a n 收敛且0 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 f“(x)n+1 -a n =f(n+1)- n n+1 f(x)dx=f(n+1)-f()0(n,n+1), 所以a n 单调减少 因为 a n = f(k)-f(x)dx+f(n),而 k k+1 f(k)-f(x)dx0(k=1,2,n-1) 且 ,所以存在 X0,当 xX 时,f(x)0 由 f(x)单调
10、递减得 f(x)0(x1,+),故 a n f(n)0,所以 存在 )解析:12. (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:13.x=(y)是 y=f(x)的反函数,f(x)可导,且 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:设 f(x)在(-1,1)内二阶连续可导,且 f“(x)0证明:(分数:4.00)(1).对(-1,1)内任一点 x0,存在唯一的 (x)(0,1),使得 f(x)=f(0)+xf“(x)x;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:对任意 X(-1,1),根据微分中值定理,得 f(x)=f(0)+xf“(x)x,其中00,从第二只桶内流出的水中含盐
11、所满足的微分方程(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设在任意时刻 t0,第一只桶和第二只桶内含盐分别为 m 1 (t),m 2 (t),在时间t,t+dt内有 ,且满足初始条件 m 1 (0)=150,解得 ;在时间t,t+dt内有 )解析:22.某人的食量是 2500 卡天(1 卡=41868 焦),其中 1200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中,他所消耗的为 16 卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效,而一千克脂肪含热量 10000 卡,求该人体重怎样随时间变化(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:输入率为 2500 卡天,输出率为(1200+16w),其中叫为体重, )解析: