1、考研数学二（高等数学）-试卷 31 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 a(xa)，则 （分数：2.00）A.eB.e 2C.1D.3.函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 （分数：2.00）A.1B.2C.D.5.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-2y“-3y=(2x+1)e -x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax+b)e -xB.x 2 e -xC.x 2 (ax+b)
2、e -xD.x(ax+b)e -x二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f“(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x，y)可微，f(1，2)=2，f“ x (1，2)=3，f“ y (1，2)=4，(x)=fx，f(x，2x)，则 “(1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 u=u(x，y)二阶连续可偏导，且 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：38.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_11.设 f
3、(x)在1，+)内可导，f“(x) =a0，令 a n = 1 n f(x)dx证明：a n 收敛且0 （分数：2.00）_12. （分数：2.00）_13.x=(y)是 y=f(x)的反函数，f(x)可导，且 （分数：2.00）_设 f(x)在(-1，1)内二阶连续可导，且 f“(x)0证明：（分数：4.00）(1).对(-1，1)内任一点 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf“(x)x；（分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_设函数 （分数：6.00）(1).确定常数 a，使得 f(x)在 x=0 处连续；（分数：2.00）_(2).求 f“(x)；
4、（分数：2.00）_(3).讨论 f“(x)在 x=0 处的连续性（分数：2.00）_14. （分数：2.00）_15. （分数：2.00）_16. （分数：2.00）_17. （分数：2.00）_18. （分数：2.00）_设直线 y=ax 与抛物线 y=x 2 所围成的图形面积为 S 1 ，它们与直线 x=1 所围成的图形面积为 S 2 ，且a0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程（分数：2.00）_22.某人的食量是 2500 卡天(1 卡=41868 焦)，其中 1200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为 16 卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之
5、百有效，而一千克脂肪含热量 10000 卡，求该人体重怎样随时间变化（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）-试卷 31 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 a(xa)，则 （分数：2.00）A.eB.e 2C.1D. 解析：解析：因为 ，所以3.函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：(a)不对，如 存在，但 f(x)在 x=1 处不连续，所以也不可导；4.设 （分数：2.00
6、）A.1B.2 C.D.解析：解析：令 (02，0ra)5.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“-2y“-3y=(2x+1)e -x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax+b)e -xB.x 2 e -xC.x 2 (ax+b)e -xD.x(ax+b)e -x 解析：解析：方程 y“-2y“-3y=(2x+1)e -x 的特征方程为 2 -2-3=0，特征值为 1 =-1， 2 =3，故方程 y“-2y“-3y=(2x+1)e -x 的特解形式为 x(ax+b)e -x ，选(D)二、填空题(总题数：4，分数：8.00)6.设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)=0，f“(0)0，则
7、 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：7.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 2）解析：解析：8.设 f(x，y)可微，f(1，2)=2，f“ x (1，2)=3，f“ y (1，2)=4，(x)=fx，f(x，2x)，则 “(1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：47）解析：解析：因为 “(x)=f“ x x，f(x，2x)3+f“ y x，f(x，2x)f“ x (x，2x)+2f“ y (x，2x)， 所以 “(1)=f“ x 1，f(1，2)+f“ y 1，f(1，2)
8、f“ x (1，2)+2f“ y (1，2)=3+4(3+8)=479.设 u=u(x，y)二阶连续可偏导，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：u(x，3x)=x 两边对 x 求导，得 u“ x (x，3x)+3u“ y (x，3x)=1， 再对 x 求导，得 u“ xx (x，3x)+6u“ xy (x，3x)+9u“ yy (x，3x)=0 由 ，得 10u“ xx (x，3x)+6u“ xy (x，3x)=0， u“ x (x，3x)=x 3 两边对 x 求导，得 u“ xx (x，3x)+3u“ xy (x，3x)=3x 2 ， 解得 u“ xy
9、 (x，3x)= 三、解答题(总题数：16，分数：38.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：11.设 f(x)在1，+)内可导，f“(x) =a0，令 a n = 1 n f(x)dx证明：a n 收敛且0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f“(x)n+1 -a n =f(n+1)- n n+1 f(x)dx=f(n+1)-f()0(n，n+1)， 所以a n 单调减少 因为 a n = f(k)-f(x)dx+f(n)，而 k k+1 f(k)-f(x)dx0(k=1，2，n-1) 且 ，所以存在 X0，当 xX 时，f(x)0 由 f(x)单调
10、递减得 f(x)0(x1，+)，故 a n f(n)0，所以 存在 )解析：12. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.x=(y)是 y=f(x)的反函数，f(x)可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 f(x)在(-1，1)内二阶连续可导，且 f“(x)0证明：（分数：4.00）(1).对(-1，1)内任一点 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf“(x)x；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意 X(-1，1)，根据微分中值定理，得 f(x)=f(0)+xf“(x)x，其中00，从第二只桶内流出的水中含盐
11、所满足的微分方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设在任意时刻 t0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为 m 1 (t)，m 2 (t)，在时间t，t+dt内有 ，且满足初始条件 m 1 (0)=150，解得 ；在时间t，t+dt内有 )解析：22.某人的食量是 2500 卡天(1 卡=41868 焦)，其中 1200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为 16 卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10000 卡，求该人体重怎样随时间变化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：输入率为 2500 卡天，输出率为(1200+16w)，其中叫为体重， )解析：
