1、考研数学二（高等数学）-试卷 30 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶但非等价的无穷小D.等价无穷小3.设 f“(x 0 )f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.f“(x 0 )是 f(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极大值C.f(x 0 )是 f(x)的极小值D.(x 0 ，f(x 0 )是 y=f(x)的拐点4.在曲线 y
2、=(x-1) 2 上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0)，则区域 D 绕 z 轴旋转一周所成的几何体的体积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x)一阶可导，且 f(0)=f“(0)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.曲线 y=x+ （分数：2.00）填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_10.设 z=f(x+y，y+z，z+x)，其中 f
3、 连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_11. （分数：2.00）填空项 1:_12.微分方程 y 2 dx+(x 2 -xy)dy=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.求 （分数：2.00）_15. （分数：2.00）_16.设 （分数：2.00）_17.设 f(x)连续，且对任意的 x，y(-，+)有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f“(0)=1，求 f(x)（分数：2.00）_18.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0
4、)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_19.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，证明：存在 (1，2)，使得 f“()=f()=f(2)-2f(1)（分数：2.00）_20. （分数：2.00）_21. （分数：2.00）_22.设 y“=arctan(x-1) 2 ，y(0)=0，求 0 1 y(x)dx（分数：2.00）_23.设 f(x)在a，b上连续，证明： a b f(x)dx= a b (a+b-x)dx（分数：2.00）_24.曲线 y=x 2 (x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 x 轴所围成的面积为 112，求切点坐标、切线方程，并求此图形绕
5、X 轴旋转一周所成立体的体积（分数：2.00）_25.设 z= （分数：2.00）_26.设 f(x)连续，f(0)=1，令 F(t)= （分数：2.00）_27.求微分方程 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 的通解（分数：2.00）_28.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 x 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 z 轴平行（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）-试卷 30 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的
6、四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= （分数：2.00）A.高阶无穷小 B.低阶无穷小C.同阶但非等价的无穷小D.等价无穷小解析：解析：3.设 f“(x 0 )f“(x 0 )=0，f“(x 0 )0，则下列正确的是( )（分数：2.00）A.f“(x 0 )是 f(x)的极大值B.f(x 0 )是 f(x)的极大值C.f(x 0 )是 f(x)的极小值D.(x 0 ，f(x 0 )是 y=f(x)的拐点 解析：解析：因为 f“(x 0 )0，所以存在 0，当 000，从而当 x(x 0 -，x 0 )时，f“(x) 0 ，x 0 +)时，f“(x
7、)0，即(x 0 ，f(x 0 )是 y=f(x)的拐点，选(D)4.在曲线 y=(x-1) 2 上的点(2，1)处作曲线的法线，由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域为 D(y0)，则区域 D 绕 z 轴旋转一周所成的几何体的体积为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：过曲线 y=(x-1) 2 上点(2，1)的法线方程为 y= x+2，该法线与 x 轴的交点 为(4，0)，则由该法线、x 轴及该曲线所围成的区域 D 绕 x 轴旋转一周所得的几何体的体 积为 V= 1 2 (x-1) 4 dx+ 2 4 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)5.= 1 （分数：2.00）
8、填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x0 时，6.设 f(x)一阶可导，且 f(0)=f“(0)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：7.曲线 y=x+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x）解析：解析：由 ，得曲线 y=z+8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设 f(x)在0，1上连续，且 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 0 1 xf(x)dx=k，则 f(x)= +k，xf(x)= +kx，
9、两边积分得 0 1 xf(x)dx= 0 1 dx+ 0 1 kxdx 即 k= ，所以 k= ，从而 f(x)= 10.设 z=f(x+y，y+z，z+x)，其中 f 连续可偏导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：z=f(x+y，y+z，z+x)两边求 x 求偏导得 解得11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：724）解析：解析： (x 2 +xy-x)dxdy= 0 1 dx x 2x (x 2 +xy-x)dy= 0 1 12.微分方程 y 2 dx+(x 2 -xy)dy=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_
10、 （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 ，代入原方程得 ，两边积分得 u-lnu-lnx-lnC=0，解得 y=三、解答题(总题数：16，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 x0 + 时， 所以 )解析：解析：注解该题考查等价无穷小求极限的方法，当 x0 常用的等价无穷小有： (1)xsinxtanxarcsinxarctanxe x -1ln(1+x)； (2)1-cosx ，1-cos a x 16.设 （分数
11、：2.00）_正确答案：(正确答案： 由马克劳林公式得 )解析：17.设 f(x)连续，且对任意的 x，y(-，+)有 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy，f“(0)=1，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x=y=0 时，f(0)=2f(0)，于是 f(0)=0 对任意的 x(-，+)， )解析：18.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(b)lnx-f(x)lnx+f(x)lna，(a)=(b)=f(b)lna 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 “()=0
12、 )解析：解析：由19.设 f(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，证明：存在 (1，2)，使得 f“()=f()=f(2)-2f(1)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 xf“(x)-f(x)=f(2)-2f(1)得 =0 从而 =0，辅助函数为 (x)=令 (x)= 则 (x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 (1)=(2)=f(2)-f(1)， 由罗尔定理，存在 (1，2)，使得 “()=0， 而 “(x)= )解析：20. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 y“=arctan(x
13、-1) 2 ，y(0)=0，求 0 1 y(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 1 y(x)dx=xy(x) 0 1 - 0 1 xarctan(x-1) 2 dx =y(1)- 0 1 (x-1)arctan(x-1) 2 d(x-1)- 0 1 arctan(x-1) 2 dx )解析：23.设 f(x)在a，b上连续，证明： a b f(x)dx= a b (a+b-x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： a b f(x)dx )解析：24.曲线 y=x 2 (x0)上某点处作切线，使该曲线、切线与 x 轴所围成的面积为 112，求切点坐标、切线方程，并求
14、此图形绕 X 轴旋转一周所成立体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点坐标为(a，a 2 )(a0)，则切线方程为 y-a 2 =2a(x-a)，即 y=2ax-a 2 ， 由题意得 S= ，解得 a=1， 则切线方程为 y=2x-1，旋转体的体积为 V= 0 1 x 4 dx- (2x-1) 2 dx= )解析：25.设 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 f(x)连续，f(0)=1，令 F(t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=rcos,y=rsin，则 F(t)= 0 2 d 0 t rf(r 2 )dr=2 0 1 r
15、f(r 2 )dr， 因为 f(x)连续，所以 F“(t)=2tf(t 2 )且 F“(0)=0，于是 F“(0)= )解析：27.求微分方程 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y 2 dx+(2xy+y 2 )dy=0 得 )解析：28.在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 的长度的倒数(Q 为法线与 x 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 z 轴平行（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设所求曲线为 y=y(x)，该曲线在点 P(x，y)的法线方程为 令 y=0，得X=x+yy“，该点到 x 轴法线段 PQ 的长度为 由题意得 ，即 yy“=1+y“ 2 令 y“=p，则 ，两边积分得 ，由 y(1)=1，y“(1)=0 得 C 1 =0，所以 ，变量分离得 ，两边积分得 =x+C 2 ，由 y(1)=1 得 C 2 = 两式相加得 )解析：
