1、考研数学二（高等数学）-试卷 2 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0 且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点3.设 f(x)在 x=0 的邻域内连续可导，g(x)在 x=0 的邻域内连续，且 （分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的极
2、大值点B.x=0 是 f(x)的极小值点C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点4.设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件 （分数：2.00）A.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内B.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上C.f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上D.f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5. （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x)在 x=0 处
3、连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)在 x=a 的邻域内二阶可导且 f(a)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_8. （分数：2.00）填空项 1:_9. （分数：2.00）填空项 1:_10.设xy(x)dx=arcsinx+C，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)为连续函数，且满足 0 1 f(xt)dt=f(x)+xsinx，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13. （分数：2.00）_14.设函数 f(x)可导且
4、 0f“(x) (k0)，对任意的 x 0 ，作 x n+1 =f(x n )(n=0，1，2，)，证明： （分数：2.00）_15.设 （分数：2.00）_16.设 （分数：2.00）_17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且 f“ + (a)0证明：存在 (a，b)，使得 f“()0证明：对任意的 a0，b0，有 f(a+b)f(a)+f(b)（分数：2.00）_19.设 x 3 -3xy+y 3 =3 确定隐函数 y=y(x)，求 y=y(x)的极值（分数：2.00）_20.设 f(x)在0，1上连续，f(0)=0， 0 1 f(x)dx=0证
5、明：存在 (0，1)，使得 0 f(x)dx=f()（分数：2.00）_21.设 f(x)在(-，+)上有定义，且对任意的 x，y(-，+)有(fx)-f(y)x-y证明： a b f(x)dx-(b-a)f(a) （分数：2.00）_22.计算定积分 （分数：2.00）_23.设二元函数 f(x，y)=x-y(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)=0（分数：2.00）_24.计算 （分数：2.00）_25.交换积分次序并计算 （分数：2.00）_26.设二阶常系数线性微分方程 y“+ay“+by=ce
6、x 有特解 y=e 2x +(1+x)e x ，确定常数 a，b，c，并求该方程的通解（分数：2.00）_27.设 且二阶连续可导，又 （分数：2.00）_28.早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 1km，问降雪是什么时候开始的?（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）-试卷 2 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0 且
7、（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：由 ，得 f(0)+f“(0)=0，于是 f“(0)=0 再由3.设 f(x)在 x=0 的邻域内连续可导，g(x)在 x=0 的邻域内连续，且 （分数：2.00）A.x=0 是 f(x)的极大值点B.x=0 是 f(x)的极小值点C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：由 得 g(
8、0)=g“(0)=0，f“(0)=0，f“(x)=-2x 2 + 0 x g(x-t)dt=-2x 2 - 0 x g(x-t)d(x-t)=-2x 2 + 0 x g(u)du，f“(x)=-4x+g(x)，f“(0)=0，f“(x)=-4+g“(x)，f“(0)=-44.设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件 （分数：2.00）A.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 内B.f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上 C.f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上D.f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上
9、解析：解析：若 f(x，y)的最大点在 D 内，不妨设其为 M 0 ，则有 ，因为 M 0 为最大值点，所以AC-B 2 非负，而在 D 内有 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12）解析：解析：因为当 x0 时，6.设 f(x)在 x=0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：7.设 f(x)在 x=a 的邻域内二阶可导且 f(a)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解
10、析：解析：9. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：10.设xy(x)dx=arcsinx+C，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设 f(x)为连续函数，且满足 0 1 f(xt)dt=f(x)+xsinx，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：cosx-xsinx+C）解析：解析：由 0 1 f(xt)dt=f(x)+xsinx，得 0 1 f(xt)d(xt)=xf(x)+x 2 sinx，即 0 x f(t)dt=xf(x)+x 2 sinx，两边求导得 f“(x)=-
11、2sinx-xcossx，积分得 f(x)=cosx-xsinx+C三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.设函数 f(x)可导且 0f“(x) (k0)，对任意的 x 0 ，作 x n+1 =f(x n )(n=0，1，2，)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x n+1 -x n =f(x n )-f(x n+1 )=f“( n )(x n -x n-1 )，因为 f“(x)0，所以 x n+1 -x n 与 x n -x n-
12、1 同号，故x n 单调 即x n 有界，于是 存在，根据 f(x)的可导性得 f(x)处处连续，等式 x n+1 =f(x n )两边令 n，得 )解析：15.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 c=0，即 f(x)= )解析：17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且 f“ + (a)0证明：存在 (a，b)，使得 f“()0，所以存在 0，当 0 0，从而 f(x)f(a)，于是存在C(a，b)，使得 f(c)f(a)=0 由微分中值定
13、理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 再由微分中值定理及 f(x)的二阶可导性，存在 ( 1 ， 2 ) (a，b)，使得 )解析：18.设 f(x)二阶可导，f(0)=0，f“(x)0证明：对任意的 a0，b0，有 f(a+b)f(a)+f(b)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 ab，由微分中值定理，存在 1 (0，a)， 2 (b，a+b)，使得 )解析：19.设 x 3 -3xy+y 3 =3 确定隐函数 y=y(x)，求 y=y(x)的极值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 3 -3xy+y 3 =3 两边对 x 求导得 3x 2 -3y-3xy“
14、+3y 2 y“=0， 因为 y“(-1)=10，所以 x=-1 为极小点，极小值为 y(-1)=1； 因为 =-1 为极大点，极大值为 )解析：20.设 f(x)在0，1上连续，f(0)=0， 0 1 f(x)dx=0证明：存在 (0，1)，使得 0 f(x)dx=f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ，因为 f(x)在0，1上连续，所以 (x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，又 (0)=o，(1)= 0 1 f(x)dx=0，由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 “()=0，而 )解析：21.设 f(x)在(-，+)上有定义，且对任意的 x，y(-，+)有(fx)-f(y)
15、x-y证明： a b f(x)dx-(b-a)f(a) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(b-a)f(a)= a b f(a)dx， 所以 a b (x)dx-(b-a)f(a)= a b f(x)-f(a)dx a b f(x)-f(a)dx )解析：22.计算定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=tant，则 )解析：23.设二元函数 f(x，y)=x-y(x，y)，其中 (x，y)在点(0，0)处的某邻域内连续证明：函数f(x，y)在点(0，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(必要性)设 f(x，y)在点
16、(0，0)处可微，则 f“ x (0，0)，f“ y (0，0)存在 (充分性)若 (0，0)=0，则 f“ x (0，0)=0，f“ y (0，0)=0 所以 )解析：24.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.交换积分次序并计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设二阶常系数线性微分方程 y“+ay“+by=ce x 有特解 y=e 2x +(1+x)e x ，确定常数 a，b，c，并求该方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 y=e 2x +(1+x)e x 代入原方程得 (4+2a+b)e 2x +(3+2a+b)e x
17、 +(1+a+b)xe x =ce x ，则有 )解析：27.设 且二阶连续可导，又 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 解得 rf“(r)=C 1 ，由 f“(1)=2 得 C 1 =2，于是 )解析：28.早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 1km，问降雪是什么时候开始的?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设单位面积在单位时间内降雪量为 a，路宽为 b，扫雪速度为 c，路面上雪层厚度为 H(t)，扫雪车前进路程为 S(t)，降雪开始时间为 T，则 H(t)=a(t-T)，又 bH(t)s=ct )解析：
