1、考研数学二（高等数学）-试卷 29 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.f(x)=2 x +3 x -2，当 x0 时( )（分数：2.00）A.f(x)xB.f(x)是 x 的同阶但非等价的无穷小C.f(x)是 x 的高阶无穷小D.f(x)是 x 的低阶无穷小3.设 f(x)在(-，+)上有定义，x 0 0 为函数 f(x)的极大值点，则( )（分数：2.00）A.x 0 为 f(x)的驻点B.-x 0 为-f(-x)的极小值点C.-x 0 为-f(x
2、)的极小值点D.对一切的 x 有 f(x)f(x 0 )4.矩形闸门宽口米，高 h 米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为( )（分数：2.00）A.g 0 h ahdhB.g 0 a ahdhC.g 0 h D.2g 0 h ahdh二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_6.x y =y x ，则 y“= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 z=z(x，y)由 z+e z =xy 2 确定，则 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.
3、微分方程 xy“-yln(xy)-1=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12.设 0abc，求 （分数：2.00）_13. （分数：2.00）_14.确定常数 a，c，使得 （分数：2.00）_15.设 f(x)= 0 1 x-ysin （分数：2.00）_16.设函数 f(x)和 g(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g“(x)0，证明：存在 (a，b)，使得 a f(x)dx= b f(x)dx（分数：2.00）_21.求由曲线 y=4-
4、x 2 与 X 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积（分数：2.00）_22.设 z=f(e t sint，tant)，求 （分数：2.00）_23.设某工厂生产甲、乙两种产品，产量分别为 x 件和 y 件，利润函数为 L(x，y)=6x-x 2 +16y-4y 2 -2(万元) 已知生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料 2000kg，现有该原料 12000kg，问两种产品各生产多少时总利润最大?最大利润是多少?（分数：2.00）_24.把 （分数：2.00）_25.求微分方程(y-x 3 )dx-2xdy=0 的通解（分数：2.00）_26.设曲线 L 位于 xOy 平面
5、的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知MA=OA，且 L 经过点 （分数：2.00）_考研数学二（高等数学）-试卷 29 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.f(x)=2 x +3 x -2，当 x0 时( )（分数：2.00）A.f(x)xB.f(x)是 x 的同阶但非等价的无穷小 C.f(x)是 x 的高阶无穷小D.f(x)是 x 的低阶无穷小解析：解析：因为3.设 f(x)在(-，+)上有定义，x 0 0
6、为函数 f(x)的极大值点，则( )（分数：2.00）A.x 0 为 f(x)的驻点B.-x 0 为-f(-x)的极小值点 C.-x 0 为-f(x)的极小值点D.对一切的 x 有 f(x)f(x 0 )解析：解析：因为 y=f(-x)的图像与 y=f(x)的图像关于 y 轴对称，所以-x 0 为 f(-x)的极大值点，从而-x 0 为-f(-x)的极小值点，选(B)4.矩形闸门宽口米，高 h 米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为( )（分数：2.00）A.g 0 h ahdh B.g 0 a ahdhC.g 0 h D.2g 0 h ahdh解析：解析：取x，x+dx 二、填空题(总
7、题数：6，分数：12.00)5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6.x y =y x ，则 y“= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 x y =y x ，得 ylnx-xlny，两边求导数得 y“lnx+ 解得 y“= 7.曲线 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=x+3）解析：解析：8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：9.设 z=z(x，y)由 z+e z =xy 2 确定，则 dz= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （
8、正确答案：正确答案：*）解析：解析：z+e z =xy 2 两边求微分得 d(z+e z )=d(xy 2 )，即 dz+e z dz=y 2 dx+2xydy，解得 dz= 10.微分方程 xy“-yln(xy)-1=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：Cx）解析：解析：令 xy=u，y+xy“= ，代入原方程得 =0，分离变量得三、解答题(总题数：17，分数：34.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：12.设 0abc，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 c n a n +b n +c n 3c n 得 c 因
9、为 ，所以 )解析：13. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.确定常数 a，c，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由洛必达法则， )解析：15.设 f(x)= 0 1 x-ysin （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设函数 f(x)和 g(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，且 f(a)=g(b)=0，g“(x)0，于是有 )解析：设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：（分数：4.00）(1).存在 (a，b)，使得 f“()=2f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
10、令 (x)= f(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 “()=0， 而 “(x)= f“(x)=-2xf(x)且 )解析：(2).存在 (a，b)，使得 f“()+f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=xf(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在(a，b)，使得 “()=0， 而 “(x)=xf“(x)+f(x)，故 nf“()+f()=0)解析：17. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 sinx-cosx=a(sinx+2cosx)+b(sinx+2
11、cosx)“，则 )解析：18. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(x)在a，b 上连续，且 f(x)0，证明：存在 (a，b)，使得 a f(x)dx= b f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(x)= a x f(t)dt- x b f(t)dt， 因为 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0， 所以 g(a)=- a b f(t)dta b f(t)dt0 由零点定理，存在 (a，b)，使得 g()=0，即 a f(x)dx= b f(x)dx)解析：21.求
12、由曲线 y=4-x 2 与 X 轴围成的部分绕直线 x=3 旋转一周所成的几何体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取x，x+dx -2，2，则 dV=2(3-x)(4-x 2 )dx， V= -2 2 dV=2 -2 2 (3-x)(4-x 2 )dx=6 -2 2 (4-x 2 )dx=12 0 2 (4-x 2 )dx=12 )解析：22.设 z=f(e t sint，tant)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设某工厂生产甲、乙两种产品，产量分别为 x 件和 y 件，利润函数为 L(x，y)=6x-x 2 +16y-4y 2 -2(万元) 已知
13、生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料 2000kg，现有该原料 12000kg，问两种产品各生产多少时总利润最大?最大利润是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意，即求函数 L(x，y)=6x-x 2 +16y-4y 2 2 在 0 2+16y-4y2-2+(x+y-6)，由*，根据题意，x，y 只能取正整数，故(x，y)的可能取值为 L(4，2)=22，L(3，3)=19，L(3，2)=23，故当 x=3，y=2 时利润最大，最大利润为 23 万元)解析：24.把 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D=(r，)0 ，0rsec，则 )解析：25.求微分方程(y-x 3 )dx-2xdy=0 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(y-x 3 )dx-2xdy=0，得 即原方程的通解为 y= )解析：26.设曲线 L 位于 xOy 平面的第一象限内，L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，交点为 A，已知MA=OA，且 L 经过点 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设点 M 的坐标为(x，y)，则切线 MA：Y-y=y“(X-x) 令 X=0，则 Y=y-xy“，故 A点的坐标为(0，y-xy“) 由MA=OA，得y-xy“= 因为曲线经过点 ，所以 C=3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为 )解析：
