1、考研数学二（高等数学）-试卷 27 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设当 x0 时，(x-sinx)ln(1+x)是比 -1 高阶的无穷小，而 -1 是比 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.43.设曲线 y=x 2 +ax+b 与曲线 2y=xy 3 -1 在点(1，-1)处切线相同，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=-1，b=-1C.a=2，b=1D.a=-2，b=-14.设 f(x)，g(x)在区间a，b上连续，且 g(x
2、)0)，且 f(a)=0证明：存在 (a，b)，使得 f()=（分数：2.00）_19.求 （分数：2.00）_20.设 f(lnx)= （分数：2.00）_21.设 f(x)=f(x-)+sinx，且当 x0，时，f(x)=x，求 3 f(x)dx（分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.求曲线 y=3-x 2 -1与 x 轴围成的封闭图形绕 y=3 旋转所得的旋转体的体积（分数：2.00）_24.讨论 f(x，y)= （分数：2.00）_25.平面曲线 L： （分数：2.00）_26.把二重积分 （分数：2.00）_27.求微分方程(y+ （分数：2.00）_28.设 f(
3、x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）-试卷 27 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设当 x0 时，(x-sinx)ln(1+x)是比 -1 高阶的无穷小，而 -1 是比 （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：当 x0 时， -1x n ，因为 sinx=x- +o(x 3 )，所以(x-sinx)ln(1
4、+x) 又因为 所以当 x0 时， 3.设曲线 y=x 2 +ax+b 与曲线 2y=xy 3 -1 在点(1，-1)处切线相同，则( )（分数：2.00）A.a=1，b=1B.a=-1，b=-1 C.a=2，b=1D.a=-2，b=-1解析：解析：由 y=x 2 +ax+b 得 y“=2x+a， 2y=xy 3 -1 两边对 x 求导得 2y“=y 3 +3xy 2 y“，解得 y“= 因为两曲线在点(1，-1)处切线相同，所以 4.设 f(x)，g(x)在区间a，b上连续，且 g(x)0)，且 f(a)=0证明：存在 (a，b)，使得 f()=（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令
5、(x)=(b-x) a f(x)，显然 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导， 因为(a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 “()=0， 由 “(x)=(b-x) a-1 (b-x)f“(x)-af(x)得 (b-) a-1 (b-)f“()-af()且(b-) a-1 0，故 f()= )解析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(lnx)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(lnx)= 由 C 1 =1+C 2 ，取 C 2 =C 得f(x)dx= )解析：21.设 f(x)=f(x-)+sinx，且当 x0，时
6、，f(x)=x，求 3 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 3 f(x)dx= 3 f(x-)+sinxdx= 3 f(x-)dx+ 3 sinxdx = 0 2 f(x)dx= 0 xdx+ 2 f(x)dx= + 2 f(x-)+sinxdx = + 2 f(x-)dx+ 2 sinxdx= )解析：22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=1 为被积函数的无穷间断点，则 )解析：23.求曲线 y=3-x 2 -1与 x 轴围成的封闭图形绕 y=3 旋转所得的旋转体的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取x，x+dx 0，1， dv 1 =3
7、2 -(x 2 -1) 2 dx=(8+2x 2 -x 4 )dx， V 1 = 0 1 dv 1 = 0 1 (8+2x 2 -x 4 )dx，x，x+dx 1，2， dv 2 =3 2 -(1-x 2 ) 2 dx=(8+2x 2 -x 4 )dx， V 2 = 1 2 dv 2 = 1 2 (8+2x 2 -x 4 )dx， 则所求体积为 V=2(V 1 +V 2 )=2 0 2 (8+2x 2 -x 4 )dx= )解析：24.讨论 f(x，y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =0=f(0，0)，所以 f(x，y)在点(0，0)处连续 因为 ，所以f“ x (0，0
8、)=0，由对称性得 f“ y (0，0)=0，即函数 f(x，y)在点(0，0)处可偏导 z-f“ x (0，0)x-f“ y (0，0)y=f(x，y)-f“ x (0，0)x-f“ y (0，0)y=xysin 因为 0 )解析：25.平面曲线 L： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 L： 绕 x 轴旋转一周所得的曲面为 根据对称性，设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为 M(x，y，z)，则体积为 V=8xyz令 F=xyz+ ，由 由实际问题的特性及点的唯一性，当 时，内接长方体体积最大，最大体积为 V= )解析：26.把二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.求微分方程(y+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(y+ )dx-xdy=0，得 令 u= ，则原方程化为 ，积分得ln(u+ )=lnx+1nC， 即 u+ =Cx，将初始条件 y(1)=0 代入得 C=1 由 ，即满足初始条件的特解为 y= )解析：28.设 f(x)在0，+)上连续，且 f(0)0，设 f(x)在0，x上的平均值等于 f(0)与 f(x)的几何平均数，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意得 ，则有 0 x f(t)dt= ，两边求导得 f(x)= )解析：
