1、考研数学二（高等数学）-试卷 26 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但导数不连续D.导数连续3.设 M= (sin 3 x+cos 4 x)dx，P= （分数：2.00）A.N0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数（分数：2.00）_17. （分数：2.00）_18. （分数：2.00）_19. 0 2 sinx-cosxdx（分数：2.00）_20.设 f(2)= （分数：2
2、.00）_21.求双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 )所围成的面积（分数：2.00）_22.设 u=f(x+y，x 2 +y 2 )，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_23.设变换 （分数：2.00）_24.改变积分次序 （分数：2.00）_25.计算 （分数：2.00）_26.求微分方程 y“+2y“-3y=(2x+1)e x 的通解（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）-试卷 26 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：
3、2.00）_解析：2.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.可导但导数不连续D.导数连续 解析：解析：因为 ，所以 f(x)在 x=0 处连续； 由 ，得 f(x)在 x=0 处可导，且 f“(0)=0； 当 x0 时，f(x)=3x 2 sin -xcos ；当 x3.设 M= (sin 3 x+cos 4 x)dx，P= （分数：2.00）A.N0， P= (x 2 sin 3 x-cos 4 x)dx= 4.微分方程 y“-y“-6y=(x+1)e -2x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax+b)e -2xB.ax 2 e -2xC.(ax 2
4、+bx)e -2x D.x 2 (ax+b)e -2x解析：解析：因为原方程的特征方程的特征值为 1 =-2， 2 =3，而-2 为其中一个特征值，所以原方程的特解形式为 x(ax+b)e -2x ，选(C)二、填空题(总题数：5，分数：10.00)5.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 6.设 f(x)连续，且 F(x)= a x f(t)dt，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 2 f(a)）解析：解析：7.曲线 r=e 在 2 处的切线方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=-x+
5、*）解析：解析：8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.z= f(xy)+yg(x 2 +y 2 )，其中 f，g 二阶连续可导，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： +2xyg“(x 2 +y 2 )， 三、解答题(总题数：18，分数：36.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：11.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为当 x0 时， -1x 2 ，xln(1+2x)2x 2 ， 所以 )解析：13. （
6、分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.求 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=-1、x=0、x=1、x=2 为 f(x)的间断点， 由 得 x=-1 为第二类间断点， 由得 x=0 为可去间断点， 由 得 x=1 为第二类间断点， 由 f(2+0)= )解析：15.设 y=ln(2+3 -x )，求 dy x=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：设 f(x)二阶可导，f(0)=0，令 g(x)= （分数：4.00）(1).求 g“(x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 =f“(0)=g(0)，所以 g(x)在 x=0
7、处连续 当 x0 时，g“(x)= 当x=0 时，由 得 g“(0)= f“(0)，即 g“(x)= )解析：(2).讨论 g“(x)在 x=0 处的连续性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析：16.设 f(x)在a，b上二阶可导且 f“(x)0，证明：f(x)在(a，b)内为凹函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x 1 ，x 2 (a，b)且 x 1 x 2 ，取 x 0 = ，由泰勒公式得 f(x)=f(x 0 )+f“(x 0 )(x=x-x 0 )+ (x-x 0 ) 2 ，其中 介于 x 0 与 x 之间 因为 f“(x)0，所以f(x)f(x
8、0 )+f“(x 0 )(x-x 0 )，“=”成立当且仅当“x=x 0 ”， 两式相加得 f(x 0 ) )解析：17. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 =t则 x=ln(1+t 2 )，dx= 则 )解析：19. 0 2 sinx-cosxdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(2)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 1 x 2 f“(2x)dx= 0 1 (2x) 2 f“(2x)d(2x)= 0 2 x 2 f“(x)dx = 0 2 x/ 2 df“(x)= x 2
9、 f“(x) 0 2 -2 0 2 xf“(x)dx= 0 2 xdf(x) = xf(x) 0 2 - 0 2 f(x)dx= )解析：21.求双纽线(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 )所围成的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据对称性，所求面积为第一卦限面积的 4 倍，令 则双纽线的极坐标形 式为 r 2 =a 2 cos2(0 )，第一卦限的面积为 )解析：22.设 u=f(x+y，x 2 +y 2 )，其中 f 二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： f“ 1 +2xf“ 2 ， =f“ 1 +2yf“ 2 ， =f“ 11
10、 +2xf“ 12 +2f“ 2 +2x(f“ 21 +2xf“ 22 )=f“ 11 +4xf“ 12 +4x 2 f“ 22 +2f“ 2 ， =f“ 11 +2yf“ 12 +2f“ 2 +2y(f“ 21 +2yf“ 22 )=f“ 11 +4yf“ 12 +4y 2 f“ 22 +2f“ 2 ， 则 )解析：23.设变换 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 u，v 作为中间变量，则函数关系为 z=f(u，v)， 则有 将上述式子代入方程 =0 根据题意得 )解析：24.改变积分次序 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 D=(x，y)a- xy，0ya，所以 )解析：25.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由极坐标法得 )解析：26.求微分方程 y“+2y“-3y=(2x+1)e x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 +2-3=0，特征值为 1 =1， 2 =-3，则 y“+2y“-3y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e -3x 令原方程的特解为 y 0 =x(ax+b)e x ，代入原方程得 所以原方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e -3x + )解析：
