1、考研数学二（高等数学）-试卷 25 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续3.设函数 f(x)满足关系 f“(x)+f“ 2 (x)=x，且 f“(0)=0，则( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点D.(0，f(0)不是 y=f
2、(x)的拐点二、填空题(总题数：9，分数：18.00)4. （分数：2.00）填空项 1:_5.设 （分数：2.00）填空项 1:_6. （分数：2.00）填空项 1:_7.求xarctan （分数：2.00）填空项 1:_8. （分数：2.00）填空项 1:_9. （分数：2.00）填空项 1:_10. （分数：2.00）填空项 1:_11. （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(u)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14. （分数：2.00）_15.设 f(x
3、)在0，1上有定义，且 e x f(x)与 e -f(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续（分数：2.00）_16.设 （分数：2.00）_17.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f“(b)=0证明：存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_18.设 f(x)在0，+)内可导且 f(0)=1，f“(x) 0)证明：f(x)x(x0)（分数：2.00）_19.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，取 x i a，b(i=1，2，n)及 k i 0(i=1，2，n)且满足 k 1 +k 2 +k n =1证明：f(k 1 x 1 +k 2 x 2 +k n
4、 x n )k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )（分数：2.00）_20.设 a n = tan n xdx(n2)，证明： （分数：2.00）_21.设 f(x)有界，且 f“(x)连续，对任意的 x(-，+)有f(x)+f“(x)1证明：f(x)1（分数：2.00）_22.证明：当 x0 时，f(x)= 0 x (t-t 2 )sin 2n tdt 的最大值不超过 （分数：2.00）_23.设 u=u(x，y，z)连续可偏导，令 (1)若 ，证明：u 仅为 与 的函数(2)若 （分数：2.00）_24.设 f(x，y)= 且 D：x 2 +y 2 2x，求
5、 （分数：2.00）_25.证明：用二重积分证明 （分数：2.00）_26.设 y=y(x)二阶可导，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数(1)将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y“(0)= （分数：2.00）_27.设函数 f(x，y)可微， （分数：2.00）_28.飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 v 0 (ms)，飞机与地面的摩擦系数为 u，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 k x (kgs 2 m 2 )，在垂直方向的比
6、例系数为 k y (kgs 2 m 2 )设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）-试卷 25 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续 解析：解析：因为 f(x)在 x=a 处右可导，所以3.设函数 f(x)满足关系 f“(x)+f“ 2 (x)=x，且
7、 f“(0)=0，则( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点 D.(0，f(0)不是 y=f(x)的拐点解析：解析：由 f“(0)=0 得 f“(0)=0，f“(x)=1-2f“(x)f“(x)，f“(0)=10，由极限保号性，存在 0，当 00，再由 f“(0)=0，得二、填空题(总题数：9，分数：18.00)4. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析： 5.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： ，因为函数 f(x)在 x=0 处连
8、续，所以 a=6. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：7.求xarctan （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：9. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：10. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：12.设 f(u)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-xf(x 2
9、 -1)）解析：解析：三、解答题(总题数：16，分数：32.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 f(x)在0，1上有定义，且 e x f(x)与 e -f(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x 0 0，1，因为 e x f(x)与 e -f(x) 在0，1上单调增加， )解析：16.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f“(b)=0证明：
10、存在 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 )解析：18.设 f(x)在0，+)内可导且 f(0)=1，f“(x) 0)证明：f(x)x(x0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e -x f(x)，则 (x)在0，+)内可导， 又 (0)=1，“(x)=e -x f“(x)-f(x)0)，所以当 x0 时，(x)x(x0)解析：19.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，取 x i a，b(i=1，2，n)及 k i 0(i=1，2，n)且满足 k 1 +k 2 +k n =1证明：f(k 1 x 1 +k 2 x 2 +k
11、n x n )k 1 f(x 1 )+k 2 f(x 2 )+k n f(x n )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 0 =k 1 x 1 +k 2 x 2 +k n x n ，显然 x 0 a，b 因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(x-x 0 )， 分别取 x=x i (i=1，2，n)，得 由 k i 0(i=1，2，n)，上述各式分别乘以 k i (i=1，2，n)，得 )解析：20.设 a n = tan n xdx(n2)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f(x)有界，且 f“(x)连续，对任意的
12、 x(-，+)有f(x)+f“(x)1证明：f(x)1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e x f(x)，则 “(x)=e x f(x)+f“(x)， 由f(x)+f“(x)1得“(x)e x ，又由 f(x)有界得 (-)=0，则 (x)=(x)-(-)= - x “(x)dx，两边取绝对值得 e x f(x) - x “(x)dx - x e x dx=e x ，所以f(x)1)解析：22.证明：当 x0 时，f(x)= 0 x (t-t 2 )sin 2n tdt 的最大值不超过 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，令 f“(x)=(x-x 2 )
13、sin 2n x=0 得 x=1，x=k(k=1，2，)， 当 0 0；当 x1 时，f“(x)0(除 x=k(k=1,2，)外 f“(x)2)sin2nx(x-x 2)x2n=x2n+1-x2n+2， 于是 f(x)f(1)= 01(x-x2)sin2nxdx 01(x2n+1-x2n+2)dx=*)解析：23.设 u=u(x，y，z)连续可偏导，令 (1)若 ，证明：u 仅为 与 的函数(2)若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 所以 u 是不含 r 的函数，即 u 仅为 与 的函数 (2) 从而 )解析：24.设 f(x，y)= 且 D：x 2 +y 2 2x，求 （
14、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)1x2， yx， )解析：25.证明：用二重积分证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 =(x，y)x 2 +y 2 R 2 ，x0，y0， S=(x，y)0xR，0yR， D 2 =(x，y)x 2 +y 2 2R 2 ，x0，y0 )解析：26.设 y=y(x)二阶可导，且 y“0，x=x(y)是 y=y(x)的反函数(1)将 x=x(y)所满足的微分方程 变换为 y=y(x)所满足的微分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件 y(0)=0，y“(0)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 代入
15、原方程得 y“-y=sinx，特征方程为 r 2 -1=0，特征根为 r 12 =1，因为 i 不是特征值，所以设特解为 y * =acogx+bsinx，代入方程得 a=0， ，于是方程的通解为 ，由初始条件得 C 1 =1，C 2 =-1，满足初始条件的特解为 )解析：27.设函数 f(x，y)可微， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 ，得 C=0，即 f(0，y)=siny 又由 )解析：28.飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 v 0 (ms)，飞机与地面的摩擦系数为 u，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 k x (kgs 2 m 2 )，在垂直方向的比例系数为 k y (kgs 2 m 2 )设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：水平方向的空气阻力 R x =k x v 2 ，垂直方向的空气阻力 R y =k y v 2 ，摩擦力为 W=u(mg-R y )，由牛顿第二定律，有 )解析：
