1、考研数学二（高等数学）-试卷 24 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 在(-，+)内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0B.a03.则 f(x)在 x=0 处( ) （分数：2.00）A.不连续B.连续不可导C.可导但 f(x)在 x=0 处不连续D.可导且 f“(x)在 x=0 处连续4.设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A. 0 x tf(t)-f(-t)dtB. 0 x tf(t)+f(
2、-t)dtC. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f 2 (t)dt5. （分数：2.00）A.等于 0B.大于 0C.小于 0D.不能确定6.若由曲线 ，曲线上某点处的切线以及 x=1，x=3 围成的平面区域的面积最小，则该切线是( )（分数：2.00）A.B.C.D.7.设 D=(x，y)0x，0y，则 等于( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 y(x)是微分方程 y“+(x-1)y“+x 2 y=e x 满足初始条件 y(0)=0，y“(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.等于 1B.等于 2C.等于 0D.不存在二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.设 f
3、(x)连续，且 f(1)=1，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设函数 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(x)在(-，+)上可导， （分数：2.00）填空项 1:_12.设 z=f(x，y)二阶可偏导， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.设 f“(x)连续，f(0)=0，f“(0)0，F(x)= 0 x tf(t2-x。)dt，且当 x0 时，F(x)x，求 n 及f“(0)（分数：2.00）_15. （分数：2.00）_16.设 x 3 -3xy+y 3
4、 =3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点（分数：2.00）_17.设 f(x)在0，1上二阶可导，且f“(x)1(x0，1)，又 f(0)=f(1)，证明： （分数：2.00）_18.设 f(x)在-1，1上可导，f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f“(0)=0，f“(0)=4求 （分数：2.00）_19.设 f(x)二阶连续可导且 f(0)=f“(0)=0，f“(x)0曲线 y=f(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 u，求 （分数：2.00）_20.设 （分数：2.00）_21.设 f(x)连续，且 f(x)=2 0 x f(x-
5、t)dt+e x ，求 f(x)（分数：2.00）_22.设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式：ln 0 1 f(x)dx 0 1 lnf(x)dx（分数：2.00）_23. （分数：2.00）_24.设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大?（分数：2.00）_25.细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24h 内由 100 增长到 400，求前 12h 后的细菌总数（分数：2.00）_26.某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的
6、水量为 ，流出湖的水量为 设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 （分数：2.00）_考研数学二（高等数学）-试卷 24 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 在(-，+)内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0B.a0解析：解析：因为 在(-，+)内连续，所以 a0，又因为3.则 f(x)在 x=0 处( ) （分数：2.00）A.不连续B
7、.连续不可导C.可导但 f(x)在 x=0 处不连续D.可导且 f“(x)在 x=0 处连续 解析：解析：显然 f(x)在 x=0 处连续，因为 ，所以 f(x)在 x=0 处可导，当 x0 时， ，当 x0曲线 y=f(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 u，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=f(x)在点(x，f(x)处的切线方程为 Y-f(x)=f“(x)(X-x)， )解析：20.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 f(x)连续，且 f(x)=2 0 x f(x-t)dt+e x ，求 f(x)（分数
8、：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x f(x-t)dt )解析：22.设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式：ln 0 1 f(x)dx 0 1 lnf(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 g(t)=lnt(t0)， ，再令 x 0 = 0 1 f(x)dx，则有 g(t)g(x 0 )+g“(x 0 )(t-x 0 ) )解析：23. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大?（分数：2.00）_正确答
9、案：(正确答案：设球面 S：x 2 +y 2 +(z-a) 2 =R 2 ， 由 得球面 S 在定球内的部分在 xOy面上的投影区域为 )解析：25.细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24h 内由 100 增长到 400，求前 12h 后的细菌总数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻细菌总数为 S，则有 ，S(0)=100，S(24)=400， )解析：26.某湖泊水量为 V，每年排入湖泊中内含污染物 A 的污水量为 ，流入湖泊内不含 A 的水量为 ，流出湖的水量为 设 1999 年底湖中 A 的含量为 5m 0 ，超过国家规定指标为了治理污染，从 2000 年初开始，限定排入湖中含 A 污水的浓度不超过 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设从 2000 年初开始，第 t 年湖中污染物 A 的总量为 m，则浓度为 任取时间元素t，t+dt，排 ru 湖中污染物 A 的含量为 ，流出湖的污染物 A 的含量为 ，则在此时间元素内污染物 A 的改变量为 ，又由 m(0)=5m 0 ，得 ，于是 )解析：
