1、考研数学二（高等数学）-试卷 20 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+py“+qy=sin2x+2e x 的满足初始条件 f(0)=f“(0)=0 的特解，则当 x0 时， （分数：2.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1D.其他3.设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)0，则f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.不一定可导D.不连续4.下列说法正确的是( ) （
2、分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：3，分数：6.00)5. （分数：2.00）填空项 1:_6. （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(x)为二阶可导的偶函数，f(0)=1，f“(0)=2 且 f“(x)在 x=0 的邻域内连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：40.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_9.设 a 1 =1，当 n1 时，a n+1 = （分数：2.00）_10.设 f(x)在a，+)上连续，且 （分数：2.00）_11.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足f(x)-2e x (x
3、-1) 2 ，研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性（分数：2.00）_设 f(x)在0，1上二阶可导，且f(x)a，f“(x)b，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点（分数：4.00）(1).写出 f(x)在 xC 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；（分数：2.00）_(2).证明： （分数：2.00）_12.设 f(x)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且 f(a)=a i(a，b)(i=1，2，n)，使得*（分数：2.00）_13.设函数 y=f(x)二阶可导，f“(x)0，且与 x=(y)互为反函数，求 “(y)（分数：2.00）_14.设 f(
4、x)在 x=x 0 的邻域内连续，在 x=x 0 的去心邻域内可导，且 （分数：2.00）_15.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0证明：存在 (0，1)，使得 f“()= （分数：2.00）_16.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的 a0，b0，存在，(0，1)，使得 （分数：2.00）_17. （分数：2.00）_18. （分数：2.00）_设点 A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段 AB 绕 z 轴一周所得旋转曲面为 S（分数：4.00）(1).求旋转曲面的方程；（分数：2.00）_(2).求曲面 S
5、 介于平面 z=0 与 z=1 之间的体积（分数：2.00）_19.设 z=z(x，y)满足 （分数：2.00）_20.已知 f(x，y)= ，设 D 为由 x=0、y=0 及 x+y=t 所围成的区域，求 （分数：2.00）_21.设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 f(0)=0， 为 y=f(x)，y=0，x=a 围成区域的形心，证明： （分数：2.00）_设 f(x)是连续函数（分数：4.00）(1).求初值问题 （分数：2.00）_(2).若f(x)k，证明：当 x0 时，有 （分数：2.00）_22.设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微，且 f(0)=1由 y=f(
6、x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与 y=f(x)在0，x上弧的长度相等，求 f(x)（分数：2.00）_考研数学二（高等数学）-试卷 20 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+py“+qy=sin2x+2e x 的满足初始条件 f(0)=f“(0)=0 的特解，则当 x0 时， （分数：2.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1 D.其他解析：解析： 因为
7、f(0)=f“(0)=0，所以 f“(0)=2，于是3.设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)0，则f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.可导 B.不可导C.不一定可导D.不连续解析：解析：不妨设 f(a)0，因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续，于是存在 0，当x-a 时，有 f(x)0，于是4.下列说法正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：二、填空题(总题数：3，分数：6.00)5. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：6. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
8、13）解析：解析：7.设 f(x)为二阶可导的偶函数，f(0)=1，f“(0)=2 且 f“(x)在 x=0 的邻域内连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 f(x)为偶函数，所以 f“(x)为奇函数，于是 f“(0)=0，又因为 f“(x)在 x=0 的邻域内连续，所以 f(x)=f(0)+f“(0)x+ x 2 +o(x 2 )=1+x 2 +o(x 2 )，于是 三、解答题(总题数：18，分数：40.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：9.设 a 1 =1，当 n1 时，a n+1 = （分数：2.00）_正确答
9、案：(正确答案：令 f(x)= 0(x0)，所以数列a n 单调 又因为 a 1 =1，0a n+1 1，所以数列a n 有界，从而数列a n 收敛，令 =A，则有 )解析：10.设 f(x)在a，+)上连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 )解析：11.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足f(x)-2e x (x-1) 2 ，研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 x=1 代入不等式中，得 f(1)=2e 当 x1 时，不等式两边同除以x-1，得)解析：设 f(x)在0，1上二阶可导，且f(x)a，f“(x)b，
10、其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点（分数：4.00）(1).写出 f(x)在 xC 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=f(c)+f“(c)(x-c)+ )解析：(2).证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分别令 x=0，x=1，得 )解析：12.设 f(x)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且 f(a)=a i(a，b)(i=1，2，n)，使得*（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：13.设函数 y=f(x)二阶可导，f“(x)0，且与 x=(y)互为反函数，求 “(y)（
11、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以 )解析：14.设 f(x)在 x=x 0 的邻域内连续，在 x=x 0 的去心邻域内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理得 f(x)-f(x 0 )=f“()(x-x 0 )，其中 介于 x 0 与 x 之间，由 )解析：15.设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(1)=0证明：存在 (0，1)，使得 f“()= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=(x-1) 2 f“(x)，显然 (x)在0，1上可导由 f(0)=f(1)=0，根据 罗尔定
12、理，存在 c(0，1)，使得 f“(c)=0，再由 (c)=(1)=0，根据罗尔定理，存在 (c，1) (0，1)，使得 “()=0，而 “(x)=2(x-1)f“(x)+(x-1) 2 f“(x)，所以 2(-1)f“()+(-1) 2 f“()=0，整理得 f“()= )解析：16.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：对任意的 a0，b0，存在，(0，1)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上连续，f(0)=0，f(1)=1，且 ，所以由端点介值定理，存在 c(0，1)，使得 由微分中值定理，存在 (0，
13、c)，(c，1)，使得 )解析：17. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x=tant，则 )解析：18. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设点 A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段 AB 绕 z 轴一周所得旋转曲面为 S（分数：4.00）(1).求旋转曲面的方程；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =-1，1，1)，直线 AB 的方程为 设对任意的 M(x，y，z)S，过 M垂直于 z 轴的截口为圆，其与直线 AB 及 z 轴的交点为 M 0 (x 0 ，y 0 ，z)，T(0，0，z)，由MT=M 0 T，得 x 2 +y 2 =x 0 2 +y
14、 0 2 ， 因为 M 0 在直线 AB 上，所以有 从而 )解析：(2).求曲面 S 介于平面 z=0 与 z=1 之间的体积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 z0，1，垂直于 z 轴的截口圆面积为 A(z)=(x 2 +y 2 )=(2z 2 -2z+1) )解析：19.设 z=z(x，y)满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.已知 f(x，y)= ，设 D 为由 x=0、y=0 及 x+y=t 所围成的区域，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 t )解析：21.设 f(x)在0，a(a0)上非负、二阶可导，且 f(0)=0， 为
15、y=f(x)，y=0，x=a 围成区域的形心，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设 f(x)是连续函数（分数：4.00）(1).求初值问题 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y“+ay=f(x)的通解为 y= 0 x f(t)e at dt+Ce -ax ， 由 y(0)=0 得 C=0，所以y=e -ax 0 x f(t)e at dt)解析：(2).若f(x)k，证明：当 x0 时，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，y=e -ax 0 x f(t)e at dte ax 0 x ke -at dt= )解析：22.设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微，且 f(0)=1由 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与 y=f(x)在0，x上弧的长度相等，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 y(0)=1，得 C=1，所以 )解析：
