1、考研数学二(高等数学)-试卷 19 及答案解析(总分:54.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:5,分数:10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 f(x)= (分数:2.00)A.连续点B.第一类间断点C.第二类间断点D.不能判断连续性的点3.设函数 f(x)在x2,则 f(x)在 x=0 处( )(分数:2.00)A.不连续B.连续但不可微C.可微且 f“(0)=0D.可微但 f“(0)04.设 f(x),g(x)(af(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g
2、(x)f(a)g(a)5.设 f(x,y)= (分数:2.00)A.对 x 可偏导,对 y 不可偏导B.对 x 不可偏导,对 y 可偏导C.对 x 可偏导,对 y 也可偏导D.对 x 不可偏导,对 y 也不可偏导二、填空题(总题数:6,分数:12.00)6.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_7.设 f“(a)存在且不等于零,则 (分数:2.00)填空项 1:_8.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_9. 0 + x 7 (分数:2.00)填空项 1:_10.设 D:x 2 +y 2 R 2 ,则 (分数:2.00)填空项 1:_11.微分方程 2y“=3y 2 满足初始条件 y(-2
3、)=1,y“(-2)=1 的特解为 1(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:16,分数:32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_13.求 (分数:2.00)_14.求 (分数:2.00)_15.求常数 m,n,使得 (分数:2.00)_16.设 f(x)连续,且 g(x)= 0 2 x 2 f(x-t)dt,求 g“(x)(分数:2.00)_17.设 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内二阶可导,连接点 A(a,f(a),B(b,f(b)的直线与曲线 y=f(x)交于点 C(c,f(c)(其中 a0 时,f(x)= =1;当 x=0
4、时,f(x)= ;当 x3.设函数 f(x)在x2,则 f(x)在 x=0 处( )(分数:2.00)A.不连续B.连续但不可微C.可微且 f“(0)=0 D.可微但 f“(0)0解析:解析:显然 f(0)=0,且 =0,所以 f(x)在 x=0 处连续 又由f(x)x 2 得 0 x,根据夹逼定理得 4.设 f(x),g(x)(af(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x) C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)解析:解析:由 f“(x)g(x)-f(x)g“(x) 5.设 f(x,y)= (分数:2.00)A.对 x 可偏导,对 y 不可偏导B.对
5、 x 不可偏导,对 y 可偏导 C.对 x 可偏导,对 y 也可偏导D.对 x 不可偏导,对 y 也不可偏导解析:解析:因为 不存在,所以 f(x,y)在(0,0)处对 x 不可偏导; 因为 二、填空题(总题数:6,分数:12.00)6.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:12)解析:解析:7.设 f“(a)存在且不等于零,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:8.= 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:9. 0 + x 7 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:3)解析
6、:解析:10.设 D:x 2 +y 2 R 2 ,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:11.微分方程 2y“=3y 2 满足初始条件 y(-2)=1,y“(-2)=1 的特解为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:令 y“=p,则 y“=p ,则原方程化为 2p =3y 2 ,解得 p 2 =y 3 +C 1 , 由 y(-2)=1,y“(-2)=1,得 C 1 =0,所以 y“= ,从而有 =x+C 2 , 再由 y(-2)=1,得 C 2 =0,所求特解为 x= 三、解答题(总题数:16,分数:32.00)12.
7、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:13.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:14.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:15.求常数 m,n,使得 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:16.设 f(x)连续,且 g(x)= 0 2 x 2 f(x-t)dt,求 g“(x)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:g(z)=x 2 0 x f(x-t)d(x-t)-x 2 x 0 f(u)du=x 2 0 x f(u)du, g“(x)=2x 0 x f(u)du+x 2 f(x)解析:17.设 f(x)
8、在a,b上连续,在(a,b)内二阶可导,连接点 A(a,f(a),B(b,f(b)的直线与曲线 y=f(x)交于点 C(c,f(c)(其中 ac_正确答案:(正确答案:由微分中值定理,存在 1 (a,c), 2 (c,b),使得 因为点A,B,C 共线,所以 f“( 1 )=f“( 2 ), 又因为 f(x)二阶可导,所以再由罗尔定理,存在 ( 1 , 2 ) )解析:18.设 f(x)在0,1-上连续,且 f(x)0 x f(t)dt=1 在(0,1)有且仅有一个根(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 (x)=2x- 0 x f(t)dt-1,(0)=-1,(1)=1- 0 x f(
9、t)dt, 因为 f(x)0 x f(t)dt1,从而 (0)(1)0,所以 (x)在0,1上单调增加,故方程 2x- 0 x f(t)dt=1 有且仅有一个根)解析:19.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:20.xtanxsec 4 xdx(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:21.(x)= sinx cos2x ln(1+t 2 )dt,求 “(x)(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:“(x)=-2ln(1+cos 2 2x)sin2x-ln(1+sin 2 x)cosx)解析:22.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:23.设
10、 f(x)连续且关于 x=T 对称,a a bf(x)dx=2 Tbf(x)dx+ a2T-bf(x)f(x)dx(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 f(x)关于 x=T 对称得 f(T+x)=f(T-x), 于是 T 2T-b f(x)dx T b f(2T-u)(-du)=- T b fT-(u-T)du=- T b fT+(u-T)du=- T b f(x)dx )解析:24.设曲线 y= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设切点为(a, ),则过原点的切线方程为 y= 将(a, )代入切线方程,得 a=2, =1,故切线方程为 y= 由曲线 y= 在区间1,2上的一段
11、绕 x 轴一周所得旋转面的面积为 切线 y= 在区间0,2上一段绕 x 轴一周所得旋转曲面面积为 所求旋转曲面的表面积为 S=S 1 +S 2 = )解析:25.设 z=f(x 2 +y 2 ,xy,x),其中 f(u,v,w)二阶连续可偏导,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: =2xf“ 1 +yf“ 2 +f“ 3 , )解析:26.计算 dxdy,其中 D 是由曲线 y=-a+ (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:27.设 y=e x 为微分方程 xy“+P(x)y=x 的解,求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0 的特解(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:把 y=e x 代入微分方程 xy“+P(x)y=x,得 P(x)=xe -x -x,原方程化为 y“+(e -x -1)y=1,则 将 y(ln2)=0 代入 )解析: