1、考研数学二（高等数学）-试卷 19 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= （分数：2.00）A.连续点B.第一类间断点C.第二类间断点D.不能判断连续性的点3.设函数 f(x)在x2，则 f(x)在 x=0 处( )（分数：2.00）A.不连续B.连续但不可微C.可微且 f“(0)=0D.可微但 f“(0)04.设 f(x)，g(x)(af(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x)C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g
2、(x)f(a)g(a)5.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.对 x 可偏导，对 y 不可偏导B.对 x 不可偏导，对 y 可偏导C.对 x 可偏导，对 y 也可偏导D.对 x 不可偏导，对 y 也不可偏导二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f“(a)存在且不等于零，则 （分数：2.00）填空项 1:_8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_9. 0 + x 7 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 D：x 2 +y 2 R 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.微分方程 2y“=3y 2 满足初始条件 y(-2
3、)=1，y“(-2)=1 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.求 （分数：2.00）_14.求 （分数：2.00）_15.求常数 m，n，使得 （分数：2.00）_16.设 f(x)连续，且 g(x)= 0 2 x 2 f(x-t)dt，求 g“(x)（分数：2.00）_17.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，连接点 A(a，f(a)，B(b，f(b)的直线与曲线 y=f(x)交于点 C(c，f(c)(其中 a0 时，f(x)= =1；当 x=0
4、时，f(x)= ；当 x3.设函数 f(x)在x2，则 f(x)在 x=0 处( )（分数：2.00）A.不连续B.连续但不可微C.可微且 f“(0)=0 D.可微但 f“(0)0解析：解析：显然 f(0)=0，且 =0，所以 f(x)在 x=0 处连续 又由f(x)x 2 得 0 x，根据夹逼定理得 4.设 f(x)，g(x)(af(b)g(x)B.f(x)g(a)f(a)g(x) C.f(x)g(x)f(b)g(b)D.f(x)g(x)f(a)g(a)解析：解析：由 f“(x)g(x)-f(x)g“(x) 5.设 f(x，y)= （分数：2.00）A.对 x 可偏导，对 y 不可偏导B.对
5、 x 不可偏导，对 y 可偏导 C.对 x 可偏导，对 y 也可偏导D.对 x 不可偏导，对 y 也不可偏导解析：解析：因为 不存在，所以 f(x，y)在(0，0)处对 x 不可偏导； 因为 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)6.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12）解析：解析：7.设 f“(a)存在且不等于零，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9. 0 + x 7 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析
6、：解析：10.设 D：x 2 +y 2 R 2 ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.微分方程 2y“=3y 2 满足初始条件 y(-2)=1，y“(-2)=1 的特解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 y“=p，则 y“=p ，则原方程化为 2p =3y 2 ，解得 p 2 =y 3 +C 1 ， 由 y(-2)=1，y“(-2)=1，得 C 1 =0，所以 y“= ，从而有 =x+C 2 ， 再由 y(-2)=1，得 C 2 =0，所求特解为 x= 三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.
7、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.求常数 m，n，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设 f(x)连续，且 g(x)= 0 2 x 2 f(x-t)dt，求 g“(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：g(z)=x 2 0 x f(x-t)d(x-t)-x 2 x 0 f(u)du=x 2 0 x f(u)du， g“(x)=2x 0 x f(u)du+x 2 f(x)解析：17.设 f(x)
8、在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，连接点 A(a，f(a)，B(b，f(b)的直线与曲线 y=f(x)交于点 C(c，f(c)(其中 ac_正确答案：(正确答案：由微分中值定理，存在 1 (a，c)， 2 (c，b)，使得 因为点A，B，C 共线，所以 f“( 1 )=f“( 2 )， 又因为 f(x)二阶可导，所以再由罗尔定理，存在 ( 1 ， 2 ) )解析：18.设 f(x)在0，1-上连续，且 f(x)0 x f(t)dt=1 在(0，1)有且仅有一个根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=2x- 0 x f(t)dt-1，(0)=-1，(1)=1- 0 x f(
9、t)dt， 因为 f(x)0 x f(t)dt1，从而 (0)(1)0，所以 (x)在0，1上单调增加，故方程 2x- 0 x f(t)dt=1 有且仅有一个根)解析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.xtanxsec 4 xdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.(x)= sinx cos2x ln(1+t 2 )dt，求 “(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：“(x)=-2ln(1+cos 2 2x)sin2x-ln(1+sin 2 x)cosx)解析：22.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设
10、 f(x)连续且关于 x=T 对称，a a bf(x)dx=2 Tbf(x)dx+ a2T-bf(x)f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)关于 x=T 对称得 f(T+x)=f(T-x)， 于是 T 2T-b f(x)dx T b f(2T-u)(-du)=- T b fT-(u-T)du=- T b fT+(u-T)du=- T b f(x)dx )解析：24.设曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设切点为(a， )，则过原点的切线方程为 y= 将(a， )代入切线方程，得 a=2， =1，故切线方程为 y= 由曲线 y= 在区间1，2上的一段
11、绕 x 轴一周所得旋转面的面积为 切线 y= 在区间0，2上一段绕 x 轴一周所得旋转曲面面积为 所求旋转曲面的表面积为 S=S 1 +S 2 = )解析：25.设 z=f(x 2 +y 2 ，xy，x)，其中 f(u，v，w)二阶连续可偏导，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =2xf“ 1 +yf“ 2 +f“ 3 ， )解析：26.计算 dxdy，其中 D 是由曲线 y=-a+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设 y=e x 为微分方程 xy“+P(x)y=x 的解，求此微分方程满足初始条件 y(ln2)=0 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 y=e x 代入微分方程 xy“+P(x)y=x，得 P(x)=xe -x -x，原方程化为 y“+(e -x -1)y=1，则 将 y(ln2)=0 代入 )解析：
