1、考研数学二（重积分）模拟试卷 5 及答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设区域 D 由 0，y0，y ，y1 围成，若 I 1 ln(y) 3 ddy，I 2 (y) 3 ddy，I 3 （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 2 I 3 I 1C.I 1 I 2 I 3D.I 2 I 3 I 13.累次积分 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 D(，y)0，0y，则 （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 （分数：2.00）A.1B
2、.2C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)6.计算 （分数：2.00）填空项 1:_7.计算 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(u)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f()连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f(，y)在区域 D： 2 y 2 t 2 上连续且 f(0，0)4，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 a0，f()g() 而 D 表示整个平面，则 I （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f() D 为 Oy 面，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数
3、：24，分数：48.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.计算 （分数：2.00）_16.计算 （分数：2.00）_17.计算 （分数：2.00）_18.计算 （分数：2.00）_19.已知 f(，y) ，设 D 为由 0，y0 及 yt 所围成的区域，求 F(t) （分数：2.00）_20.设 f()连续，且 f(0)1，令 F(t) （分数：2.00）_21.计算二重积分 I （分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23.计算 （分数：2.00）_24.设 f(，y) 且 D： 2 y 2 2，求 （分数：2.00）_25.计算 I
4、 （分数：2.00）_26.计算 （分数：2.00）_27.计算 I yddy，其中 D 由 y，y 及 y （分数：2.00）_28.计算 I （分数：2.00）_29.计算 （分数：2.00）_30.计算二重积分 （分数：2.00）_31.设 f()在a，b上连续，证明： a b f()d b f(y)dy （分数：2.00）_32.设 f(，y)，g(，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(，y)0证明：存在(，)D，使得(，y)g(，y)df(，) （分数：2.00）_33.设函数 f()Ca，b，且 f()0，D 为区域 ab，ayb证明： （分数：2.00）_34.设 f()为
5、连续函数，计算 （分数：2.00）_35.交换积分次序并计算 （分数：2.00）_36.设 f()在0，1上连续且单调减少，且 f()0证明： （分数：2.00）_37.证明：用二重积分证明 （分数：2.00）_考研数学二（重积分）模拟试卷 5 答案解析(总分：74.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设区域 D 由 0，y0，y ，y1 围成，若 I 1 ln(y) 3 ddy，I 2 (y) 3 ddy，I 3 （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 2
6、 I 3 I 1 C.I 1 I 2 I 3D.I 2 I 3 I 1解析：解析：由 y1 得ln(y) 3 0，于是 I 1 ln(y) 3 ddy0； 当 3.累次积分 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：积分所对应的直角坐标平面的区域为 D：01，0y4.设 D(，y)0，0y，则 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：根据对称性，令 D 1 (，y)0，0y， 5.设 （分数：2.00）A.1B.2 C.D.解析：解析：二、填空题(总题数：8，分数：16.00)6.计算 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：改变积分次序得7.计算
7、 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1sin1）解析：解析：改变积分次序得8.设 f(u)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：f( 2 1)）解析：解析：9.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：10.设 f()连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.设 f(，y)在区域 D： 2 y 2 t 2 上连续且 f(0，0)4，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：由当 t0 时，tln(1t)tt o(t 2 )
8、t 2 (t0)， 由积分中值定理得 f(，y)ddyf(，).t 2 ，其中(，)D， 于是 12.设 a0，f()g() 而 D 表示整个平面，则 I （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 2）解析：解析：由 f()g(y) 得 I 13.设 f() D 为 Oy 面，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：三、解答题(总题数：24，分数：48.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由对称性得 I sin 2 cosy 2 ddy siny
9、 2 cos 2 ddy，则 得 I )解析：16.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由极坐标法得 )解析：17.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.已知 f(，y) ，设 D 为由 0，y0 及 yt 所围成的区域，求 F(t) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 t0 时，F(t)0； 当 0t1 时，F(t) 1ddy t 2 ； 当1t2 时，F(t) f(，y)ddy1 (2t) 2 ； 当 t2 时，F(t)1，则 )解析：20.设 f()连续，且 f(0)1，令 F
10、(t) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (02，0rt) 由 F(t) 0 2 d 0 t rf(r 2 )dr2 0 t rf(r 2 )dr f(u)du 得 F(t)2tf(t 2 )，F(0)0， )解析：21.计算二重积分 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：I ，其中 D(，y)01，y 1 令 则D(r，t) t0，0r2sint 于是 )解析：22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D： 2 y 2 22y1 可化为 D：(1) 2 (y1) 2 1， )解析：24.设 f(，
11、y) 且 D： 2 y 2 2，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 (，y)12， y， 则 )解析：25.计算 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 (，y)11，0y 2 ， D 2 (，y)11， 2 y2， )解析：26.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.计算 I yddy，其中 D 由 y，y 及 y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 D 分成两部分 D 1 ，D 2 ， )解析：28.计算 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
12、 )解析：30.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据对称性 ( 2 4y 2 )ddy4 ( 2 y 2 )ddy，其中 D 1 是 D 位于第一卦限的区域 )解析：31.设 f()在a，b上连续，证明： a b f()d b f(y)dy （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F() a f(t)dt， 则 a b f()d b f(y)dy a b f()F(b)F()d F(b) a b f()d a b f()F()d F 2 (b) a b F()dF() F 2 (b) )解析：32.设 f(，y)，g(，y)在平面有界闭区域 D 上连续，且 g(，
13、y)0证明：存在(，)D，使得(，y)g(，y)df(，) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(，y)在 D 上连续，所以 f(，y)在 D 上取到最大值 M 和最小值 m，故 mg(，y)f(，y)g(，y)Mg(，y) 积分得 (1)当 g(，y)d0 时， f(，y)g(，y)d0，则对任意的(，)D，有 (，y)g(，y)df(，) (，y)d (2)当 g(，y)0 时， 由介值定理，存在(，)D，使得 即 f(，y)g(，y)df(，) )解析：33.设函数 f()Ca，b，且 f()0，D 为区域 ab，ayb证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为
14、积分区域关于直线 y 对称， 所以 又因为 f()0，所以2，从而 )解析：34.设 f()为连续函数，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f()的一个原函数为 F()，则 )解析：35.交换积分次序并计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：36.设 f()在0，1上连续且单调减少，且 f()0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 等价于 0 1 f 2 ()d 0 1 f()d 0 1 f()d 0 1 f 2 ()d， 等价于 0 1 f 2 ()d 0 1 yf(y)dy 0 1 f()d 0 1 yf 2 (y)dy， 或者 0 1 d
15、0 1 yf()f(y)f()f(y)dy0 令 I 0 1 d 0 1 yf()f(y)f()f(y)dy， 根据对称性，I 0 1 d 0 1 f()f(y)f(y)f()dy， 2I 0 1 d() 0 1 f()f(y)(y)f()f(y)dy， 因为 f()0 且单调减少，所以(y)f()f(y)0，于是2I0，或 I0， 所以 )解析：37.证明：用二重积分证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 (，y) 2 y 2 R 2 ，0，y0， S(，y)0R，0yR， D 2 一(，y) 2 y 2 2R 2 ，0，y0 (，y) ， 因为 (，y) 0 且 D 2 D 2 ， 令 R同时注意到 0，根据迫敛定理得 )解析：
