1、考研数学二（行列式、矩阵）模拟试卷 2及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：27，分数：54.00)1.矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_2.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_3.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_4.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_5.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_6.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_7.方程 （分数：2.00）填空项 1:_8.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_9.方程 （分数：2.00）填空项 1:_10.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A
2、= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.设 n(n3)阶方阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.设 4阶方阵 A的秩为 2，则 A的伴随矩阵 A * 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_18.设 n阶方阵 A、B 的行列式分别为A=2，B=-3，A * 为 A的伴随矩阵，则行列式2A * B -1 = 1.（分数：2.00）填空项 1:_19.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_2
3、0.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_21.设 （分数：2.00）填空项 1:_22.设 A、B 为 3阶方阵 （分数：2.00）填空项 1:_23.设矩阵 A满足 A 2 +A-4E=O，其中 E为单位矩阵，则(A-E) -1 = 1.（分数：2.00）填空项 1:_24.设 n维向量 =(a，0，0，a) T ，a0；E 为 n阶单位矩阵，矩阵 A=E- T ，B=E+ （分数：2.00）填空项 1:_25.设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB=2A+B，B= （分数：2.00）填空项 1:_26.设 3阶方阵 A按列分块为 A= 1 ， 2 ， 3 。已知秩(
4、A)=3，则 3阶方阵 B= 1 +2 2 + 3 2 1 +(2-a) 2 +3 3 ，3 1 +3 2 的秩= 1.（分数：2.00）填空项 1:_27.设矩阵 A 1 = （分数：2.00）填空项 1:_二、解答题(总题数：4，分数：8.00)28.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_29.设有行列式 （分数：2.00）_30.计算下列 n阶行列式： （分数：2.00）_31.证明： (1)D n = (2)D n = （分数：2.00）_考研数学二（行列式、矩阵）模拟试卷 2答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：27，分数：
5、54.00)1.矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：2.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 5 -a 3 b 2）解析：3.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x 4）解析：4.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1-x 2 -y 2 -z 2）解析：5.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1-a+a 2 -a 3 +a 4 -a 5）解析：解析：先把第 2、3、4、5 行都加到第 1行，再按第 1行展开，得 D 5 =1-aD
6、1 ，一般地有 D n =1-aD n-1 (n2)，并应用此递推公式.6.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-360）解析：解析：从第 j列提出公因子 j(j=2，3，4，5)，再将第 j列的(-1)倍加到第 1列得上三角行列式，D=5!(-3)=-360.7.方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t=6）解析：解析：将第 2、3 列都加到第 1列，并提出第 1列的公因子，得 D=(t-6)(t 2 +3).8.行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-28）解析：解析：可以直接计算亦可利用行列式按第 4行展开的
7、方法，得所求值等于下列行列式(它的前 4行与给定行列式的前 4行完全相同)的值：9.方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，2，3）解析：解析：利用范德蒙行列式的结果，得 D=(2-1)(3-1)(x-1)(3-2)(x-2)(x-3).10.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-10）解析：11.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因 B为满秩方阵，故秩(AB)=秩(A)=212.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-3）解析：解析：由 BA=O及 BO， A=
8、0，13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：B=(A+2E) -1 (A 2 -4E)=(A+2E) -1 (A+2E)(A-2E)=A-2E= 14.设 n(n3)阶方阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：r(A)=n-1， A=1+(n-1)a(1-a) n-1 =0， 或 a=1，而当 a=1时有 r(A)=1n-1，故必有 a= 15.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：两端右乘 A -1 ，得 A * B=2B-8A -1 ，两端左乘 A并利用 A
9、A * =AE=-2E，得-2B=2AB-8E， AB+B=4E， (A+E)B=4E， B=4(A+E) -1 = 16.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：O）解析：解析：A 2 =2A，故 A n -2A n-1 =A n-2 (A 2 -2A)=O17.设 4阶方阵 A的秩为 2，则 A的伴随矩阵 A * 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：r(A 11 )=2 A中 3阶子式、即每个元素的余子式均为零 18.设 n阶方阵 A、B 的行列式分别为A=2，B=-3，A * 为 A的伴随矩阵，则行列式2A * B
10、-1 = 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：2A * B -1 =2 n A * B -1 =2 n A n B -1 = 19.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：20.= 1. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：可利用分块对角阵求逆法，得21.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：将 A的第 1行的 倍加到第 i行(i=2，3，n)所得矩阵仅有第 1行非零， 秩(A)=1或由 A=，其中 =(a 1 ，a 2 ，a n ) T =(b
11、 1 ，b 2 ，b n )，及 AO，得1r(A)=r()r()=1， 22.设 A、B 为 3阶方阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：用 A -1 右乘题给等式两端，再用 A左乘两端，得 B=6A-AB (E-A)B=6A B=6(E-A) -1 A 23.设矩阵 A满足 A 2 +A-4E=O，其中 E为单位矩阵，则(A-E) -1 = 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(A+2E)）解析：解析：O=A 2 +A-4E=(A-E)(A+2E)+2E-4E=(A-E)(A+2E)-2E， (A-E) (A-E) -1 =
12、24.设 n维向量 =(a，0，0，a) T ，a0；E 为 n阶单位矩阵，矩阵 A=E- T ，B=E+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析： T =2a 2 ，E=AB=(E- T )(E+ T )=E+ T - T - ( T ) T =E+( -1-2a) T ， -1-2a=0， 25.设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB=2A+B，B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：AB-B-2A=O，(A-E)B-2(A-E)-2E=O，(A-E)(B-2E)=2E，(A-E) (B-2E)=E，
13、 (A-E) -1 = (B-2E)= 26.设 3阶方阵 A按列分块为 A= 1 ， 2 ， 3 。已知秩(A)=3，则 3阶方阵 B= 1 +2 2 + 3 2 1 +(2-a) 2 +3 3 ，3 1 +3 2 的秩= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：B= 1 ， 2 ， 3 ，因 A为满秩方阵，故 r(B)= 27.设矩阵 A 1 = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：B * =BB -1 =A 1 A 2 -1 二、解答题(总题数：4，分数：8.00)28.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14、（分数：2.00）_解析：29.设有行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将第 1列的 1000倍、第 2列的 100倍、第 3列的 10倍都加到第 4列，则所得行列式的第 4列各元素有公因子 13)解析：30.计算下列 n阶行列式： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)(x-1)(x-2)(x-n+1)把第 1行的(-1)倍加到第 i行(i=2，3n)，则得上三角行列式 (2)(-1) n-1 (x-1) n-2 先将第 2行的(-1)倍加到第 i行(i=3n)，再按第 1列展开，并把(2，1)元素的余子式的第 2，3，n-1 列都加到第 1列则得上三角行列式)解析：31.证明： (1)D n = (2)D n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)先按第 1行展开并将(1，2)元素的余子式按第 1列展开，得递推关系式 D n =(a+b)D n-1 -abD n-2 D n =aD n-1 =b(D n-1 -aD n-2 ) D n -aD n-1 =b n-2 (D n -aD n-1 )=b n ，对称地存 D n -bD n-1 =a n 解方程组 )解析：
