1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 21及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A是 n阶矩阵， 是 n维列向量，若 （分数：2.00）A.Ax= 必有无穷多解。B.Ax= 必有唯一解。C.=0仅有零解。D.=0必有非零解。3.设 A是 mn矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 Ax=0仅有零解，则 Ax=b有唯一解。B.若 Ax=0有非零解，则 Ax=b有无穷多个解。C.若
2、 Ax=b有无穷多个解，则 Ax=0仅有零解。D.若 Ax=b有无穷多个解，则 Ax=0有非零解。4.设 1 ， 2 ， 3 均为线性方程组 Ax=b的解，下列向量中 1 一 2 ， 1 一 2 2 + 3 ， （分数：2.00）A.4。B.3。C.2。D.1。5.已知 1 =(1，1，一 1) T ， 2 =(1，2，0) T 是齐次线性方程组 Ax=0的基础解系，那么下列向量中 Ax=0的解向量是( )（分数：2.00）A.(1，一 1，3) T 。B.(2，1，一 3) T 。C.(2，2，一 5) T 。D.(2，一 2，6) T 。6.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是四维非零列向量
3、组，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，A * 为 A的伴随矩阵。已知方程组 Ax=0的基础解系为 k(1，0，2，0) T ，则 A * x=0的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 。B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 + 3 。C. 2 ， 3 ， 4 。D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 。7.设 A是 mn矩阵，A T 是 A的转置，若 1 ， 2 ， t 为方程组 A T x=0的基础解系，则r(A)=( )（分数：2.00）A.t。B.nt。C.mt。D.nm。8.已知 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b的两个不
4、同的解， 1 ， 2 是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k 1 ，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b的通解是( )（分数：2.00）A.k 1 1 +k 2 ( 1 + 2 )+ B.k 1 1 +k 2 ( 1 一 2 )+ C.k 1 1 +k 2 ( 1 + 2 )+ D.k 1 1 +k 2 ( 1 一 2 )+ 9.设 A是 n阶矩阵，对于齐次线性方程组()A n x=0和()A n1 x=0，现有四个命题： ()的解必是()的解； ()的解必是()的解； ()的解不是()的解； ()的解不是()的解。 以上命题中正确的是( )（分数：2.00）A.。B.。C.。D.。二
5、、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_11.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_12.，方程 Ax= 无解，则 a= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.设(1，1，1) T ，(2，2，3) T 均为线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知齐次线性方程组 有通解 k 1 (2，一 1，0，1) T +k 2 (3，2，1，0) T ，则方程组 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：22.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
6、_设 A= ， 1 = （分数：4.00）(1).求满足 A 2 = 1 ，A 2 3 = 1 的所有向量 2 ， 3 ；（分数：2.00）_(2).对()中任意向量 2 和 3 ，证明 1 ， 2 ， 3 线性无关。（分数：2.00）_17.设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_设 n元线性方程组 Ax=b，其中 （分数：4.00）(1).当 a为何值时，该方程组有唯一解，并求 x 1 ；（分数：2.00）_(2).当 a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。（分数：2.00）_18.设 （分数：2.00）_19.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 Ax=b的 s个解，k 1 ，k s
7、为实数，满足 k 1 +k 2 +k s =1。证明 x=k 1 1 +k 2 2 +k s s 也是方程组的解。（分数：2.00）_20.已知三阶矩阵 A的第一行是(a，b，c)，a，b，c 不全为零，矩阵 B= （分数：2.00）_21.设方程组 （分数：2.00）_设四元齐次线性方程组(1)为 （分数：4.00）(1).求方程组(1)的一个基础解系；（分数：2.00）_(2).当 a为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。（分数：2.00）_考研数学二（线性方程组）模拟试卷 21答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18
8、.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A是 n阶矩阵， 是 n维列向量，若 （分数：2.00）A.Ax= 必有无穷多解。B.Ax= 必有唯一解。C.=0仅有零解。D.=0必有非零解。 解析：解析：齐次线性方程必有解(零解)，则选项 C、D 为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中有且只有一个正确，因而排除 A、B。又齐次线性方程组 =0有 n+1个变量，而由题设条件知，3.设 A是 mn矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 Ax=0仅有
9、零解，则 Ax=b有唯一解。B.若 Ax=0有非零解，则 Ax=b有无穷多个解。C.若 Ax=b有无穷多个解，则 Ax=0仅有零解。D.若 Ax=b有无穷多个解，则 Ax=0有非零解。 解析：解析：因为不论齐次线性方程组 Ax=0的解的情况如何，即 r(A)=n或 r(A)n，以此均不能推得r(A)=r(A b)，所以选项 A、B 均不正确。而由 Ax=b有无穷多个解可知，r(A)=r(A4.设 1 ， 2 ， 3 均为线性方程组 Ax=b的解，下列向量中 1 一 2 ， 1 一 2 2 + 3 ， （分数：2.00）A.4。 B.3。C.2。D.1。解析：解析：由于 A 1 =A 2 =A
10、3 =b，可知 A( 1 一 2 )=A 1 A 2 =bb=0， A( 1 一 2 2 + 3 )=A 1 2A 2 +A 3 =b一 2b+b=0， A ( 1 一 3 )= (A 1 一A 3 )= 5.已知 1 =(1，1，一 1) T ， 2 =(1，2，0) T 是齐次线性方程组 Ax=0的基础解系，那么下列向量中 Ax=0的解向量是( )（分数：2.00）A.(1，一 1，3) T 。B.(2，1，一 3) T 。 C.(2，2，一 5) T 。D.(2，一 2，6) T 。解析：解析：如果 A选项是 Ax=0的解，则 D选项必是 Ax=0的解。因此选项 A、D 均不是 Ax=0
11、的解。 由于 1 ， 2 是 Ax=0的基础解系，所以 Ax=0的任何一个解 均可由 1 ， 2 线性表示，也即方程组 x 1 1 +x 2 2 = 必有解，而 6.设 1 ， 2 ， 3 ， 4 是四维非零列向量组，A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，A * 为 A的伴随矩阵。已知方程组 Ax=0的基础解系为 k(1，0，2，0) T ，则 A * x=0的基础解系为( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 。B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 + 3 。C. 2 ， 3 ， 4 。 D. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 + 4 ， 4 + 1 。解析：解析：方程组 A
12、x=0的基础解系只含一个解向量，所以四阶方阵 A的秩 r(A)=4一 1=3，则其伴随矩阵 A * 的秩 r(A * )=1，于是方程组 A * x=0的基础解系含有三个线性无关的解向量。 又 A * ( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )：A * A=AE=0，所以向量 1 ， 2 ， 3 ， 4 都是方程组 A * x=0的解。将(1，0，2，0) T 代入方程组 Ax=0可得 1 +2 3 =0，这说明 1 可由向量组 2 ， 3 ， 4 线性表出，而向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 的秩等于 3，所以向量组 2 ， 3 ， 4 必线性无关。所以选 C。 事实上，由 1 +2 3 =0可知
13、向量组 1 ， 2 ， 3 线性相关，选项 A不正确；显然，选项 B中的向量都能被 1 ， 2 ， 3 线性表出，说明向量组 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 + 3 线性相关，选项 B不正确；而选项 D中的向量组含有四个向量，不是基础解系，所以选型 D也不正确。7.设 A是 mn矩阵，A T 是 A的转置，若 1 ， 2 ， t 为方程组 A T x=0的基础解系，则r(A)=( )（分数：2.00）A.t。B.nt。C.mt。 D.nm。解析：解析：r(A T )+t等于 A T 的列数，即 r(A T )+t=m，所以 r(A T )=m一 t=r(A)。8.已知 1 ， 2 是非齐次
14、线性方程组 Ax=b的两个不同的解， 1 ， 2 是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k 1 ，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b的通解是( )（分数：2.00）A.k 1 1 +k 2 ( 1 + 2 )+ B.k 1 1 +k 2 ( 1 一 2 )+ C.k 1 1 +k 2 ( 1 + 2 )+ D.k 1 1 +k 2 ( 1 一 2 )+ 解析：解析：对于 A、C 选项，因为 (b一 b)=0， 所以选项 A、C 中不含有非齐次线性方程组 Ax=b的特解，故均不正确。 对于选项 D，虽然 1 一 2 是齐次线性方程组 Ax=0的解，但它与 1 不一定线性无关，故 D也不正
15、确，所以应选 B。 事实上，对于选项 B，由于 1 ， 1 一 2 与 1 ， 2 等价(显然它们能够互相线性表示)，故 1 ， 1 一 2 也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由 (A 1 +A 2 ) = (b+b)=b， 可知 9.设 A是 n阶矩阵，对于齐次线性方程组()A n x=0和()A n1 x=0，现有四个命题： ()的解必是()的解； ()的解必是()的解； ()的解不是()的解； ()的解不是()的解。 以上命题中正确的是( )（分数：2.00）A.。 B.。C.。D.。解析：解析：若 A n =0，则 A n1 =A(A n )=A0=0，即若 是(1)的解，则 必是(
16、2)的解，可见命题正确。 如果 A n1 =0，而 A n 0，那么对于向量组 ，A，A 2 ，A n ，一方面有： 若 k+k 1 A+k 2 A 2 +k n A n =0，用 A n 左乘上式的两边得 kA n =0。由 A n 0可知必有 k=0。类似地可得 k 1 =k 2 =k n =0。因此，A，A 2 ，A n 线性无关。 但另一方面，这是 n+1个 n维向量，它们必然线性相关，两者矛盾。故 A n1 =0 时，必有 A 2 =0，即(2)的解必是(1)的解。因此命题正确。 所以应选 A。二、填空题(总题数：6，分数：12.00)10.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_
17、（正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即11.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：n 元线性方程组 Ax=b有解的充分必要条件是 r(A)= ，而有无穷多解的充分必要条件是r(A)= n，对增广矩阵作初等行变换，有12.，方程 Ax= 无解，则 a= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 或 3）解析：解析：已知方程组无解，所以 r(A)r(A，)。又因为 r(A，)=3，所以 r(A)2，故有A=013.设 A= （分数：2.00）填空项
18、1:_ （正确答案：正确答案：k 1 (1，2，一 1) T +k 2 (1，0，1) T ，k 1 ，k 2 是任意常数）解析：解析：A=0，且 r(A)=2，所以 r(A * )=1，则由 nr(A * )=2可知，A * x=0的基础解系含有两个线性无关的解向量，其通解形式为 k 1 1 +k 2 2 。又因为 A * A=AE=0，所以矩阵 A的列向量是 A * x=0的解，故通解是 k 1 (1，2，一 1) T +k 2 (1，0，1) T 。14.设(1，1，1) T ，(2，2，3) T 均为线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(1，1，2)
19、T +(1，1，1) T ，kR）解析：解析：该线性方程组的系数矩阵为 A= 。已知原方程组有两个不同的解，所以系数矩阵 A不满秩，也即 r(A)3，又因为 A的一个二阶子式 15.已知齐次线性方程组 有通解 k 1 (2，一 1，0，1) T +k 2 (3，2，1，0) T ，则方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(13，一 3，1，5) T ，k 为任意常数）解析：解析：方程组(2)的通解一定会在方程组(1)的通解之中，且是方程组(1)的通解中满足(2)中第三个方程的解，将(1)的通解 三、解答题(总题数：9，分数：22.00)16.解答题解答应写出文字说明
20、、证明过程或演算步骤。_解析：设 A= ， 1 = （分数：4.00）(1).求满足 A 2 = 1 ，A 2 3 = 1 的所有向量 2 ， 3 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵(A 1 )作初等行变换，则 得 Ax=0的基础解系(1，一1，2) T 和 Ax= 1 的特解(0，0，1) T 。故 2 =(0，0，1) T +k(1，一 1，2) T ，其中 k为任意常数。A 2 = 作初等行变换，有 得 A 2 x=0的基础解系(一 1，1，0) T ，(0，0，1) T 和 A 2 x= 1 的特解( ，0，0) T 。故 3 =( )解析：(2).对()中任意向量
21、 2 和 3 ，证明 1 ， 2 ， 3 线性无关。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 ， 2 ， 3 = )解析：17.设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组的系数矩阵 A作初等行变换，有 当 a=0时，r(A)=1n，方程组有非零解，其同解方程组为 x 1 +x 2 +x n =0， 由此得基础解系为 1 =(一 1，1，0，0) T ， 2 =(一 1，0，1，0) T ， n1 =(一 1，0，0，1) T ， 于是方程组的通解为 x=k 1 1 +k n1 n1 ，其中 k 1 ，k n1 为任意常数。 当 a0 时，对矩阵曰作初等行变
22、换，有 当 a= 时，r(A)=n 一 1n，方程组也有非零解，其同解方程组为 )解析：设 n元线性方程组 Ax=b，其中 （分数：4.00）(1).当 a为何值时，该方程组有唯一解，并求 x 1 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由数学归纳法得到方程组系数矩阵的行列式A=D n =(n+1)a n 。 当 a0 时，D n 0，方程组有唯一解。将 A的第一列换成 b，得行列式为 =D n1 =na n1 ， 所以由克拉默法则得 x 1 = )解析：(2).当 a为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 a=0时，方程组为 )解析：18.设
23、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 C= ，则 由 ACCA=B得 该方程组是四元非齐次线性方程组，如果 C存在，此线性方程组必须有解。对系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得 当 a=一 1，b=0 时，线性方程组有解，即存在 C，使 ACCA=B。此时增广矩阵变换为 所以通解为 x= ， 即 C= )解析：19.设 1 ， s 是非齐次线性方程组 Ax=b的 s个解，k 1 ，k s 为实数，满足 k 1 +k 2 +k s =1。证明 x=k 1 1 +k 2 2 +k s s 也是方程组的解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 1 ， s 是非齐次线性方程组 Ax=
24、b的 s个解，故有 A i =b(i=1，s)。 因为 k 1 +k 2 +k s =1，所以 Ax=A(k 1 1 +k 2 2 +k s s ) =k 1 A 1 +k 2 A 2 +k s A s =b(k 1 +k s )=b， 由此可见 x也是方程组的解。)解析：20.已知三阶矩阵 A的第一行是(a，b，c)，a，b，c 不全为零，矩阵 B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB=O知，B 的每一列均是 Ax=0的解，且 r(A)+r(B)3。 若 k9，则 r(B)=2，于是 r(A)l，显然 r(A)1，故 r(A)=1。可见此时 Ax=0的基础解系所含解向量的个数
25、为 3一 r(A)=2，矩阵 B的第一列、第三列线性无关，可作为其基础解系，故 Ax=0 的通解为：x=k 1 (1，2，3) T +k 2 (3，6，k) T ，k 1 ，k 2 为任意常数。 若 k=9，则 r(B)=1，从而 1r(A)2。 若 r(A)=2，则 Ax=0的通解为：x=k 1 (1，2，3) T ，k 1 为任意常数。 若 r(A)=1，则 Ax=0的同解方程组为：ax 1 +bx 2 +cx 3 =0，不妨设 a0，则其通解为 x=k 1 ( ，1，0) T +k 2 ( )解析：21.设方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把方程组(1)与(2)联立，得方
26、程组 则方程组(3)的解就是方程组(1)与(2)的公共解。 对方程组(3)的增广矩阵作初等行变换，有 因方程组(3)有解，所以(a 一 1)(a2)=0。 当 a=1时， ，此时方程组(3)的通解为 k(一 1，0，1) T (k为任意常数)，此即为方程组(1)与(2)的公共解。 当 a=2时， )解析：设四元齐次线性方程组(1)为 （分数：4.00）(1).求方程组(1)的一个基础解系；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换，有 )解析：(2).当 a为何值时，方程组(1)与(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 是方程组(1)与(2)的非零公共解，则 =k 1 1 +k 2 2 =l 1 1 +l 2 2 ，其中 k 1 ，k 2 与 l 1 ，l 2 均是不全为 0的常数。 由 k 1 1 +k 2 2 l 1 1 一 l 2 2 =0，得齐次方程组 对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换，有 当 a一 1时，方程组(3)的系数矩阵变为 。可知方程组(3)只有零解，即 k 1 =k 2 =l 1 =l 2 =0，于是 =0，不合题意。 当a=一 1时，方程组(3)系数矩阵变为 )解析：
