1、考研数学二（线性方程组）模拟试卷 19及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A是 ms阶矩阵，B 为 sn阶矩阵，则方程组 BX0 与 ABX0 同解的充分条件是( )（分数：2.00）A.r(A)sB.r(A)mC.r(B)sD.r(B)n3.设 n阶矩阵 A的伴随矩阵 A * O，且非齐次线性方程组 AXb 有两个不同解 1 ， 2 ，则下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.AXb 的通解为 k 1 1 k 2 2B. 1 2 为 AXb
2、的解C.方程组 AX0 的通解为 k( 1 2 )D.AXb 的通解为 k 1 1 k 2 2 4.设有方程组 AX0 与 BX0，其中 A，B 都是 mn阶矩阵，下列四个命题： (1)若 AX0 的解都是BX0 的解，则 r(A)r(B) (2)若 r(A)r(B)，则 AX0 的解都是 BX0 的解 (3)若 AX0 与 BX0 同解，则 r(A)r(B) (4)若 r(A)r(B)，则 AX0 与 BX0 同解 以上命题正确的是( )（分数：2.00）A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(3)(4)5.设 A是 mn阶矩阵，B 是 nm阶矩阵，则( )（分数：2.00）A
3、.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX0 有非零解B.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX0 只有零解C.当 nm 时，线性齐次方程组 ABX0 有非零解D.当 nm 时，线性齐次方程组 ABX0 只有零解6.设 A为 mn阶矩阵，则方程组 AXb 有唯一解的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)mB.r(A)nC.A为可逆矩阵D.r(A)n 且 b可由 A的列向量组线性表示二、填空题(总题数：2，分数：4.00)7.设 A （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_8.设 ，为非零向量，A （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)9.解答题
4、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.设向量组 1 ， 2 ， n-1 为 n维线性无关的列向量组，且与非零向量 1 ， 2 正交证明： 1 ， 2 线性相关（分数：2.00）_11.设齐次线性方程组 （分数：2.00）_12.设 A为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又 B （分数：2.00）_13.a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_14.A，B 为 n阶矩阵且 r(A)r(B)n证明：方程组 AX0 与 BX0 有公共的非零解（分数：2.00）_15.设() ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四元非齐次线性方程组 BXb 的四个解
5、，其中 （分数：2.00）_16.(1)求()，()的基础解系； (2)求()，()的公共解 （分数：2.00）_17.问 a，b，c 取何值时，()，()为同解方程组? （分数：2.00）_18.证明线性方程组 ()有解的充分必要条件是方程组 ()与 （分数：2.00）_19.设() 的一个基础解系为 写出() （分数：2.00）_20.设 A是 ms阶矩阵，B 是 sn阶矩阵，且 r(B)r(AB)证明：方程组 BX0 与 ABX0 是同解方程组（分数：2.00）_21.设 A，B，C，D 都是 n阶矩阵，r(CADB)n (1)证明：r （分数：2.00）_22.设 A为 n阶矩阵，A
6、11 0证明：非齐次线性方程组 AXb 有无穷多个解的充分必要条件是 A * b0（分数：2.00）_23.证明：r(AB)minr(A)，r(B)（分数：2.00）_24.证明：r(A)r(A T A)（分数：2.00）_25.设 A是 mn阶矩阵，且非齐次线性方程组 AXb 满足 r(A)r( （分数：2.00）_26.讨论方程组 （分数：2.00）_27.设 （分数：2.00）_考研数学二（线性方程组）模拟试卷 19答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_
7、解析：2.设 A是 ms阶矩阵，B 为 sn阶矩阵，则方程组 BX0 与 ABX0 同解的充分条件是( )（分数：2.00）A.r(A)s B.r(A)mC.r(B)sD.r(B)n解析：解析：设 r(A)s，显然方程组 BX0 的解一定为方程组 ABX0 的解，反之，若 ABX0，因为r(A)s，所以方程组 AY0 只有零解，故 BX0，即方程组 BX0 与方程组 ABX0 同解，选 A3.设 n阶矩阵 A的伴随矩阵 A * O，且非齐次线性方程组 AXb 有两个不同解 1 ， 2 ，则下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.AXb 的通解为 k 1 1 k 2 2B. 1 2 为 AX
8、b 的解C.方程组 AX0 的通解为 k( 1 2 ) D.AXb 的通解为 k 1 1 k 2 2 解析：解析：因为非齐次线性方程组 AXb 的解不唯一，所以 r(A)n，又因为 A * O，所以 r(A)n1， 2 1 为齐次线性方程组 AX0 的基础解系，选 C4.设有方程组 AX0 与 BX0，其中 A，B 都是 mn阶矩阵，下列四个命题： (1)若 AX0 的解都是BX0 的解，则 r(A)r(B) (2)若 r(A)r(B)，则 AX0 的解都是 BX0 的解 (3)若 AX0 与 BX0 同解，则 r(A)r(B) (4)若 r(A)r(B)，则 AX0 与 BX0 同解 以上命
9、题正确的是( )（分数：2.00）A.(1)(2)B.(1)(3) C.(2)(4)D.(3)(4)解析：解析：若方程组 AX0 的解都是方程组 BX0 的解，则 nr(A)nr(B)，从而 r(A)r(B)，(1)为正确的命题；显然(2)不正确；因为同解方程组系数矩阵的秩相等，但反之不对，所以(3)是正确的，(4)是错误的，选 B5.设 A是 mn阶矩阵，B 是 nm阶矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX0 有非零解 B.当 mn 时，线性齐次方程组 ABX0 只有零解C.当 nm 时，线性齐次方程组 ABX0 有非零解D.当 nm 时，线性齐次方程组 A
10、BX0 只有零解解析：解析：AB 为 m阶方阵，当 mn 时，因为 r(A)n，r(B)n 且 r(AB)minr(A)，r(B)，所以r(aB)m，于是方程组 ABX0 有非零解，选 A6.设 A为 mn阶矩阵，则方程组 AXb 有唯一解的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r(A)mB.r(A)nC.A为可逆矩阵D.r(A)n 且 b可由 A的列向量组线性表示 解析：解析：方程组 AXb 有解的充分必要条件是 b可由矩阵 A的列向量组线性表示，在方程组 AXb 有解的情形下，其有唯一解的充分必要条件是 r(A)n，故选 D二、填空题(总题数：2，分数：4.00)7.设 A （分数：2
11、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：8.设 ，为非零向量，A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3；k(3，1，2) T ）解析：解析：AX0 有非零解，所以A0，解得 a3，于是 三、解答题(总题数：19，分数：38.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：10.设向量组 1 ， 2 ， n-1 为 n维线性无关的列向量组，且与非零向量 1 ， 2 正交证明： 1 ， 2 线性相关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A )解析：11.设齐次线性方程组 （分数：2
12、.00）_正确答案：(正确答案：D a(n1)b(ab) n-1 (1)当 ab，a(1n)b 时，方程组只有零解； (2)当 ab 时，方程组的同解方程组为 1 2 n 0，其通解为 Xk 1 (1，1，0，0) T k 2 (1，0，1，0) T k n-1 (1，0，0，1) T (k 1 ，k 2 ，k n-1 为任意常数)； (3)令 A )解析：12.设 A为三阶矩阵，A 的第一行元素为 a，b，c 且不全为零，又 B （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 ABO 得 r(A)r(B)3 且 r(A)1 (1)当 k9 时，因为 r(B)一 2，所以r(A)一 1，方程组
13、AX一 0的基础解系含有两个线性无关的解向量，显然基础解系可取 B的第 1、3 两列，故通解为 (k 1 ，k 2 为任意常数)； (2)当 k9 时，r(B)1，1r(A)2， 当 r(A)2 时，方程组 AX0 的通解为 C (C为任意常数)； 当 r(A)1 时，A 的任意两行都成比例，不妨设 a0， 由 得通解为 )解析：13.a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)a1 时，r(A)r( )4，唯一解为 (2)a1，b1 时，r(A)r( )解析：14.A，B 为 n阶矩阵且 r(A)r(B)n证明：方程组 AX0 与 BX0 有公共的非零解（分数
14、：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组 0 的解即为方程组 AX0 与 BX0 的公共解 因为 r(A)r(B)n，所以方程组 )解析：15.设() ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 为四元非齐次线性方程组 BXb 的四个解，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)方程组()的基础解系为 (2)因为 r(B)2，所以方程组()的基础解系含有两个线性无关的解向量， 4 1 ， 2 3 2 1 为方程组()的基础解系； (3)方程组()的通解为 k 1 1 k 2 2 ， 方程组()的通解为 )解析：16.(1)求()，()的基础解系； (2)求()，()的公共解 （分数：2.00
15、）_正确答案：(正确答案：(1) ()的基础解系为 ()的基础解系为 (2)()，()公共解即为 0 的解， ()，()的公共解为 (k为任意常数) )解析：17.问 a，b，c 取何值时，()，()为同解方程组? （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ()的通解为 (k为任意常数)， 把()的通解代入()，得 )解析：18.证明线性方程组 ()有解的充分必要条件是方程组 ()与 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 方程组()可写为 AXb，方程组()、()可分别写为 A T Y0 及 0 若方程组()有解，则 r(A)r(A b)，从而 r(A T ) ，又因为()的解一定为(
16、)的解，所以()与()同解； 反之，若()与()同解，则 r(A T ) ，从而 r(A)r(A )解析：19.设() 的一个基础解系为 写出() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ， 则()可写为 AX0， 则()可写为 BY0，因为 1 ， 2 ， n 为()的基础解系，因此 r(A)n， 1 ， 2 ， n 线性无关，A 1 A 2 A n 0 A( 1 ， 2 ， n ) AB T O BA T O )解析：20.设 A是 ms阶矩阵，B 是 sn阶矩阵，且 r(B)r(AB)证明：方程组 BX0 与 ABX0 是同解方程组（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先，方程
17、组 BX0 的解一定是方程组 ABX0 的解 令 r(B)r 且 1 ， 2 ， n-1 是方程组 BX0 的基础解系，现设方程组 ABX0 有一个解 0 不是方程组 BX0 的解，即B 0 0，显然 1 ， 2 ， n-r ， 0 线性无关，若 1 ， 2 ， n-r ， 0 线性相关，则存在不全为零的常数 k 1 ，k 2 ，k n-r ，k 0 ，使得 k 1 1 k 2 2 k n-r n-r k 0 0 0， 若 k 0 0，则 k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0，因为 1 ， 2 ， n-r 线性无关， 所以 k 1 k 2 k n-r 0，从而 1 ， 2 ， n-r
18、 ， 0 线性无关，所以 k 0 0，故 0 可由 1 ， 2 ， n-r ，线性表示，由齐次线性方程组解的结构，有 B 0 0，矛盾，所以 1 ， 2 ， n-r ， 0 线性无关，且为方程组 ABX0 的解，从而nr(AB)nr1，r(AB)r1，这与 r(B)r(AB)矛盾，故方程组 BX0 与 ABX0 同解)解析：21.设 A，B，C，D 都是 n阶矩阵，r(CADB)n (1)证明：r （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 nr(CADB) n，所以 n； (2)因为 n，所以方程组 )解析：22.设 A为 n阶矩阵，A 11 0证明：非齐次线性方程组 AXb 有无
19、穷多个解的充分必要条件是 A * b0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设非齐次线性方程组 AXb 有无穷多个解，则 r(A)n，从而A0， 于是 A * bA * AXAX0 反之，设 A * b0，因为 b0，所以方程组 A * X0 有非零解，从而 r(A * )n，又 A 11 0，所以 r(A * )1，且 r(A)n1 因为 r(A * )1，所以方程组 A * X0 的基础解系含有 n1 个线性无关的解向量，而 A * A0，所以 A的列向量组 1 ， 2 ， n 为方程组 A * X0 的一组解向量 由 A 11 0，得 2 ， n 线性无关，所以 2 ， n 是方程组
20、 A * X0 的基础解系 因为 A * b0，所以 b可由 2 ， n 线性表示，也可由 1 ， 2 ， n 线性表示，故 r(A)r( )解析：23.证明：r(AB)minr(A)，r(B)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 r(B)r，BX0 的基础解系含有 nr 个线性无关的解向量，因为 BX0 的解一定是 ABX0 的解，所以 ABX0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数不少于 BX0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数，即 nr(AB)nr(B)，r(AB)r(B)； 又因为，r(AB) T r(AB)r(B T A T )r(A T )r(A)， 所以 r(AB
21、)minr(A)，r(B)解析：24.证明：r(A)r(A T A)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：只需证明 AX0 与 A T AX0 为同解方程组即可 若 AX 0 0，则 A T AX 0 0 反之，若 A T AX 0 0，则 X 0 T TA T AX 0 0 (AX 0 ) T (AX 0 )0 )解析：25.设 A是 mn阶矩阵，且非齐次线性方程组 AXb 满足 r(A)r( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)rn，所以齐次线性方程组 AX0 的基础解系含有 nr 个线性无关的解向量，设为 1 ， 2 ， n-r 设 0 为方程组 AXb 的一个特
22、解， 令 0 0 ， 1 1 0 ， 2 2 0 ， n-r n-r 0 ，显然 0 ， 1 ， 2 ， n-r ，为方程组 AXb 的一组解 令 k 0 0 k 1 1 k n-r n-r 0，即 (k 0 k 1 k n-r ) 0 k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0， 上式两边左乘 A得(k 0 k 1 k n-r )b0， 因为 b为非零列向量，所以 k 0 k 1 k n-r 0，于是 k 1 1 k 2 2 k n-r n-r 0， 注意到 1 ， 2 ， n-r 线性无关，所以 k 1 k 2 k n-r 0， 故 0 ， 1 ， 2 ， n-r 线性无关，即方程组
23、AXb 存在由 nr1 个线性无关的解向量构成的向量组设 1 ， 2 ， n-r+2 为方程组 AXb 的一组线性无关解， 令 1 2 1 ， 2 3 1 ， n-r+1 n-r2 1 ，根据定义，易证 1 ， 2 ， n-r+1 线性无关，又 1 ， 2 ， n-r+1 为齐次线性方程组 AX0 的一组解，即方程组AX0 含有 nr1 个线性无关的解，矛盾，所以 AXb 的任意 nr2 个解向量都是线性相关的，所以AXb 的线性无关的解向量的个数最多为 nr1 个)解析：26.讨论方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D (a1)(b2) (1)当 a1，b2 时，因为 D0，所
24、以方程组有唯一解，由克拉默法则得 (2)当 a1，b2 时， 当 b1 时，方程组无解 当b1 时， 方程组的通解为 X (k为任意常数) (3)当 a一 1，b2 时， 方程组的通解为 X (k为任意常数) 当 a1 时，显然 r(A)2r( )解析：27.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 X(X 1 ，X 2 ，X 3 )，B( 1 ， 2 ， 3 )，方程组 AXB 等价于 则 AXB 有解的充分必要条件是 r(A)r(A B)， 由 r(A)r(A B)得a1，b2，c2，此时 AX 1 1 的通解为 AX 2 2 的通解为 AX 3 3 的通解为 则 X(X 1 ，X 2 ，X 3 ) )解析：
