1、考研数学二（线性方程组）-试卷 7 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换，化为 （分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个3.已知 1 , 2 , 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，那么下列向量 1 一 2 ， 1 + 2 一 2 3 , （分数：2.00）A.4 个B.3 个C.2 个D.1 个4.已知 1 =(1，1，一 1) T ， 2 =(1，2，0) T 是齐次方程组
2、Ax=0 的基础解系，那么下列向量中Ax=0 的解向量是( )（分数：2.00）A.(1，一 1，3) T B.(2，1，一 3) T C.(2，2，一 5) T D.(2，一 2，6) T 5.设 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的系数矩阵 A 的秩为 r，则 Ax=0 有非零解的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r=nB.rNC.rnD.rn6.已知 4 阶方阵 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )， 1 , 2 , 3 , 4 均为四维列向量，其中 1 , 2 线性无关，若 1 +2 2 一 3 =， 1 + 2 + 3 + 4 =，2 1 +3 2 + 3 +2 4 =，k
3、1 ，k 2 为任意常数，那么 Ax= 的通解为( )（分数：2.00）A.B.C.D.7.已知 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是对应的齐次线性方程Ax=0 的基础解系，k 1 ，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解是( )（分数：2.00）A.B.C.D.8.三元一次方程组 （分数：2.00）A.B.C.D.9.设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解B.若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个
4、解C.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解D.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解10.要使 （分数：2.00）A.一 2 1 1B.C.D.11.设 A 为 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组(I)Ax=0 和()A T Ax=0，必有( )（分数：2.00）A.(I)的解是()的解，()的解也是(I)的解B.(I)的解是()的解，()的解不是(I)的解C.()的解是(I)的解，(I)的解不是()的解D.()的解不是(I)的解，(I)的解也不是()的解二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.设 A 为 33 矩阵，且方程组 Ax=0 的
5、基础解系含有两个解向量，则 r(A)= 1.（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A 是一个五阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 ， 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解，则 r(A * )= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 （分数：2.00）填空项 1:_16.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_17.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_18.已知 1 ， 2 是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_19.四元方程组 Ax=b 的三个解是 1 , 2 , 3 ，其中 1 =(1，1，1，1) T ，
6、 2 + 3 =(2，3，4，5) T ，如果 r(A)=3，则方程组 Ax=b 的通解是 1.（分数：2.00）填空项 1:_20.设 1 =(6，一 1，1) T 与 2 =(一 7，4，2) T 是线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：30.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 A=E 一 T ，其中 E 是 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T 是 的转置证明：（分数：4.00）(1).A 2 =A 的充分条件是 T =1；（分数：2.00）_(2).当 T =1 时，A 是不可逆矩阵（分数：2.00）_22.设
7、（分数：2.00）_23.设 1 , 2 s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1 =t 1 1 +t 2 2 ， 2 =t 1 1 +t 2 3 ， s =t 1 1 +t 2 1 ，其中 t 1 ，t 2 为实常数试问 t 1 ，t 2 满足什么条件时， 1 2 s 也为 Ax=0 的一个基础解系（分数：2.00）_24.已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1 ：ax+26y+3c=0， l 2 ：bx+2cy+3a=0， l 3 ：cx+2ay+3b=0， 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0（分数：2.00）_25.求下列齐次线性方程组的基础解系： （分数
8、：2.00）_26.求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为 1 =(0，1，2，3) T ， 2 =(3，2，1，0) T （分数：2.00）_设四元齐次线性方程组 （分数：4.00）(1).方程组 I 与的基础解系；（分数：2.00）_(2).I 与的公共解（分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).求满足 A 2 = 1 ，A 2 = 1 的所有向量 2 ， 3 ；（分数：2.00）_(2).对(1)中任意向量 2 和 3 ，证明 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).求 ，a；（分数：2.00）_(2).求方程组 Ax=b 的通解（分数：2.
9、00）_27.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）_28.已知 A 是 mn 矩阵，其 m 个行向量是齐次线性方程组 Cx=0 的基础解系，B 是 m 阶可逆矩阵，证明：BA 的行向量也是齐次方程组 Cx=0 的基础解系（分数：2.00）_考研数学二（线性方程组）-试卷 7 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换，化为 （分数：2.00）A.1 个B.2 个 C.3 个D.4 个解析：解析：因为系数矩阵的秩
10、 r(A)=3，有 nr(A)=53=2，故应当有 2 个自由变量由于去掉 x 4 ，x 5 两列之后，所剩三阶矩阵为 因为其秩与 r(A)不相等，故 x 4 ，x 5 不是自由变量同理，x 3 ，x 5 不能是自由变量而 x 1 ，x 2 与 x 2 ，x 3 均可以是自由变量，因为行列式 3.已知 1 , 2 , 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，那么下列向量 1 一 2 ， 1 + 2 一 2 3 , （分数：2.00）A.4 个 B.3 个C.2 个D.1 个解析：解析：由 A i =b(i=1，2，3)有 A( 1 一 2 )=A 1 A 2 =bb=0，A( 1 +
11、 2 2 3 )=A 1 +A 2 2A 3 =b+b 一 2b=0， A( 1 一 3 2 +2 3 )=A 1 一 3A 2 +2A 3 =b一 3b+2b=0，那么， 1 2 ， 1 + 2 2 3 ， 4.已知 1 =(1，1，一 1) T ， 2 =(1，2，0) T 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，那么下列向量中Ax=0 的解向量是( )（分数：2.00）A.(1，一 1，3) T B.(2，1，一 3) T C.(2，2，一 5) T D.(2，一 2，6) T 解析：解析：如果 A 选项是 Ax=0 的解，则 D 选项必是 Ax=0 的解因此选项 A、D 均不是 Ax=0
12、的解由于 1 ， 2 是 Ax=0 的基础解系，那么 1 ， 2 可表示 Ax=0 的任何一个解 ，亦即方程组 x 1 1 ，+x 1 2 = 必有解，因为 5.设 n 元齐次线性方程组 Ax=0 的系数矩阵 A 的秩为 r，则 Ax=0 有非零解的充分必要条件是( )（分数：2.00）A.r=nB.rNC.rn D.rn解析：解析：将矩阵 A 按列分块，A=( 1 , 2 n )，则 Ax=0 的向量形式为 x 1 1 +x 2 2 +x n n =0，而 Ax=0 有非零解 1 , 2 n 线性相关 6.已知 4 阶方阵 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )， 1 , 2 , 3 , 4
13、 均为四维列向量，其中 1 , 2 线性无关，若 1 +2 2 一 3 =， 1 + 2 + 3 + 4 =，2 1 +3 2 + 3 +2 4 =，k 1 ，k 2 为任意常数，那么 Ax= 的通解为( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由 1 +2 2 一 3 = 知 7.已知 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是对应的齐次线性方程Ax=0 的基础解系，k 1 ，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解是( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：对于 A、C 选项，因为 所以选项 A、C 中不含有非齐次线性方程组 Ax
14、=b 的特解，故均不正确对于选项 D，虽然( 1 一 2 )是齐次线性方程组 Ax=0 的解，但它与 1 不一定线性无关，故 D 也不正确，所以应选 B事实上，对于选项 B，由于 1 ，( 1 一 2 )与 1 ， 2 等价(显然它们能够互相线性表示)，故 1 ，( 1 一 2 )也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由 可知 8.三元一次方程组 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：设方程组的系数矩阵为 A，对增广矩阵 A 作初等行变换，有 9.设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 A
15、x=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解B.若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解C.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解D.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解 解析：解析：因为不论齐次线性方程组 Ax=0 的解的情况如何，即 r(A)=n 或 r(A)n，以此均不能推得r(A)=r(A；b)所以选项 A、B 均不正确而由 Ax=b 有无穷多个解可知，r(A)=r(A；b)n根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时 Ax=0 必有非零解所以应选 D10.要使 （分数：2.00）A.一 2 1 1 B.C.D.解析：解析：由题意， 1 、 2
16、与 A 的行向量是正交的，对于选项 A，因(一 2，1，1) 1 =0，(一2，1，1) 2 =0，而逐一验证可得，其他三个选项均不满足正交条件所以应选 A11.设 A 为 n 阶矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，对于线性方程组(I)Ax=0 和()A T Ax=0，必有( )（分数：2.00）A.(I)的解是()的解，()的解也是(I)的解 B.(I)的解是()的解，()的解不是(I)的解C.()的解是(I)的解，(I)的解不是()的解D.()的解不是(I)的解，(I)的解也不是()的解解析：解析：如果 是(I)的解，有 A=0，可得 A T A=A T (A)=A T 0=0，即 是()的
17、解故(I)的解必是()的解反之，若 是()的解，有 A T A=0，用 T 左乘可得 T (A T A)=(A T )(A)=(A) T (A)= T 0=0，若设 A=(b 1 ，b 2 ，b n )，那么(A) T (A)=b 1 2 +b 2 2 +b n 2 =0b i =0(i=1，2，n)即 A=0亦即 是(I)的解因此()的解也必是(I)的解所以应选 A二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12.设 A 为 33 矩阵，且方程组 Ax=0 的基础解系含有两个解向量，则 r(A)= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由线性方程组的基础解
18、系所含解向量的个数与系数矩阵的秩的和等于未知数的个数，且本题系数矩阵为 33 阶，因此 r(A)=n 一 r=32=113.设 A 是一个五阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 ， 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解，则 r(A * )= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析： 1 ， 2 是齐次线性方程组 Ax=O 的两个线性无关的解因此由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，有 nr(A)2，即 r(A)3又因为 A 是 5 阶矩阵，而 r(A)3，因此A的 4 阶子式一定全部为 0，因此代数余子式 A ij ，恒为零，即 A
19、 * =O，所以 r(A * )=014.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：一个齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即15.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 (1，2，一 1) T +k 2 (1，0，1) T）解析：解析：A 是一个 3 阶矩阵，由已知得A=0，且 r(A)=2，因此 r(A * )=1，那么可知 nr(A * )=3 一 1=2，因此 A * x=0 有两个基础解系，其通解形式为 k 1 1 +k 2 2 又因为 A * A=AE=0，因此矩阵 A 的列
20、向量是 A * x=0 的解，故通解是 k 1 (1，2，一 1) T +k 2 (1，0，1) T 16.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对于任意的 b 1 ，b 2 ，b 3 ，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩为 3，即A0，由 17.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是 ，而有无穷多解的充分必要条件是 ，对增广矩阵作初等行变换，有18.已知 1 ， 2 是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析
21、：因为 1 ， 2 是方程组的两个不同的解，因此该方程组有无穷多解，即系数矩阵和增广矩阵的秩相等，且均小于 3，对增广矩阵作初等行变换有 19.四元方程组 Ax=b 的三个解是 1 , 2 , 3 ，其中 1 =(1，1，1，1) T ， 2 + 3 =(2，3，4，5) T ，如果 r(A)=3，则方程组 Ax=b 的通解是 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，1，1，1) T +k(0，1，2，3) T）解析：解析：根据( 2 + 3 )一 2 1 =( 2 一 1 )+( 2 一 1 )=(2，3，4，5) T 一2(1，1，1，1) T =(0，1，2，3
22、) T ，因此可知(0，1，2，3) T 是 Ax=0 的解又因为 r(A)=3，n 一 r(A)=1，所以 Ax=b 的通解为(1，1，1，1) T +k(0，1，2，3) T 20.设 1 =(6，一 1，1) T 与 2 =(一 7，4，2) T 是线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(6，一 1，1) T +k(13，一 5，一 1) T (k 为任意常数)）解析：解析：一方面因为 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，因此一定有 r(A)=r(A)3另一方面由于在系数矩阵 A 中存在 2 阶子式 三、解答题(总题数：12，分数：30
23、.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 A=E 一 T ，其中 E 是 n 阶单位矩阵， 是 n 维非零列向量， T 是 的转置证明：（分数：4.00）(1).A 2 =A 的充分条件是 T =1；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 =(E 一 T )(E 一 T )=E 一 2 T +( T ) T =E 一(2 一 T ) T 因此 A 2 =AE 一(2 一 T ) T =E 一 T ( T 一 1) T =0因为0，所以 T 0，因此 A 2 =A 的充分条件为 T =1)解析：(2).当 T =1 时，A 是不可逆矩阵（分数：2.00）_
24、正确答案：(正确答案：当 T =1 时，由 A=E 一 T 可得 A= 一 T = 一 =0，因为0，因此 Ax=0 有非零解，即A=0，所以 A 不可逆)解析：22.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题干可知，线性方程组 Ax=b 有无穷多解 对线性方程组 Ax=b 的增广矩阵作初等行变换， )解析：23.设 1 , 2 s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系， 1 =t 1 1 +t 2 2 ， 2 =t 1 1 +t 2 3 ， s =t 1 1 +t 2 1 ，其中 t 1 ，t 2 为实常数试问 t 1 ，t 2 满足什么条件时， 1 2 s 也为 Ax=0 的一个
25、基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 i (i=1，2，s)是 1 , 2 s 的线性组合，且 1 , 2 s 是 Ax=0 的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知 i (i=1，2，s)均为 Ax=0 的解由 1 , 2 s 是 Ax=0 的基础解系，知 s=nr(A)以下分析 1 2 s 线性无关的条件：设 k 1 1 +k 2 2 +k s s =0，即(t 1 k 1 +t 2 k s ) 1 +(t 2 k 1 +t 1 k 2 ) 2 +(t 2 k 2 +t 1 k 3 ) 3 +(t 2 k s-1 +t 1 k s ) s =0，由于 1 , 2 s 线性无
26、关，因此有 )解析：24.已知平面上三条不同直线的方程分别为 l 1 ：ax+26y+3c=0， l 2 ：bx+2cy+3a=0， l 3 ：cx+2ay+3b=0， 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a+b+c=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一：必要性：设三条直线 l 1 ，l 2 ，l 3 交于一点，则其线性方程组为： )解析：25.求下列齐次线性方程组的基础解系： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)方程组的系数矩阵 所以 r(A)=2，因此基础解系所含向量的个数为 42=2，又原方程组等价于 取 x 3 =1，x 4 =5，得 x 1 =一 4，x
27、 2 =2；取 x 3 =0，x 4 =4，得 x 1 =0，x 2 =1因此基础解系为 (2)方程组系数矩阵 得 r(A)=2，基础解系所含向量的个数为42=2又原方程组等价于 取 x 3 =1，x 4 =2 得 x 1 =0，x 2 =0；取 x 3 =0，x 4 =19，得 x 1 =1，x 2 =7因此基础解系为 (3)记 A=(n，n 一 1，1)，可见 r(A)=1，从而有 n 一 1 个线性无关的解构成此方程的基础解系，原方程组为 x s =一 nx 1 一(n 一 1)x 2 一 2x n-1 取 x 1 =1，x 2 =x 3 =x x-1 =0，得 x n =一 n；取 x
28、 2 =1，x 1 =x 3 =x 4 =x x-1 =0，得 x n =一(n 一 1)=一n+1：取 x n-1 =1，x 1 =x 2 =x n-2 =0，得 x n =一 2所以基础解系为 )解析：26.求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为 1 =(0，1，2，3) T ， 2 =(3，2，1，0) T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设所求齐次方程为 Ax=0， 1 ， 2 是 4 维列向量，基础解系含有 2 个向量，因此 r(A)=42=2，即方程的个数大于等于 2记 B=( 1 ， 2 )，即有 AB=0，且 r(A)=2 即 B T A T =0且 r(A T )=
29、2所以 A T 的列向量就是 B T x=0 的一个基础解系 )解析：设四元齐次线性方程组 （分数：4.00）(1).方程组 I 与的基础解系；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：求方程组 I 的基础解系：系数矩阵为 )解析：(2).I 与的公共解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x=(x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ) T 为 I 与的公共解，用两种方法求 x 的一般表达式：方法一：x 是 I 与的公共解，因此 x 是方程组的解，方程组为 I 与联立的方程组，即 )解析：设 （分数：4.00）(1).求满足 A 2 = 1 ，A 2 = 1 的所有向量 2 ， 3 ；
30、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵(A： 1 )作初等行变换，则 得 Ax=0 的基础解系(1，一 1，2) T 和 Ax= 1 的特解(0，0，1) T 故 2 =(0，0，1) T +k(1，一 1，2) T 或 2 =(k，一 2k，2k+1) T ，其中 k 为任意常数由于 ，对增广矩阵(A 2 ； 1 )作初等行变换，有 得 A 2 x=0 的基础解系(一 1，1，0) T ，(0，0，1) T 又 A 2 x= 1 有特解 故 )解析：(2).对(1)中任意向量 2 和 3 ，证明 1 ， 2 ， 3 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解析
31、：设 （分数：4.00）(1).求 ，a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知可得，线性方程组 Ax=b 有两个不同的解，则 故A=0，即 )解析：(2).求方程组 Ax=b 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 =一 1，a=一 2 时， )解析：27.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于方程组()中“方程个数未知数个数”，所以方程组()必有非零解那么方程组(I)必有非零解(I)的系数矩阵行列式为 0，即 对方程组(I)的系数矩阵作初等行变换，有 则方程组(I)的通解是 k(一 1，一 1，1) T 由已知，则(一 1，一 1，1) T
32、 也是方程组()的解，则有 )解析：28.已知 A 是 mn 矩阵，其 m 个行向量是齐次线性方程组 Cx=0 的基础解系，B 是 m 阶可逆矩阵，证明：BA 的行向量也是齐次方程组 Cx=0 的基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知可得 A 的行向量是 C x =0 的解，即 CA T =O则 C(BA) T =CA T B T =OB T =0可见 BA 的行向量是方程组 Cx=0 的解由于 A 的行向量是基础解系，所以 A 的行向量线性无关，于是m=r(A)=nr(C)又因为 B 是可逆矩阵，r(BA)=r(A)=m=nr(C)，所以鲋的行向量线性无关，其向量个数正好是 nr(C)，因此是方程组 Cx=0 的基础解系)解析：
