1、考研数学二（线性方程组）-试卷 6 及答案解析(总分：96.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组(I)A n x=0 和()A n+1 x=0，现有四个命题 (1)(I)的解必是()的解 (2)()的解必是(I)的解 (3)(I)的解不是()的解 (4)()的解不是(I)的解 以上命题中正确的是( )（分数：2.00）A.(1)(2)B.(1)(4)C.(3)(4)D.(2)(3)3.设矩阵 A mn 的秩为 r(A)=mn，I m
2、 为 m 阶单位矩阵，则下述结论中正确的是( )（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量必线性无关B.A 的任意一个 m 阶子式不等于零C.A 通过初等行变换，必可以化为(I m ；O)的形式D.非齐次线性方程组 Ax=b 一定有无穷多解4.非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵的秩为 r，则( )（分数：2.00）A.r=m 时，方程组 Ax=b 有解B.r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解C.m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解D.rn 时，方程组有无穷多个解5.设 1 , 2 , 3 是 4 元非齐次线性方程组 Ax=b 的 3 个解向量，且
3、 r(A)=3， 1 =(1，2，3，4) T ， 2 + 3 =(0，1，2，3) T ，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x=( )（分数：2.00）A.B.C.D.6.设 A 是 m乃矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )（分数：2.00）A.当 nm 时，仅有零解B.当 nm 时，必有非零解C.当 mn 时，仅有零解D.当 mn 时，必有非零解7.设 1 ， 2 为非齐次方程组 （分数：2.00）A. 1 + 2 +2 1 为该非齐次方程组的解B. 1 + 1 + 2 为该非齐次方程组的解C. 1 + 2 为该非齐次方程组的解D. 1 一 2 + 1
4、 为该非齐次方程组的解8.n 元线性方程组 Ax=B 有两个解 a、c，则下列方程的解是 A 一 c 的是( )（分数：2.00）A.2Ax=BB.Ax=0C.Ax=AD.Ax=C9.非齐次线性方程组 Ax=B 中，系数矩阵 A 和增广矩阵的秩都等于 4，A 是 46 矩阵，则( )（分数：2.00）A.无法确定方程组是否有解B.方程组有无穷多解C.方程组有惟一解D.方程组无解10.对于齐次线性方程组 （分数：2.00）A.有两组解B.无解C.只有零解D.无穷多解11.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.=一 2 且B=0B.=一 2 且B0C.=1 且B=0D.=1 且B012.设 A 是
5、 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，若秩 （分数：2.00）A.Ax= 必有无穷多解B.Ax= 必有唯一解C.D.二、填空题(总题数：9，分数：18.00)13.齐次线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 （分数：2.00）填空项 1:_15.齐次方程组 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 n 阶矩阵 A 的秩为 n 一 2， 1 , 2 , 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则Ax=b 的通解为 1.（分数：2.00）填空项 1:_17.设 A 是秩为 3 的 54 矩阵， 1 , 2 , 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，如果 1 +
6、2 +2 3 =(2，0，0，0) T ，3 1 + 2 =(2，4，6，8) T ，则方程组 Ax=b 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_18.线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_19.非齐次方程组 （分数：2.00）填空项 1:_20.已知齐次线性方程组 有通解 k 1 2，一 1，0，1 T +k 2 3，2，1，0 T ，则方程组 （分数：2.00）填空项 1:_21.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：24，分数：54.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_23.已知方程组 有解，证明：方程组 （分数：2.00）_2
7、4.已知线性方程组 370 有无穷多解，而 A 是 3 阶矩阵，且 （分数：2.00）_25.设方程组(1) （分数：2.00）_26.设四元齐次线性方程组(1)为 （分数：2.00）_27.已知 1 , 2 , 3 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，证明 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 + 3 也是该方程组的一个基础解系（分数：2.00）_28.求线性方程组 （分数：2.00）_29.当 a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_30.设线性方程组 （分数：2.00）_31.设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_32.已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c)，a，b
8、，c 不全为零，矩阵 （分数：2.00）_33.设 n 元线性方程组 Ax=b，其中 （分数：2.00）_34.设矩阵 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )，其中 a 2 ，a 3 ,a 4 线性无关，a 1 =2a 2 一 a 3 ，向量 b=a 1 +a 2 +a 3 +a 4 ，求方程 Ax=b 的通解（分数：2.00）_35.设 1 ,， s 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解，k 1 ,，k s 为实数，满足 k 1 +k 2 +k s =1证明 x=k 1 1 +k 2 2 +k s s 也是该方程组的解（分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).计算行列式A（分数
9、：2.00）_(2).当实数 a 为何值时，方程组 Ax= 有无穷多解，并求其通解（分数：2.00）_36.设 （分数：2.00）_37.问 取何值时，齐次线性方程组 （分数：2.00）_38.写出一个以 （分数：2.00）_39. 取何值时，非齐次线性方程组 （分数：2.00）_40.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知 1 ， 2 , 3 是它的三个解向量，且 （分数：2.00）_设有向量组 （分数：6.00）(1).向量 b 能由向量组 A 线性表示，且表示式唯一；（分数：2.00）_(2).向量 b 不能由向量组 A 线性表示；（分数：2.00）_(3).向量 b 能由向量
10、组 A 线性表示，且表示式不唯一，并求一般表达式（分数：2.00）_41.已知 1 =(一 9，1，2，11) T ， 2 =(1，一 5，1 3，0) T ， 3 =(一 7，一 9，24，11) T 是方程组 （分数：2.00）_设线性非齐次方程组 Ax=( 1 , 2 , 3 , 4 )x= 5 有通解 k(一 1，2，0，3) T +(2，一 3，1，5) T （分数：4.00）(1).求方程组( 2 , 3 , 4 )x= 5 的通解；（分数：2.00）_(2).求方程组( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 )x= 5 的通解（分数：2.00）_42.当参数 p，t 为何值时，非齐
11、次线性方程组 （分数：2.00）_考研数学二（线性方程组）-试卷 6 答案解析(总分：96.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组(I)A n x=0 和()A n+1 x=0，现有四个命题 (1)(I)的解必是()的解 (2)()的解必是(I)的解 (3)(I)的解不是()的解 (4)()的解不是(I)的解 以上命题中正确的是( )（分数：2.00）A.(1)(2) B.(1)(4)C.(3)(4)D.(2)(3)解析：解析：
12、若 A n =0，则 A n+1 =A(A n )=A0=0，即若 是(I)的解，则 必是()的解，可见命题(I)正确如果 A n+1 =0，而 A n 0，那么对于向量组 ，A 1 ，A 2 ，A n ，一方面有：若 k+k 1 A 1 +k 2 A 2 +knA n =0，用 A n 左乘上式的两边，并把 A n+1 =0，A n+2 =0代入，得 kA n =0由 A n 0 知，必有 k=0类似地用 A n-1 左乘可得 k 1 =0因此，A 1 ，A 2 ，A n 线性无关但另一方面，这是 n+1 个 n 维向量，它们必然线性相关，两者矛盾故 A n+1 =0 时，必有 A n =0
13、，即()的解必是(I)的解因此命题(2)正确所以应选 A3.设矩阵 A mn 的秩为 r(A)=mn，I m 为 m 阶单位矩阵，则下述结论中正确的是( )（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量必线性无关B.A 的任意一个 m 阶子式不等于零C.A 通过初等行变换，必可以化为(I m ；O)的形式D.非齐次线性方程组 Ax=b 一定有无穷多解 解析：解析：选项 A、B 显然不正确，将其中的“任意”都改为“存在”，结论才正确对于矩阵 A，只通过初等行变换是不能保证将其化为等价标准型(I m ；D)的，故 C 也不正确，故选 D事实上，由于 A有 m 行，且 r(A)=mn，因此 r(A；
14、b)r(A)=m又 r(A；b)minm，n+1=m，故 r(A；b)=r(A)=mn，从而该非齐次线性方程组一定有无穷多解所以选项 D 正确4.非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵的秩为 r，则( )（分数：2.00）A.r=m 时，方程组 Ax=b 有解 B.r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解C.m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解D.rn 时，方程组有无穷多个解解析：解析：对于选项 A，r(A)=r=m由于 r(A；b)m=r，且 r(A；b)minm，n+1=minr，n+1=r，因此必有 r(A；b)=r， 从而 r(A)=r(A；b)，所
15、以，此时方程组有解，所以应选 A由 B、C、D 选项的条件均不能推得“两秩”相等5.设 1 , 2 , 3 是 4 元非齐次线性方程组 Ax=b 的 3 个解向量，且 r(A)=3， 1 =(1，2，3，4) T ， 2 + 3 =(0，1，2，3) T ，c 表示任意常数，则线性方程组 Ax=b 的通解 x=( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：根据线性方程组解的结构性质，易知 2 1 一( 2 + 3 )=(2，3，4，5) T 是 Ax=0 的一个非零解，所以应选 C6.设 A 是 m乃矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )（分数：2.00）A.当 n
16、m 时，仅有零解B.当 nm 时，必有非零解C.当 mn 时，仅有零解D.当 mn 时，必有非零解 解析：解析：因为 AB 是 m 阶矩阵，且 r(AB)minr(A)，r(B)minm，n(矩阵越乘秩越小)，所以当mn 时，必有 r(AB)m，根据齐次方程组存在非零解的充分必要条件可知，选项 D 正确7.设 1 ， 2 为非齐次方程组 （分数：2.00）A. 1 + 2 +2 1 为该非齐次方程组的解B. 1 + 1 + 2 为该非齐次方程组的解 C. 1 + 2 为该非齐次方程组的解D. 1 一 2 + 1 为该非齐次方程组的解解析：解析：本题考查线性方程组的解的性质，将四个选项分别代入非
17、齐次方程组，8.n 元线性方程组 Ax=B 有两个解 a、c，则下列方程的解是 A 一 c 的是( )（分数：2.00）A.2Ax=BB.Ax=0 C.Ax=AD.Ax=C解析：解析：A(a 一 c)=Aa 一 Ac=0，所以 a 一 c 是 Ax=0 的解9.非齐次线性方程组 Ax=B 中，系数矩阵 A 和增广矩阵的秩都等于 4，A 是 46 矩阵，则( )（分数：2.00）A.无法确定方程组是否有解B.方程组有无穷多解 C.方程组有惟一解D.方程组无解解析：解析：由于方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解的充要条件，且方程组的未知数个数是 6，而系数矩阵的秩为 4，因此方程组有无穷
18、多解，故选 B10.对于齐次线性方程组 （分数：2.00）A.有两组解B.无解C.只有零解 D.无穷多解解析：解析：这是一个齐次线性方程组，只需求出系数矩阵的秩就可以判断解的情况对系数矩阵 A=11.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.=一 2 且B=0B.=一 2 且B0C.=1 且B=0 D.=1 且B0解析：解析：将矩阵 B 按列分块，则由题设条件有 AB=A( 1 ， 2 ， 3 )=(A 1 ，A 2 ，A 3 )=O，即 A i =0(i=1，2，3)，这说明矩阵 B 的列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解又由 BO，知齐次线性方程组 Ax=0 存在非零解，从而 r(A)3，
19、且 A 为 3 阶方阵，故有 12.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，若秩 （分数：2.00）A.Ax= 必有无穷多解B.Ax= 必有唯一解C.D. 解析：解析：由于选项 C、D 为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中必有一个正确也仅有一个正确，因而排除 A、B又齐次线性方程组 有 n+1 个变量，而由题设条件知，秩二、填空题(总题数：9，分数：18.00)13.齐次线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：系数矩阵 得同解方程组 得基础解系：14.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 (1，4，
20、7) T +k 2 (2，5，8) T）解析：解析：因为矩阵 A 的秩是 2，所以A=0，因此 A * A=AE=0，所以 A 的列向量为 A * x=0 的解，又由已知条件得 r(A * )=1，因此 A * x=0 的通解是 k 1 (1，4，7) T +k 2 (2，5，8) T 15.齐次方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 3 或一 1）解析：解析：系数矩阵的行列式 16.设 n 阶矩阵 A 的秩为 n 一 2， 1 , 2 , 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则Ax=b 的通解为 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
21、正确答案： 1 +k 1 ( 2 一 1 )+k 2 ( 3 一 1 )，k 1 ，k 2 为任意常数）解析：解析： 1 , 2 , 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个线性无关的解，则 2 一 1 ， 3 一 1 是 Ax=0 的两个解，且它们线性无关，又 nr(A)=2，故 2 一 1 ， 3 一 1 是 Ax=0 的基础解系，所以 Ax=b 的通解为 1 +k 1 ( 2 一 1 )+k 2 ( 3 一 1 )，k 1 ，k 2 为任意常数17.设 A 是秩为 3 的 54 矩阵， 1 , 2 , 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，如果 1 + 2 +2 3 =(2，
22、0，0，0) T ，3 1 + 2 =(2，4，6，8) T ，则方程组 Ax=b 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 r(A)=3，所以齐次方程组 Ax=0 的基础解系共有 4 一 r(A)=43=1 个向量，又因为( 1 + 2 +2 3 )一(3 1 + 2 )=2( 3 一 1 )=(0，一 4，一 6，一 8) T 是 Ax=0 的解，因此其基础解系可以为(0，2，3，4) T ，由 A( 1 + 2 +2 3 )=A 1 +A 2 +2A 3 =4b，可知 是方程组 Ax=b 的一个解，因此根据非齐次线性方程组的解的结构可知，其
23、通解是 18.线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 3）解析：解析：非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，对该方程组的增广矩阵作初等变换19.非齐次方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对该非齐次线性方程组的增广矩阵作初等变换20.已知齐次线性方程组 有通解 k 1 2，一 1，0，1 T +k 2 3，2，1，0 T ，则方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(1 3，一 3，1，5) T (k 为任意常数)）解析：解析：方程组(2)的通解一定会在方程组(1)的通解之
24、中，是方程组(1)的通解中满足(2)中第三个方程的解，令(1)的通解为 21.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k(一 5，3，1) T (k 为任意常数)）解析：解析：将方程组(I)和方程()联立，得到方程组 ()的解就是两者的公共解对()的系数矩阵做初等行变换可得 三、解答题(总题数：24，分数：54.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：23.已知方程组 有解，证明：方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 分别表示方程组(I)与()的系数矩阵和增广矩阵，则 已知方程组(I)有解，故 又由于(b 1 ，b 2 ，b
25、 m ，1)不能由(a 11 ，a 21 ，a m1 ，0)，(a 12 ，a 22 ，a m2 ，0)，(a 1n ，a 2n ，a mn ，0)线性表示，则 由已知可得 )解析：24.已知线性方程组 370 有无穷多解，而 A 是 3 阶矩阵，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵作初等变换，有 由于方程组有无穷多解，故 a=一 1 或 a=0当a=一 1 时，三个特征向量 线性相关，不合题意，舍去；当 a=0 时，三个特征向量 线性无关，是 A 的特征向量，故 a=0 )解析：25.设方程组(1) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把方程组(1)与(2)联立，得
26、方程组(3) 则方程组(3)的解就是方程组(1)与(2)的公共解对方程组(3)的增广矩阵作初等行变换，有 则方程组(3)有解，即(a1)(a2)=0当 a=1 时 此时方程组(3)的通解为 k(一 1，0，1) T (k 为任意常数)，即为方程组(1)与(2)的公共解当 a=2 时, )解析：26.设四元齐次线性方程组(1)为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)对方程组(1)的系数矩阵作初等行变换，有 由于 nr(A)=42=2，基础解系由 2 个线性无关的解向量所构成，取 x 3 ，x 4 为自由变量，得 1 =(5，一 3，1，0) T ， 2 =(一 3，2，0，1) T
27、是方程组(1)的基础解系 ()设 是方程组(1)与(2)的非零公共解，则 =k 1 1 +k 2 2 =l 1 1 +l 2 2 ，其中 k 1 ，k 2 与 l 1 ，l 2 均是不全为 0 的常数由 k 1 1 +k 2 2 一 l 1 1 一 l 2 2 =0，得齐次方程组(3) 对方程组(3)的系数矩阵作初等行变换，有 )解析：27.已知 1 , 2 , 3 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，证明 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 + 3 也是该方程组的一个基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A( 1 + 2 )=A 1 +A 2 =0+0=0 知， 1
28、+ 2 是齐次方程组 Ax=0 的解同理可知 2 + 3 ， 1 + 3 也是 Ax=0 的解设 k 1 ( 1 + 2 )+k 2 ( 2 + 3 )+k 3 ( 1 + 3 )=0，即(k 1 +k 3 ) 1 +(k 1 +k 2 ) 2 +(k 2 +k 3 ) 3 =0，因为 1 , 2 , 3 是基础解系，它们是线性无关的，故 由于此方程组系数行列式 )解析：28.求线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组的增广矩阵作初等行变换，有 )解析：29.当 a，b 取何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对增广矩阵作初等行变换，有 当 a0 且
29、b3 时，方程组有唯一解 当a=0 时，对任意的 b，方程组均无解当 a0，b=3 时，方程组有无穷多解 )解析：30.设线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将(1，一 1，1，一 1) T 代入方程组得 =对增广矩阵作初等行变换，有 )解析：31.设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有 当 a=0 时，r(A)=1n，故方程组有非零解，其同解方程组为 x 1 +x 2 +x n =0，由此得基础解系为 1 =(一 1，1，0，0) T ， 2 =(一 1，0，1，0) T ， n-1 =(一 1，0，0，1)
30、T ，于是方程组的通解为 x=k 1 1 +k n-1 n-1 ，其中后 k 1 ,，k n-1 为任意常数当 a0 时，对矩阵 B 作初等行变换，有 )解析：32.已知 3 阶矩阵 A 的第一行是(a，b，c)，a，b，c 不全为零，矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB=0 知，B 的每一列均为 Ax=0 的解，且 r(A)+r(B)3 (1)若 k9，则，r(B)=2，于是 r(A)1，显然 r(A)1，故 r(A)=1此时 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为 3 一 r(A)=2，矩阵 B 的第一、第三列线性无关，可作为其基础解系，故 Ax=0 的通解为: ，k
31、1 ，k 2 为任意常数 (2)若 k=9，则 r(B)=1，从而 1r(A)2 若 r(A)=2，则 Ax=0 的通解为： ，k 1 为任意常数 若 r(A)=1，则 Ax=0 的同解方程组为：ax 1 +bx 2 +cx 3 =0，不妨设 a0，则其通解为 )解析：33.设 n 元线性方程组 Ax=b，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 a0 时，方程组系数行列式 D s 0，故方程组有惟一解由克拉默法则，将 D s 的第一列换成 b，得行列式为 且由数学归纳法，得 D n =(n+1)a n ，则 D n-1 =na n-1 因此 (2)当 a=0 时，方程组为 )
32、解析：34.设矩阵 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )，其中 a 2 ，a 3 ,a 4 线性无关，a 1 =2a 2 一 a 3 ，向量 b=a 1 +a 2 +a 3 +a 4 ，求方程 Ax=b 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 2 , 3 , 4 线性无关，故 r(A)3又 1 , 2 , 3 线性相关，因此由 1 , 2 , 3 , 4 线性相关可知 r(A)3因此 r(A)=3，从而原方程的基础解系所含向量个数为 43=1，且由 即 x=(1，一 2，1，0) T 满足方程 Ax=0，所以 x=(1，一 2，1，0) T 是该方程组的基础解系又 b=a 1 +
33、a 2 +a 3 +a 4 =(1，1，1，1) T 是方程Ax=b 的一个特解因此由非齐次线性方程组解的结构可知，原方程的通解为 )解析：35.设 1 ,， s 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解，k 1 ,，k s 为实数，满足 k 1 +k 2 +k s =1证明 x=k 1 1 +k 2 2 +k s s 也是该方程组的解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 1 ， s 是非齐次线性方程组 Ax=b 的 s 个解，故有 A i =b (i=1，s)，当 x=k 1 1 +k 2 2 +k s s ，有 Ax=A(k 1 1 +k 2 2 +k s s )=k 1 A 1 +k 2 A 2 +k s A s =b(k 1 +k s )=b，即 Ax=b，故 x 也是方程的解)解析：设 （分数：4.00）(1).计算行列式A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(2)
