1、考研数学二（线性方程组）-试卷 3 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.非齐次线性方程组 Ax=b 中，系数矩阵 A 和增广矩阵的秩都等于 4，A 是 46 矩阵，则( )（分数：2.00）A.无法确定方程组是否有解。B.方程组有无穷多解。C.方程组有唯一解。D.方程组无解。3.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，若 （分数：2.00）A.Ax= 必有无穷多解。B.Ax= 必有唯一解。C.仅有零解。D.必有非零解。4.设 A 为 mn 矩阵，
2、齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充要条件是( )（分数：2.00）A.A 的列向量线性无关。B.A 的列向量线性相关。C.A 的行向量线性无关。D.A 的行向量线性相关。5.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )（分数：2.00）A.当 nm 时，仅有零解。B.当 nm 时，必有非零解。C.当 mn 时，仅有零解。D.当 mn 时，必有非零解。6.设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解。B.若 Ax=0 有非零解
3、，则 Ax=b 有无穷多个解。C.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解。D.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 有非零解。7.非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵的秩为 r，则( )（分数：2.00）A.r=m 时，方程组 Ax=b 有解。B.r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解。C.m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解。D.rn 时，方程组有无穷多个解。8.已知 1 , 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，那么 （分数：2.00）A.4 个。B.3 个。C.2 个。D.1 个。9.设 1 , 2 , 3 均为线性方程
4、组 Ax=b 的解，下列向量中 （分数：2.00）A.4。B.3。C.2。D.1。10.已知 1 , 2 , 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，那么向量 （分数：2.00）A.4。B.3。C.2。D.1。11.设 （分数：2.00）A.1。B.一 2。C.1 或一 2。D.一 1。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_13.已知线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_15.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_16.齐次方程组 （分数：2.00）填空项 1:_17.已
5、知齐次线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_18.,方程 Ax= 无解，则 a= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 A 是一个五阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 1 ， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解，则 r(A * )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.设 1 =(6，一 1，1) T 与 2 =(一 7，4，2) T 是线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_21.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：18.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_23.已知方程组 有解，证明：方程组
6、 （分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_设 （分数：4.00）(1).求 ，a；（分数：2.00）_(2).求方程组 Ax=b 的通解。（分数：2.00）_25.设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_26.已知齐次线性方程组 其中 （分数：2.00）_27.设线性方程组 （分数：2.00）_已知 A，B 为三阶非零矩阵，且 （分数：4.00）(1).a，b 的值；（分数：2.00）_(2).求 Bx=0 的通解。（分数：2.00）_考研数学二（线性方程组）-试卷 3 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给
7、出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.非齐次线性方程组 Ax=b 中，系数矩阵 A 和增广矩阵的秩都等于 4，A 是 46 矩阵，则( )（分数：2.00）A.无法确定方程组是否有解。B.方程组有无穷多解。 C.方程组有唯一解。D.方程组无解。解析：解析：由于非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解的充要条件，且方程组的未知数个数是 6，而系数矩阵的秩为 4，因此方程组有无穷多解，故选 B。3.设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，若 （分数：2.00）A.Ax= 必有无穷多解。B.Ax= 必有唯一解。C.仅有零解。D.必有非零解。 解析
8、：解析：齐次线性方程必有解(零解)，则选项 C、D 为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中有且只有一个正确，因而排除 A、B。又齐次线性方程组 有 n+1 个变量，而由题设条件知，4.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax=0 仅有零解的充要条件是( )（分数：2.00）A.A 的列向量线性无关。 B.A 的列向量线性相关。C.A 的行向量线性无关。D.A 的行向量线性相关。解析：解析：Ax=0 仅有零解r(A)=nA 的列向量线性无关。故选 A。5.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )（分数：2.00）A.当 nm 时，仅有零解。
9、B.当 nm 时，必有非零解。C.当 mn 时，仅有零解。D.当 mn 时，必有非零解。 解析：解析：因为 AB 是 m 阶矩阵，且 r(AB)minr(A)，r(B)minm，n，所以当 mn 时，必有 r(AB)m，根据齐次方程组存在非零解的充分必要条件可知，选项 D 正确。6.设 A 是 mn 矩阵，Ax=0 是非齐次线性方程组 Ax=b 所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.若 Ax=0 仅有零解，则 Ax=b 有唯一解。B.若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多个解。C.若 Ax=b 有无穷多个解，则 Ax=0 仅有零解。D.若 Ax=b 有无
10、穷多个解，则 Ax=0 有非零解。 解析：解析：因为不论齐次线性方程组 Ax=0 的解的情况如何，即 r(A)=n 或 r(A)n，以此均不能推得r(A)=r(A；b)，所以选项 A、B 均不正确。而由 Ax=b 有无穷多个解可知，r(A)=r(A；b)n。根据齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可知，此时 Ax=0 必有非零解。所以应选 D。7.非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量的个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵的秩为 r，则( )（分数：2.00）A.r=m 时，方程组 Ax=b 有解。 B.r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解。C.m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解。D.rn
11、 时，方程组有无穷多个解。解析：解析：对于选项 A，r(A)=r=m。由于 r(A；b)m=r，且 r(A；b)minm，n+1=minr，n+1=r，因此必有 r(A；b)=r，从而 r(A)=r(A；b)，此时方程组有解，所以应选 A。由 B、C、D 选项的条件均不能推得“两秩”相等。8.已知 1 , 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，那么 （分数：2.00）A.4 个。B.3 个。C.2 个。 D.1 个。解析：解析：由于 A 1 =b，A 2 =b，那么 可知 均是 Ax=b 的解。而 可知 9.设 1 , 2 , 3 均为线性方程组 Ax=b 的解，下列向量中 （分数
12、：2.00）A.4。 B.3。C.2。D.1。解析：解析：由于 A 1 =A 2 =A 3 =b，可知 A( 1 一 2 )=A 1 A 2 =bb=0，A( 1 2 2 + 3 )=A 1 一 2A 2 +A 3 =b 一 2b+b=0 10.已知 1 , 2 , 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，那么向量 （分数：2.00）A.4。 B.3。C.2。D.1。解析：解析：由 A i =b(i=1，2，3)有 A( 1 一 2 )=A 1 A 2 =b 一 b=0，A( 1 + 2 一2 3 )=A 1 +A 2 一 2A 3 =b+b 一 2b=0， A( 1 一 3 2 +
13、2 3 )=A 1 一 3A 2 +2A 3 =b 一 3b+2b=0，即 1 一 2 ， 1 + 2 2 3 ， 11.设 （分数：2.00）A.1。B.一 2。 C.1 或一 2。D.一 1。解析：解析：由于 Ax=0 的任一解向量都可由 线性表出，所以 是 Ax=0 的基础解系，即 Ax=0 的基础解系只含一个解向量，因此 r(A)=2。由方程组 Ax=0 有非零解可得，A=(a 一 1) 2 (a+2)=0，即 a=1 或一 2。当 a=1 时，r(A)=1，舍去；当 a=一 2 时，r(A)=2 0 所以选 B。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.方程组 （分数：2.0
14、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即13.已知线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：对线性方程组的增广矩阵作初等行变换得14.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对于任意的 b 1 ，b 2 ，b 3 ，方程组有解的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩为 3，即 15.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：凡元线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是 r
15、(A)=r(A)，而有无穷多解的充分必要条件县r(A)=r(A)n对增广矩阵作初等行变换，有16.齐次方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 3 或一 1）解析：解析：系数矩阵的行列式17.已知齐次线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩小于末知量的个数。由于18.,方程 Ax= 无解，则 a= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1 或 3）解析：解析：已知方程组无解，所以 r(A)r(A，)。又因为 r(A，)=3，所以 r(A)2，故有A=0
16、a=1 或 3。19.设 A 是一个五阶矩阵，A * 是 A 的伴随矩阵，若 1 ， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解，则 r(A * )= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析： 1 ， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解。由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，可得 nr(A)2，即 r(A)3.又因为 A 是五阶矩阵，所以A的四阶子式一定全部为零，则代数余子式 A ii 恒为零，即 A * =O，所以 r(A * )=O。20.设 1 =(6，一 1，1) T 与 2 =(一 7，4，2) T 是线性方
17、程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(6，一 1，1) T +k(13，一 5，一 1) T ，k 为任意常数）解析：解析：一方面因为 1 ， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，所以一定有 r(A)=r(A)3。另一方面由于在系数矩阵 A 中存在二阶子式 21.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 (1，2，一 1) T +k 2 (1，0，1) T ，k 1 ，k 2 是任意常数）解析：解析：A=0，且 r(A)=2，所以 r(A * )=1，则由 nr(A * )=2 可知，A * x=0 的基础解系含有两个线性无关的
18、解向量，其通解形式为 k 1 1 +k 2 2 。又因为 A * A=AE=O，所以矩阵 A 的列向量是 A * x=0 的解，故通解是 k 1 (1，2，一 1) T +k 2 (1，0，1) T 。三、解答题(总题数：8，分数：18.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：23.已知方程组 有解，证明：方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 A 1 ，A 1 和 A 2 ，A 2 分别表示方程组(1)与(2)的系数矩阵和增广矩阵，则 A 1 =A 2 T 。已知方程组(1)有解，故 r(A 1 )=r(A 1 )。又由于(b 1 ，b 2 ，b m
19、，1)不能由(a 11 ，a 21 ，a m1 ，0)，(a 12 ，a 22 ，a m2 ，0)，(a 1n ，a 2n ，a mn ，0)线性表示，所以 )解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(I)对增广矩阵(A； 1 )作初等行变换，则 得 Ax=0 的基础解系(1，一1，2) T 和 Ax= 1 的特解(0，0，1) T .故 2 =(0，0，1) T +k(1，一 1，2) T ，其中 k 为任意常数。)解析：设 （分数：4.00）(1).求 ，a；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为线性方程组 Ax=b 有两个不同的解，所以 r(A)=r(A)n。于
20、是 解得=1 或 =一 1。当 =1 时，r(A)=1，r(A)=2，此时线性方程组无解。当 =一 1 时， )解析：(2).求方程组 Ax=b 的通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 =一 1，a=一 2 时， 所以方程组 Ax=b 的通解为 )解析：25.设有齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组的系数矩阵 A 作初等行变换，有 当 a=0 时，r(A)=1n，方程组有非零解，其同解方程组为 x 1 +x 2 +x n =0，由此得基础解系为 1 =(一 1，1，0，0) T ， 2 =(一 1，0，1，0) T ， n-1 =(一 1，0，0，1
21、) T ，于是方程组的通解为 x=k 1 1 +k n-1 n-1 ，其中 k 1 ，k n-1 为任意常数。当 a0 时，对矩阵 B 作初等行变换，有 当 时，r(A)=n 一 1n，方程组也有非零解，其同解方程组为 )解析：26.已知齐次线性方程组 其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方程组的系数矩阵的行列式 (I)当 b0 且 时，r(A)=0，方程组仅有零解。()当 b=0 时，原方程组的同解方程组为 a 1 x 1 +a 2 x 2 +a n x n =0。由 可知，a i (i=1，2，n)不全为零。不妨设 a 1 0，得原方程组的一个基础解系为 1 =(一 a 2 ，
22、a 1 ，1，0，0) T ， 2 =(一 a 3 ，0，a 1 ，0) T ， n-1 =(一 a n ，0，0，a 1 ) T 。当 时，有 b0，原方程组的系数矩阵可化为 )解析：27.设线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将(1，一 1，1，一 1) T 代入方程组可得 =。对增广矩阵作初等行变换，可得 )解析：已知 A，B 为三阶非零矩阵，且 （分数：4.00）(1).a，b 的值；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 BO，且 1 ， 2 ， 3 是齐次线性方程组 Bx=0 的三个解向量可知，向量组 1 ， 2 ， 3 必线性相关，于是 解得 a=3b。由 Ax= 3 有解可知，线性方程组 Ax= 3 的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，对增广矩阵作初等行变换得 )解析：(2).求 Bx=0 的通解。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 BO，所以 r(B)1，则 3 一 r(B)2.又因为 1 ， 2 是 Bx=0 的两个线性无关的解，故 3 一 r(B)=2，所以 1 ， 2 是 Bx=0 的一个基础解系，于是 Bx=0 的通解为 x=k 1 1 +k 2 2 ，其中 k 1 ，k 2 为任意常数。)解析：
