1、考研数学二（线性方程组）-试卷 2 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.的一个基础解系为 （分数：2.00）A.(0，1，0，2) T B.(0，1，0，2) T ，(0，12，0，1) T C.(1，0，1，0) T ，(2，0，2，0) T D.(0，1，0，2) T ，(1，0，1，0) T 3.当 A( )时，(0，1，1)和(1，0，2)构成齐次方程组 AX0 的基础解系（分数：2.00）A.(2，1，1)B.C.D.4.A （分数：2.00
2、）A.(1，1，0) T ，(0，0，1) T B.(1，1，0) T C.(1，1，0) T ，(2，2，0) T D.(2，2，0) T ，(3，3，6) T 5.线性方程组 （分数：2.00）A.(1，1，0，0) T c(0，1，1，0) T ，c 任意B.(0，1，1，1) T c 1 (0，2，2，0) T c 2 (0，1，1，0) T ，c 1 ，c 2 任意C.(1，2，1，0) T c 1 (1，2，1，1) T c 2 (0，1，1，0) T ，c 1 ，c 2 任意D.(1，1，0，0) T c 1 (1，2，1，0) T c 2 (0，1，1，0) T ，c 1 ，c
3、 2 任意6.设 1 ， 2 是非齐次方程组 AX 的两个不同的解， 1 ， 2 为它的导出组 AX0 的一个基础解系，则它的通解为( )（分数：2.00）A.k 1 1 k 2 2 ( 1 2 )2B.k 1 1 k 2 ( 1 2 )( 1 2 )2C.k 1 1 k 2 ( 1 2 )( 1 2 )2D.k 1 1 k 2 ( 1 2 )( 1 2 )27.设 A 为 43 矩阵， 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 AX 的 3 个线性无关的解，k 1 ，k 2 为任意常数，则 AX 的通解为( )（分数：2.00）A.( 2 3 )2k 1 ( 2 1 )B.( 2 3 )2k
4、2 ( 2 1 )C.( 2 3 )2k 1 ( 3 1 )k 2 ( 2 1 )D.( 2 3 )2k 1 ( 3 1 )k 2 ( 2 1 )8.设线性方程组 AX 有 3 个不同的解 1 ， 2 ， 3 ，r(A)n2，n 是未知数个数，则( )正确（分数：2.00）A.对任何数 c 1 ，c 2 ，c 3 ，c 1 1 c 2 2 c 3 3 都是 AX 的解；B.2 1 3 2 3 是导出组 AX0 的解；C. 1 ， 2 ， 3 线性相关；D. 1 2 ， 2 3 是 AX0 的基础解系二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.设 A 为三阶非零矩阵，B （分数：2.00）填空
5、项 1:_10.设 A （分数：2.00）填空项 1:_11.已知 1 ， 2 ， t 都是非齐次线性方程组 Ab 的解，如果 c 1 1 c 2 2 c t t 仍是 Ab 的解，则 c 1 c 2 c t 1（分数：2.00）填空项 1:_12.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_13.已知 1 (3，2，0) T ， 2 (1，0，2) T 是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.已知 4 阶矩阵 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，其中 2 ， 3 ，
6、4 线性无关， 1 2 2 3 又设 1 2 3 4 ，求 AX 的通解（分数：2.00）_16.已知 3 阶矩阵 A 的第一行为(a，b，c)，a，b，c 不全为 0，矩阵 B （分数：2.00）_17.设()和()是两个四元齐次线性方程组，()为 （分数：2.00）_18.设()和()都是 3 元非齐次线性方程组，()有通解 1 c 1 1 c 2 2 ， 1 (1，0，1)， 1 (1，1，0)， 2 (1，2，1)；()有通解 2 c， 2 (0，1，2)，(1，1，2)求()和()的公共解（分数：2.00）_19.设()和()是两个四元齐次线性方程组，()的系数矩阵为 A （分数：2
7、.00）_20.已知齐次方程组() （分数：2.00）_21.已知两个线性方程组 （分数：2.00）_22.已知齐次方程组 （分数：2.00）_23.设齐次方程组() 有一个基础解系 (b 11 ，b 12 ，b 12n ) T ， 2 (b 21 ，b 22 ，b 22n ) T ， n (b n1 ，b n2 ，b n2n ) T 证明 A 的行向量组是齐次方程组() （分数：2.00）_24.构造齐次方程组，使得 1 (1，1，0，1) T ， 2 (0，2，1，1) T 构成它的基础解系（分数：2.00）_25.设 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 线性无关，其中 1 ， 2
8、 ， s 是齐次方程组 AX0 的基础解系证明 A 1 ，A 2 ，A t 线性无关（分数：2.00）_26.设 1 ， 2 ， 3 为 3 个 n 维向量，已知 n 元齐次方程组 AX0 的每个解都可以用 1 ， 2 ， 3 线性表示，并且 r(A)n3，证明 1 ， 2 ， 3 为 AX0 的一个基础解系（分数：2.00）_27.n 元非齐次线性方程组 AX 如果有解，则解集合的秩为nr(A)1（分数：2.00）_28.设 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是 34 矩阵，r(a)3证 c 1 2 ， 3 ， 4 ，c 2 1 ， 3 ， 4 ，c 3 1 ， 2 ， 4 ，c 4 1
9、， 2 ， 3 (c 1 ，c 2 ，c 3 ，c 4 ) T 证明 构成 AX0 的基础解系（分数：2.00）_29.设 AX 有解， 是 A T Y0 的一个解，证明 T 0（分数：2.00）_30.设 1 (1，20) T ， 2 (1，a2，3a) T ， 3 (1，b2，a2b) T ，(1，3，3) T 试讨论当 a，b 为何值时， (1) 不能用 1 ， 2 ， 3 线性表示； (2)能用 1 ， 2 ， 3 唯一地线性表示，求表示式； (3) 能用 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示式不唯一，求表示式的一般形式（分数：2.00）_31.已知平面上三条直线的方程为 l 1 a2
10、by3c0， l 2 b2cy3a0， l 3 c2ay3b0 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 abc0（分数：2.00）_32.设 （分数：2.00）_33.设 （分数：2.00）_考研数学二（线性方程组）-试卷 2 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.的一个基础解系为 （分数：2.00）A.(0，1，0，2) T B.(0，1，0，2) T ，(0，12，0，1) T C.(1，0，1，0) T ，(2，0，2，0) T D.(0，1，
11、0，2) T ，(1，0，1，0) T 解析：解析：用基础解系的条件来衡量 4 个选项先看包含解的个数 因为 n4，系数矩阵为 3.当 A( )时，(0，1，1)和(1，0，2)构成齐次方程组 AX0 的基础解系（分数：2.00）A.(2，1，1) B.C.D.解析：4.A （分数：2.00）A.(1，1，0) T ，(0，0，1) T B.(1，1，0) T C.(1，1，0) T ，(2，2，0) T D.(2，2，0) T ，(3，3，6) T 解析：解析：用排除法由于 A T X0 的基础解系应该包含 n12 个解，选项 B 可排除 当 a0 时，(1，1，0) T ，(2，2，0)
12、T 相关，选项 C 排除 当 a2，b3 时(2，2，a) T ，(3，3，b) T 相关，选项 D 排除 于是选 A5.线性方程组 （分数：2.00）A.(1，1，0，0) T c(0，1，1，0) T ，c 任意B.(0，1，1，1) T c 1 (0，2，2，0) T c 2 (0，1，1，0) T ，c 1 ，c 2 任意C.(1，2，1，0) T c 1 (1，2，1，1) T c 2 (0，1，1，0) T ，c 1 ，c 2 任意 D.(1，1，0，0) T c 1 (1，2，1，0) T c 2 (0，1，1，0) T ，c 1 ，c 2 任意解析：解析：先看导出组的基础解系
13、方程组的未知数个数 n4，系数矩阵 6.设 1 ， 2 是非齐次方程组 AX 的两个不同的解， 1 ， 2 为它的导出组 AX0 的一个基础解系，则它的通解为( )（分数：2.00）A.k 1 1 k 2 2 ( 1 2 )2B.k 1 1 k 2 ( 1 2 )( 1 2 )2 C.k 1 1 k 2 ( 1 2 )( 1 2 )2D.k 1 1 k 2 ( 1 2 )( 1 2 )2解析：7.设 A 为 43 矩阵， 1 ， 2 ， 3 是非齐次线性方程组 AX 的 3 个线性无关的解，k 1 ，k 2 为任意常数，则 AX 的通解为( )（分数：2.00）A.( 2 3 )2k 1 (
14、2 1 )B.( 2 3 )2k 2 ( 2 1 )C.( 2 3 )2k 1 ( 3 1 )k 2 ( 2 1 ) D.( 2 3 )2k 1 ( 3 1 )k 2 ( 2 1 )解析：解析：选项 B 和 D 都用( 2 3 )2 为特解，但是( 2 3 )2 不是原方程组解，因此选项 B 和 D 都排除 选项 A 和 C 的区别在于导出组 AX0 的基础解系上，选项 A 只用一个向量，而选项C 用了两个：( 3 1 )，( 2 1 )由于 1 ， 2 ， 3 线性无关，可推出( 3 1 )，( 2 1 )无关，并且它们都是 AX0 的解则 AX0 的解集合的秩不小于 2，从而排除选项 A8
15、.设线性方程组 AX 有 3 个不同的解 1 ， 2 ， 3 ，r(A)n2，n 是未知数个数，则( )正确（分数：2.00）A.对任何数 c 1 ，c 2 ，c 3 ，c 1 1 c 2 2 c 3 3 都是 AX 的解；B.2 1 3 2 3 是导出组 AX0 的解； C. 1 ， 2 ， 3 线性相关；D. 1 2 ， 2 3 是 AX0 的基础解系解析：解析：A i ，因此 A(2 1 3 2 3 )230，即 2 1 3 2 3 是 AX0 的解，选项 B 正确 c 1 1 c 2 2 c 3 3 都是 AX 的解 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.设 A 为三阶非零矩阵
16、，B （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：c 1 (1，4，3) T c 2 (2，3，1) T ，c 1 ，c 2 任意）解析：解析：由 AB0 得 r(A)r(B)3显然 r(B)2，r(A)0，因而 r(A)1，nr(A)2又AB0 说明 B 的每个到向量都是 AX0 的解，取它的 1，3 两列作为基础解系，得 AX0 的通解 c 1 (1，4，3) T c 2 (2，3，1) T ，c 1 ，c 2 任意10.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k 1 (1，4，7) T k 2 (2，5，8) T ）解析：解析：因为秩 r(A)2，所以
17、行列式A0，并且 r(A * )1 那么 A * AAE0，所以A 的列向量是 A * 0 的解 又因 r(A * )1，故 A * X0 的通解是 k 1 (1，4，7) T k 2 (2，5，8) T 11.已知 1 ， 2 ， t 都是非齐次线性方程组 Ab 的解，如果 c 1 1 c 2 2 c t t 仍是 Ab 的解，则 c 1 c 2 c t 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 i 是 Ab 的解，所以，A i b 若 c 1 1 c 2 2 c t t 是Ab 的解，则 A(c 1 1 c 2 2 c t t )c 1 A 1 c 2
18、 A 2 c t A t (c 1 c 2 c t )bb 故 c 1 c 2 c t 112.已知方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：因(1，2，1，0) T 是 Ab 的解，则将其代入第 2 个方程可求出 b1因(1，2，1，1) T 是 A0 的解，则将其代入第 1 个方程可求出 a313.已知 1 (3，2，0) T ， 2 (1，0，2) T 是方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(3，2，0) T k(1，1，1) T ）解析：解析：由于矩阵 A 中有 2 阶子式不为 0，故秩 r(A)2 又 1 2 是 A0
19、 的非零解，知r(A)3 故必有 r(A)2于是 nr(A)1 所以方程组通解是：(3，2，0) T k(1，1，1) T 三、解答题(总题数：20，分数：40.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.已知 4 阶矩阵 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )，其中 2 ， 3 ， 4 线性无关， 1 2 2 3 又设 1 2 3 4 ，求 AX 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AX 用向量方程形式写出为 1 1 2 2 3 3 4 4 ，其导出组为 1 1 2 2 3 3 4 4 0条件 1 2 3 4 说明(1，1，1，1) T
20、 是 AX 的一个特解 1 2 2 3 说明(1，2，1，0) T 是导出组的一个非零解又从 2 ， 3 ， 4 线性无关和 1 2 2 3 得到 r(a)3，从而导出组的基础解系只含 4r(a)1 个解，从而(1，2，1，0) T 为基础解系AX 通解为(1，1，1，1) T c(1，2，1，0) T ，c 可取任意数)解析：16.已知 3 阶矩阵 A 的第一行为(a，b，c)，a，b，c 不全为 0，矩阵 B （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 AB0，r(A)r(B)3，并且 B 的 3 个列向量都是 AX0 的解 (1)若k9，则 r(B)2，r(A)1，AX0 的基础解系
21、应该包含两个解(1，2，3) T 和(3，6，k) T 都是解，并且它们线性无关，从而构成基础解系，通解为： c 1 (1，2，3) T c 2 (3，6，k) T ，其中 c 1 ，c 2 任意 (2)如果 k9，则 r(B)1，r(A)1 或 2 r(A)2，则 AX0 的基础解系应该包含一个解，(1，2，3) T 构成基础解系通解为： c(1，2，3) T ，其中 c 任意 r(A)1，则 AX0 的基础解系包含两个解，而此时 B 的 3 个列向量两两相关，不能用其中的两个构成基础解系 由 r(A)1，A 的行向量组的秩为 1，第一个行阳量(a，b，c)(0!)构成最大无关组，因此第二，
22、三个行向量都是(a，b，c)的倍数，从而 AX0 和方程 a 1 b 2 c 3 0 同解由于(1，23) T 是解，有 a2b3c0，则 a，b 不都为 0(否则(a，b，c 都为 0)，于是(b，a，0) T 也是 a 1 b 2 c 3 0 的一个非零解，它和(1，2，3) T 线性无关，一起构成基础解系，通解为：c 1 (1，2，3) T c 2 (b，a，0) T ，其中 c 1 ，c 2 任意)解析：17.设()和()是两个四元齐次线性方程组，()为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()，由此可决定 c 1 与 c 2 应该满足的条件 具体计算过程：将 c 1 1 c 2
23、 2 (c 2 ，c 1 2c 2 ，c 1 2c 2 ，c 2 ) T ，代入()，得到 )解析：18.设()和()都是 3 元非齐次线性方程组，()有通解 1 c 1 1 c 2 2 ， 1 (1，0，1)， 1 (1，1，0)， 2 (1，2，1)；()有通解 2 c， 2 (0，1，2)，(1，1，2)求()和()的公共解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：公共解必须是()的解，有 2 c 的形式，它又是()的解，从而存在 c 1 ，c 2 使得 2 c 1 c 1 1 c 2 2 ， 于是 2 c 1 可用 1 ， 2 线性表示，即 r( 1 ， 2 ， 2 c 1 )r( 1
24、 ， 2 )2 )解析：19.设()和()是两个四元齐次线性方程组，()的系数矩阵为 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)把()的系数矩阵用初等行变换化为简单阶梯形矩阵 得到()的同解方程组 对自由未知量 3 ， 4 赋值，得()的基础解系 1 (5，3，1，0) T ， 3 (3，2，0，1) T (2)()的通解为 c 1 1 c 2 2 (2c 1 c 2 ，c 1 2c 2 ，(a2)c 1 4c 2 ，c 1 (a8)c 2 ) T 将它代入()，求出为使 c 1 1 c 2 2 也是()的解(从而是()和()的公共解)，c 1 ，c 2 应满足的条件为： )解析：2
25、0.已知齐次方程组() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：求出()的解，代入 1 2 3 0，决定 a 用矩阵消元法，设系数矩阵为 A， A B 当 a0 时，()和方程 1 2 4 0 同解，以 2 ， 3 ， 4 为自由未知量求出一个基础解系 1 (1，1，0，0) T ， 2 (0，0，1，O) T ， 3 (1，0，0，1) T 其中 1 ， 2 都不是 1 2 3 0，的解，因此 a0 不合要求 当 a0 时，继续对 B 进行初等行变换 以 4 为自由未知量，得基础解系 (a1，a， ，1) T 代入 1 2 3 0， (a1)(a) )解析：21.已知两个线性方程组 （分数
26、：2.00）_正确答案：(正确答案：m，n，t 分别在方程组()的各方程中，()的系数及常数项中无参数，可先求出()的个解(要求 2 的值不为 0!请读者思考为什么这样要求)，代入()的方程，可分别求出m，n，t 求()的一个特解 得(2，4，5，0) T 是()的一个解将它代入()的方程： )解析：22.已知齐次方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意得，这两个方程组同解，则它们的联立方程组也和它们同解，系数矩阵的秩也为 2由此可直接通过计算联立方程组系数矩阵的秩来求 a，b，c )解析：23.设齐次方程组() 有一个基础解系 (b 11 ，b 12 ，b 12n ) T ，
27、 2 (b 21 ，b 22 ，b 22n ) T ， n (b n1 ，b n2 ，b n2n ) T 证明 A 的行向量组是齐次方程组() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分别记 A 和 B 为()和()的系数矩阵 ()的未知量有 2n 个，它的基础解系含有 n 个解，则 r(A)n，即 A 的行向量组 1 ， 2 ， n 线性无关 由于 1 ， n 都是()的解，有 AB T (A 1 ，A 2 ，A n )0，转置得 BA T 0，即 B i T 0，i1，n于是， 1 ， 2 ， n 是()的 n 个线性无关的解又因为 r(B)n，()也有 2n 个未知量，2nr(B)n所
28、以 1 ， 2 ， n 是()的一个基础解系从而()的通解为 c 1 1 c 2 2 c n n ，c 1 ，c 2 ，c n 可取任意数)解析：24.构造齐次方程组，使得 1 (1，1，0，1) T ， 2 (0，2，1，1) T 构成它的基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B 求得 BX0 的基础解系：(1，1，2，0) T 和(3，1，0，2) T 记 A )解析：25.设 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， t 线性无关，其中 1 ， 2 ， s 是齐次方程组 AX0 的基础解系证明 A 1 ，A 2 ，A t 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 c
29、 1 A 1 c 2 A 2 c t A t 0则 A(c 1 1 c 2 2 c t t )0 即 c 1 1 c 2 2 c t t 是 AX0 的一个解于是它可以用 1 ， 2 ， s 线性表示： c 1 1 c 2 2 c t t t 1 1 t 2 2 tt s s ， 再由 1 ， 2 ， s ， 1 ， 2 ， s 线性无关，得所有系数都为 0)解析：26.设 1 ， 2 ， 3 为 3 个 n 维向量，已知 n 元齐次方程组 AX0 的每个解都可以用 1 ， 2 ， 3 线性表示，并且 r(A)n3，证明 1 ， 2 ， 3 为 AX0 的一个基础解系（分数：2.00）_正确答
30、案：(正确答案：因为 r(A)n3，所以 AX0 的基础解系包含 3 个解设 1 ， 2 ， 3 是 AX0 的一个基础解系，则条件说明 1 ， 2 ， 3 可以用 1 ， 2 ， 3 线性表示于是有下面的关于秩的关系式： 3r( 1 ， 2 ， 3 )r( 1 ， 2 ， 3 ； 1 ， 2 ， 3 )r( 1 ， 2 ， 3 )3， 从而 r( 1 ， 2 ， 3 )r( 1 ， 2 ， 3 ； 1 ， 2 ， 3 )r( 1 ， 2 ， 3 )， 这说明 1 ， 2 ， 3 和 1 ， 2 ， 3 等价，从而 1 ， 2 ， 3 也都是 AX0 的解；又 r( 1 ， 2 ， 3 )3，
31、即 1 ， 2 ， 3 线性无关，因此是 AX0 的一个基础解系)解析：27.n 元非齐次线性方程组 AX 如果有解，则解集合的秩为nr(A)1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 为()的一个解， 1 ， 2 ， 3 为导出组的基础解系，则 不能用 1 ， 2 ， s 线性表示，因此 ， 1 ， 2 ， s 线性无关， 1 ， 2 ， s 是()的 s1 个解，并且它们等价于 ， 1 ， 2 ， s 于是 r(， 1 ， 2 ， s )r(， 1 ， 2 ， s )s1， 因此， 1 ， 2 ， s 是()的s1 个线性无关的解 (2)AX 的任何 s2 个解都可用 ， 1 ，
32、 2 ， s 这 s1 向量线性表示，因此一定线性相关)解析：28.设 A( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是 34 矩阵，r(a)3证 c 1 2 ， 3 ， 4 ，c 2 1 ， 3 ， 4 ，c 3 1 ， 2 ， 4 ，c 4 1 ， 2 ， 3 (c 1 ，c 2 ，c 3 ，c 4 ) T 证明 构成 AX0 的基础解系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(a)3，n4，所以 AX0 的基础解系由一个非零解构成 由于 r(a)3，A 有 3 阶非零子式，从而 c 1 ，c 2 ，c 3 ，c 4 不全为 0，即 0下面只须再证明 是 AX0的解 于是对第一行展开，得 acacacac0( )解析：29.设 AX 有解， 是 A T Y0 的一个解，证明 T 0（分数：2.00）_
