1、考研数学二（线性代数）-试卷 9 及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2. （分数：2.00）A.-3B.-1C.0D.33. （分数：2.00）A.c -2 mB.mC.cmD.c 3 m4.一个值不为零的 n 阶行列式，经过若干次矩阵的初等变换后，该行列式的值 ( )（分数：2.00）A.保持不变B.保持不为零C.保持相同的正、负号D.可以变为任何值5.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是四维列向量，且四阶行列式| 1 ， 2 ， 3 ， 1
2、 |=m，| 1 ， 2 ， 2 ， 3 |=n，则四阶行列式| 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 |等于 ( )（分数：2.00）A.m+nB.-(m+n)C.n-mD.m-n6.线性方程组 （分数：2.00）A.若方程组无解，则必有系数行列式|A|=0B.若方程组有解，则必有系数行列式|A|0C.系数行列式|A|=0，则方程组必无解D.系数行列式|A|0 是方程组有唯一解的充分非必要条件7.线性方程组 （分数：2.00）A.当 a，b，c 为任意实数时，方程组均有解B.当 a=0 时，方程组无解C.当 b=0 时，方程组无解D.当 c=0 时，方程组无解8.设 A，B 是 n 阶矩阵，则
3、下列结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.AB=0 A=0 且 B=0B.|A|=0 A=0C.|AB|=0 |A|=0 或|B|=0D.A=E |A|=19.设 A 是 nn 矩阵，X 是任意的 n 维列向量，B 是任意的 n 阶方阵，则下列说法错误的是 ( )（分数：2.00）A.AB=0A=0B.B T AB=0A=0C.AX=0A=0D.X T AX=0A=010.设 n 维行向量 = （分数：2.00）A.OB.一 EC.ED.E+ T 11.设 A，B 是 n 阶方阵，满足 AB=O，则必有 ( )（分数：2.00）A.A=O 或 B=OB.A+B=OC.|A|=0 或|B|=
4、0D.|A|+|B|=012.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1 =1，2，3，4 T ， 2 + 3 =0，1，2，3 T ，k 是任意常数，则方程组 AX=b 的通解是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.13.设 1 ， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1 ， 2 分别是 A 的对应于 1 ， 2 的特征向量，则 ( )（分数：2.00）A.当 1 = 2 时， 1 ， 2 对应分量必成比例B.当 1 = 2 时， 1 ， 2 对应分量不成比例C.当 1 2 时， 1 ， 2 对应分量必成比例D.当 1 2 时， 1
5、， 2 对应分量必不成比例二、填空题(总题数：7，分数：14.00)14. （分数：2.00）填空项 1:_15.x，y，z，其中 a，b，c，d，x，y，z， 是任意常数，则|A|= 1 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 a，b，a+b 均非 0，行列式 （分数：2.00）填空项 1:_17.已知 A，B 为 3 阶相似矩阵， 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，行列式|B|=2，则行列式 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 n 阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 A= 1 ， 2 ， 3 是 3 阶矩阵，|A|=4，若 B= 1 -3 2 +2 3 ，
6、2 一 2 3 ，2 2 + 3 ，则|B|= 1（分数：2.00）填空项 1:_20.设 =1，0，1 T ，A= T ，n 是正数，则|aE 一 A n |= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：18，分数：36.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.计算行列式 （分数：2.00）_23.计算行列式 （分数：2.00）_24. （分数：2.00）_25.已知 n(n3)阶实矩阵 A=(a ij ) nn 满足条件： (1)a ij =A ij (i，j=1，2，n)，其中 A ij 是 a ij 的代数余子式； (2)a 11
7、 0求|A|（分数：2.00）_26.|A|是 n 阶行列式，其中有一行(或一列)元素全是 1，证明：这个行列式的全部代数余子式的和等于该行列式的值（分数：2.00）_27. （分数：2.00）_28.计算行列式 （分数：2.00）_29.设 ，试证明： （分数：2.00）_30. （分数：2.00）_31.设 A 为 1010 矩阵， （分数：2.00）_32.A 为 n(n3)阶非零实矩阵，A ij 为 A 中元素 a ij 的代数余子式，试证明： (1)a ij =A ij A T A=E且|A|=1； (2)a ij =-A ij A T A=E 且|A|=一 1（分数：2.00）_3
8、3.设 3 阶矩阵 A 满足|AE|=|A+E|=|A+2E|=0，试计算|A*+3E|（分数：2.00）_34.设 A 是 n 阶矩阵，满足 AA T =E(E 是 n 阶单位矩阵，A T 是 A 的转置矩阵)，|A|0，求|A+E|（分数：2.00）_35.设 a 1 ，a 2 ，a n 是互不相同的实数，且 （分数：2.00）_36.设 B=2AE，证明：B 2 =E 的充分必要条件是 A 2 =A（分数：2.00）_37.设 A 是 n 阶矩阵，证明：A=O 的充要条件是 AA T =O.（分数：2.00）_38.设 （分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 9 答案解析(总分
9、：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2. （分数：2.00）A.-3 B.-1C.0D.3解析：解析：3. （分数：2.00）A.c -2 mB.m C.cmD.c 3 m解析：解析：由4.一个值不为零的 n 阶行列式，经过若干次矩阵的初等变换后，该行列式的值 ( )（分数：2.00）A.保持不变B.保持不为零 C.保持相同的正、负号D.可以变为任何值解析：解析：三类初等变换，都保持行列式不为零5.设 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 都是四维列向量，且四阶行列
10、式| 1 ， 2 ， 3 ， 1 |=m，| 1 ， 2 ， 2 ， 3 |=n，则四阶行列式| 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 |等于 ( )（分数：2.00）A.m+nB.-(m+n)C.n-m D.m-n解析：解析：因| 3 ， 2 ， 1 ， 1 + 2 |=| 3 ， 2 ， 1 ， 1 |+| 3 ， 2 ， 1 ， 2 | =一| 1 ， 2 ， 3 ， 1 | 1 ， 2 ， 3 ， 2 | =一| 1 ， 2 ， 3 ， 1 |+| 1 ， 2 ， 2 ， 3 | =n-m 应选(C)6.线性方程组 （分数：2.00）A.若方程组无解，则必有系数行列式|A|=0 B.若方
11、程组有解，则必有系数行列式|A|0C.系数行列式|A|=0，则方程组必无解D.系数行列式|A|0 是方程组有唯一解的充分非必要条件解析：解析：方程组无解 |A|=0(反证，若|A|0，用克拉默法则，方程组必有解)；(B)方程组有解，|A|可能为零，也可能不为零；(C)|A|=0，方程组也可能有解；(D)|A|07.线性方程组 （分数：2.00）A.当 a，b，c 为任意实数时，方程组均有解 B.当 a=0 时，方程组无解C.当 b=0 时，方程组无解D.当 c=0 时，方程组无解解析：解析：因：a=0 或 b=0 或 c=0 时，方程组均有解，且系数行列式8.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列
12、结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.AB=0 A=0 且 B=0B.|A|=0 A=0C.|AB|=0 |A|=0 或|B|=0 D.A=E |A|=1解析：解析：因|AB|=|A|B|=0;|A|=0 或|B|=0，(C)正确； (A)不正确，例： ，但 AB=O； (B)不正确，例： (D)不正确，例：9.设 A 是 nn 矩阵，X 是任意的 n 维列向量，B 是任意的 n 阶方阵，则下列说法错误的是 ( )（分数：2.00）A.AB=0A=0B.B T AB=0A=0C.AX=0A=0D.X T AX=0A=0 解析：解析：对任意的 X，有 X T AX=0，可推出 A T =一
13、A，不能推出 A=O例 对任意的x 1 ，x 2 T ，均有 10.设 n 维行向量 = （分数：2.00）A.OB.一 EC.E D.E+ T 解析：解析：AB=(E- T )(E+2 T )=E+ T 一 2 T T =E+ T 一 2 T ( T )，其中 11.设 A，B 是 n 阶方阵，满足 AB=O，则必有 ( )（分数：2.00）A.A=O 或 B=OB.A+B=OC.|A|=0 或|B|=0 D.|A|+|B|=0解析：解析：AB=O |AB|=|A|B|=0，故|A|=0 或|B|=012.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，且 r(A)=
14、3， 1 =1，2，3，4 T ， 2 + 3 =0，1，2，3 T ，k 是任意常数，则方程组 AX=b 的通解是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：方程组有齐次解：2 1 一( 2 + 3 )=2，3，4，5 T ，故选(C)13.设 1 ， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1 ， 2 分别是 A 的对应于 1 ， 2 的特征向量，则 ( )（分数：2.00）A.当 1 = 2 时， 1 ， 2 对应分量必成比例B.当 1 = 2 时， 1 ， 2 对应分量不成比例C.当 1 2 时， 1 ， 2 对应分量必成比例D.当 1 2 时， 1 ， 2 对应分量必不成比
15、例 解析：解析：当 1 = 2 时， 1 与 2 可以线性相关也可以线性无关，所以 1 ， 2 可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除(A)，(B)当 1 2 时， 1 ， 2 一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选(D)二、填空题(总题数：7，分数：14.00)14. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x 2 一 y 2 )(b 2 -c 2 )）解析：解析：15.x，y，z，其中 a，b，c，d，x，y，z， 是任意常数，则|A|= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：16.设 a，b，a+b 均非 0，行列式
16、（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2(a 3 +b 2 )）解析：解析：将第 2，3 行加到第 1 行上去，提出公因子 2(a+b)后，再将第 1 列的一 1 倍加到第 2，3 列，得到 17.已知 A，B 为 3 阶相似矩阵， 1 =1， 2 =2 为 A 的两个特征值，行列式|B|=2，则行列式 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 3 为 A 的另一特征值则由 AB 知，|A|=|B|=2，且 1 2 3 =|A|=2，可见 3 =1，从而 A，B 有相同的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =1于是有 |A+E|=( 1 +
17、1)( 2 +1)( 3 +1)=12， |(2B)*|=|2 2 B*|=4 2 |B*|=4 3 |B| 2 =256， 故 18.设 n 阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 1) n-1 (n 一 1)）解析：解析：19.设 A= 1 ， 2 ， 3 是 3 阶矩阵，|A|=4，若 B= 1 -3 2 +2 3 ， 2 一 2 3 ，2 2 + 3 ，则|B|= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：20）解析：解析：利用行列式的性质 |B|=| 1 -3 2 +2 3 ， 2 一 2 3 ，5 3 | =5| 1 -3 2 +2 3
18、 ， 2 -2 3 ， 3 | =5| 1 一 3 2 ， 2 , 3 | =5| 1 ， 2 ， 3 | =2020.设 =1，0，1 T ，A= T ，n 是正数，则|aE 一 A n |= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a 2 (a 一 2 n )）解析：解析： A n =( T ) n = T T T =( T )( T )( T ) T =2 n-1 A， 三、解答题(总题数：18，分数：36.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按第一列展开，得 )
19、解析：23.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 D n 按第一行展开，得 把递推公式改写成 D n 一 D n-1 =(D n-1 -D n-2 )， 继续用递推关系递推，得 D n 一 D n-1 =(D n-1 一 D n-2 )= 2 (D n-2 一 D n-3 )= n-2 (D 2 -D 1 )，而 D 2 =(+) 2 一 ，D 1 =+， D n 一 D n-1 = n-2 (D 2 一D 1 )= n ， 式递推得 D n =D n-1 + n =(D n-2 + n-1 )+ n = n +
20、n-1 + n-2 2 + n-1 + n 除了将式变形得式外，还可将式改写成 D n -D n-1 =(D n-1 一 D n-2 ) 由递推可得 D n 一 D n-1 = n ， 一 得 ( 一 )D n = n+1 一 n+1 ， )解析：25.已知 n(n3)阶实矩阵 A=(a ij ) nn 满足条件： (1)a ij =A ij (i，j=1，2，n)，其中 A ij 是 a ij 的代数余子式； (2)a 11 0求|A|（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知 a ij =A ij ，所以 A*=A T ，且 AA*=AA T =|A|E. 两边取行列式得 |AA T
21、 |=|A| 2 =|A|E|=|A| n 从而 |A|=1 或 |A|=0 由于 a 11 0，可知 |A|=a 11 A 11 +a 12 A 12 +a 1n A 1n =a 11 2 +a 12 2 +a 1n 2 0于是|A|=1)解析：26.|A|是 n 阶行列式，其中有一行(或一列)元素全是 1，证明：这个行列式的全部代数余子式的和等于该行列式的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不失一般性，设 又因 )解析：27. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按第一行展开 得到递推公式 D 5 一 D 4 =-x(D 4 -D 3 )一=-x 3 (D 2 -D 1 )
22、由于 =1 一 x+x 2 ，D 1 =1 一 x，于是得 )解析：28.计算行列式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设 ，试证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)显然在0，1上连续，在(0，1)上可导而 可知 f(x)在0，1上满足罗尔定理的条件，故 )解析：30. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把第 1 行的(一 x)倍分别加到第 2，3，n 行，得 当 x0 时，再把第 j列的 倍加到第 1 列(j=2，n)，就把 D n 化成了上三角行列式 )解析：31.设 A 为 1010 矩阵， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：
23、)解析：32.A 为 n(n3)阶非零实矩阵，A ij 为 A 中元素 a ij 的代数余子式，试证明： (1)a ij =A ij A T A=E且|A|=1； (2)a ij =-A ij A T A=E 且|A|=一 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 a ij =A ij 时，有 A T =A*，则 A T A=AA*=|A|E由于 A 为 n 阶非零实矩阵，即 a ij 不全为 0，所以 tr(AA T )= 而 tr(AA T )=tr(|A|E)=n|A|，这说明|A|0在 AA T =|A|E两边取行列式，得|A| n-2 =1，|A|=1 反之，若 A T
24、A=E 且|A|=1，则 A * A=|A|E=E 且 A 可逆，于是，A T A=A*A，A T =A*，即 a ij =A ij (2)当 a ij =一 A ij 时，有 A T =一 A*，则 A T A=-A*A=-|A|E由于A 为 n 阶非零实矩阵，即 a ij 一不全为 0，所以 )解析：33.设 3 阶矩阵 A 满足|AE|=|A+E|=|A+2E|=0，试计算|A*+3E|（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由|AE|=|A+E|+|A+2E|=0 可知 =1，一 1，一 2 均满足特征方程|A 一 E|=0，又由于 A 为 3 阶矩阵，可知 1，一 1，一 2 为
25、A 的 3 个特征值可知|A|=2，因此 A*+3E=|A|A -1 +3E=2A -1 +3E 有特征值 21 -1 +3=5， 2(一 1) -1 +3=1， 2(-2) -1 +3=2， 故|A*+3E|=512=10)解析：34.设 A 是 n 阶矩阵，满足 AA T =E(E 是 n 阶单位矩阵，A T 是 A 的转置矩阵)，|A|0，求|A+E|（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：|A+E|=|A+AA T |=|A(E+A T )| =|A|(A+E) T |=|A|A+E| )解析：35.设 a 1 ，a 2 ，a n 是互不相同的实数，且 （分数：2.00）_正确答案：
26、(正确答案：因 a 1 ，a 2 ，a n 互不相同，故由范德蒙德行列式知，|A|0，根据克拉默法则，方程组 AX=b 有唯一解，且 )解析：36.设 B=2AE，证明：B 2 =E 的充分必要条件是 A 2 =A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B=2AE,B 2 =(2AE)(2A-E)=4A 2 一 4A+E， 4A 2 4A+E=E,4A 2 -4A=O,A 2 =A)解析：37.设 A 是 n 阶矩阵，证明：A=O 的充要条件是 AA T =O.（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：38.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)n=3 时，因 ，验证得 A 3 =A+A 2 一 E，上式成立 假设 n=k 一 1 时(n3)成立，即 A k-1 =A k-3 +A 2 一 E 成立，则 A k =A.A k-1 =A(A k-3 +A 2 -E)=A k-2 +A 3 -A =A k-1 +(A+A 2 -E)一 A=A k-2 +A 2 一 E， 即 n=k 时成立故 A n =A n-2 +A 2 一 E 对任意 n(n3)成立 (2)由上述递推关系可得 A 100 =A 98 +A 2 一 E=(A 96 +A 2 -E)+A 2 一 E =A 96 +2(A 2 -E)一=A 2 +49(A 2 -E) )解析：
