1、考研数学二（线性代数）-试卷 8 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 （分数：2.00）A.A T X=0 只有零解B.存在 BO，使 AB=OC.A T A=0D.AA T =03.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.当 mn 时，必有AB0B.当 mn 时，必有AB=0C.当 nm 时，必有 l AB I0D.当 nm 时，必有AB=04.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆阵，矩阵 A 的秩为
2、 r，矩阵 B=AC 的秩为 r 1 ，则 ( )（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.r=r 1D.r 和 r 1 的关系依 C 而定5.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件为 ( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表出B.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量 1 ， 2 ， m 线性表出C.向量组 1 ， 2 ， m 与向量组 1 ， 2 ， m 等价D.矩阵 A= 1 ， 2 ， m 与矩阵 B= 1 ， 2 ， m 等价6.要使 1 = 都是
3、线性方程组 AX=0 的解，只要系数矩阵 A 为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.=一 2 且B=0B.=一 2 且B=0C.=1 且B=0D.=1 且BO8.齐次线性方程组的系数矩阵 A 45 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 经过初等行变换化成阶梯形矩阵为 （分数：2.00）A. 1 不能由 3 ， 4 ， 5 线性表出B. 2 不能由 1 ， 3 ， 5 线性表出C. 3 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出D. 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出9.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分条件是 (
4、 )（分数：2.00）A.A 的列向量线性无关B.A 的列向量线性相关C.A 的行向量线性无关D.A 的行向量线性相关10.设 A 为 n 阶实矩阵，则对线性方程组(I)AX=0 和()A T AX=0，必有 ( )（分数：2.00）A.(II)的解是(I)的解，(I)的解也是()的解B.()的解是(I)的解，但(I)的解不是()的解C.(I)的解不是(II)的解，(II)的解也不是(I)的解D.(I)的解是(II)的解，但(III)的解不是(I)的解二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.已知向量组 （分数：2.00）填空项 1:_12.已知 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且
5、 r(A)=n 一 1，则线性方程租 AX=0 的通解是 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.设 n 阶(n3)矩阵 A 的主对角元均为 1，其余元素均为 a，且方程组 AX=0 只有一个非零解组成基础解系，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A=(a ij ) nn 是 n 阶矩阵，A ij 为 a ij 的代数余子式(i，j=1，2，n)A=0，A 11 0，则 A * X=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_15.方程组 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =0 的基础解系是 1（分数：2.00）填空项 1:_16.方程组 （分数：2.00
6、）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.已知线性方程组 （分数：2.00）_19.已知 1 =一 3，2，0 T ， 2 =一 1，0，一 2 T 是线性方程组 （分数：2.00）_20.已知线性方程组 （分数：2.00）_21.已知 4 阶方阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4 维列向量，其中 2 ， 3 ， 4 线性无关， 1 =2 2 一 3 ，如果 = 1 + 2 + 3 + 4 ，求线性方程组AX= 的通解（分数：2.00）_22.设 A mn
7、，r(A)=m，B n(n 一 m) ，r(B)=n 一 m，且满足关系 AB=O证明：若 是齐次线性方程组AX=0 的解，则必存在唯一的 ，使得 B=（分数：2.00）_23.设三元非齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 1，已知 1 ， 2 ， 3 是它的三个解向量，且 1 + 2 =1，2，3 T ， 2 + 3 =2，一 1，1 T ， 3 + 1 =0，2，0 T ，求该非齐次方程的通解（分数：2.00）_24.设三元线性方程组有通解 （分数：2.00）_25.已知方程组(I) （分数：2.00）_26.已知方程组 （分数：2.00）_27.假设 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值
8、，证明： (1) 为 A 一 1 的特征值； (2) （分数：2.00）_28.设有 4 阶方阵 A 满足条件3E+A=0，AA T =2E，A0，其中 E 是 4 阶单位阵求方阵 A 的伴随矩阵 A * 的一个特征值（分数：2.00）_29.求矩阵 A= （分数：2.00）_30.设 A 为 n 阶矩阵， 1 和 2 是 A 的两个不同的特征值x 1 ，x 2 是分别属于 1 和 2 的特征向量，试证明：x 1 +x 2 不是 A 的特征向量（分数：2.00）_31.已知矩阵 A= （分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 8 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选
9、择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 （分数：2.00）A.A T X=0 只有零解B.存在 BO，使 AB=OC.A T A=0D.AA T =0 解析：解析：A= 3.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.当 mn 时，必有AB0B.当 mn 时，必有AB=0 C.当 nm 时，必有 l AB I0D.当 nm 时，必有AB=0解析：解析：A mn B nm 是 m 阶方阵，当 mn 时， r(AB)r(A)nm，故AB=0 (B)成立显然(A)错误 4.
10、设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r 1 ，则 ( )（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.r=r 1 D.r 和 r 1 的关系依 C 而定解析：解析：r(A)=r(B)，因 C 是可逆矩阵，是若干个初等矩阵的积，A 右乘 C，相当于对 A 作若干次初等列变换，不改变矩阵的秩5.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件为 ( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表出B.向量组 1 ， 2 ， m
11、可由向量 1 ， 2 ， m 线性表出C.向量组 1 ， 2 ， m 与向量组 1 ， 2 ， m 等价D.矩阵 A= 1 ， 2 ， m 与矩阵 B= 1 ， 2 ， m 等价 解析：解析：A= 1 ， 2 ， m ，B= 1 ， 2 ， m 等价r( 1 ， m )=r( 1 ， s )， 1 ， 2 ， m 线性无关(已知 1 ， 2 ， m 线性无关时)6.要使 1 = 都是线性方程组 AX=0 的解，只要系数矩阵 A 为 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：因一 2，1，1 1 =0，则一 2，1，1 2 =07.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.=一 2 且
12、B=0B.=一 2 且B=0C.=1 且B=0 D.=1 且BO解析：解析：BO，AB=O，故 AX=0 有非零解，A=0，A= 8.齐次线性方程组的系数矩阵 A 45 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 经过初等行变换化成阶梯形矩阵为 （分数：2.00）A. 1 不能由 3 ， 4 ， 5 线性表出B. 2 不能由 1 ， 3 ， 5 线性表出C. 3 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出D. 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出 解析：解析： i 能否由其他向量线性表出，只须将 i 视为非齐次方程的右端自由项(无论它原在什么位置)有关向量留在左端，去除无关向量，看该非齐次方程是否有
13、解即可由阶梯形矩阵知， 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出9.设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分条件是 ( )（分数：2.00）A.A 的列向量线性无关 B.A 的列向量线性相关C.A 的行向量线性无关D.A 的行向量线性相关解析：解析：A 的列向量线性无关AX=0 有唯一零解，是充要条件，当然也是充分条件10.设 A 为 n 阶实矩阵，则对线性方程组(I)AX=0 和()A T AX=0，必有 ( )（分数：2.00）A.(II)的解是(I)的解，(I)的解也是()的解 B.()的解是(I)的解，但(I)的解不是()的解C.(I)的解不是(II)的解，(I
14、I)的解也不是(I)的解D.(I)的解是(II)的解，但(III)的解不是(I)的解解析：解析：方程 AX=0 和 A T AX=0 是同解方程组二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.已知向量组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 1 ， 2 ， 3 = 知 r( 1 ， 2 ， 3 )=2，由题设：r( 1 ， 2 ， 3 )=2 因 1 ， 2 ， 3 = 12.已知 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零，且 r(A)=n 一 1，则线性方程租 AX=0 的通解是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k1，1，1 T
15、，其中 k 为任意常数）解析：解析：由 r(A)=n 一 1 知 AX=0 的基础解系有 n 一(n 一 1)=1 个非零向量组成 A 的各行元素之和均为零，即 a i1 +a i2 +a in =0，i=1，2，n 也就是 a i1 1+a i2 1+a in 1=0，i=1，2，n， 即 =1，1，1 T 是 AX=0 的非零解，于是方程组 AX=0 的通解为k1，1，1 T ，其中 k 为任意常数13.设 n 阶(n3)矩阵 A 的主对角元均为 1，其余元素均为 a，且方程组 AX=0 只有一个非零解组成基础解系，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解
16、析：解析：A= ，AX=0 只有一个非零解组成基础解系，故 r(A)=n 一 114.设 A=(a ij ) nn 是 n 阶矩阵，A ij 为 a ij 的代数余子式(i，j=1，2，n)A=0，A 11 0，则 A * X=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A=0，A 11 0，r(A)=n 一 1，r(A * )=1，A*X=0 有 n 一 1 个线性无关解向量组成基础解系，因 A * A=AE=O，故 A 的列向量是 A * X=0 的解向量，又 A 11 0，故 A 的第 2，3，n 列是A * X=0 的 n 一 1 个线性无关
17、解向量，设为： 2 ， 3 ， n ， 故通解为 k 2 2 +k 3 3 +k n n ，或者由已知方程 A * X=0，即知 A 11 x 1 +A 21 x 2 +A n1 x n =0，故方程的通解是： 15.方程组 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =0 的基础解系是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 =1，一 1，0，0，0 T ， 2 =1，0，一1，0，0 T ， 3 =1，0，0，一 1，0 T ， 4 =1，0，0，0，一 1 T）解析：16.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k1，1，1，1 T ，
18、其中 k 是任意常数）解析：三、解答题(总题数：15，分数：30.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.已知线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Ab= )解析：19.已知 1 =一 3，2，0 T ， 2 =一 1，0，一 2 T 是线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对应齐次方程有解 = 1 一 2 =一 2，2，2 T 或一 1，1，1 T ， 故对应齐次方程至少有一个非零向量组成基础解系，故 )解析：20.已知线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) 4 能由 1 ， 2 ， 3
19、， 5 线性表出 由线性非齐次方程的通解2，1，0，1 T +k1，一 1，2，0 T 知 5 =(k+2) 1 +(一 k+1) 2 +2k 3 + 4 ， 故 4 =一(k+2) 1 一(一 k+1) 2 2k 3 + 5 (2) 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，因对应齐次方程的基础解系只有一个非零向量，故 r( 4 )=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )=41=3，且由对应齐次方程的通解知 1 一 2 +2 3 =0，即 1 ， 2 ， 3 线性相关，r( 1 ， 2 ， 3 )3，若 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 r( 4 ， 1 ， 2 ， 3 )=
20、r( 1 ， 2 ， 3 )3，这和 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=3 矛盾，故 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出)解析：21.已知 4 阶方阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4 维列向量，其中 2 ， 3 ， 4 线性无关， 1 =2 2 一 3 ，如果 = 1 + 2 + 3 + 4 ，求线性方程组AX= 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1 =2 2 一 3 及 2 ， 3 ， 4 线性无关知 r(A)=r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=3，且对应齐次方程 AX=0 有通解 k1，一 2，1，0 T ，又 =
21、 1 + 2 + 3 + 4 ，即 1 ， 2 ， 3 ， 4 X= 1 + 2 + 3 + 4 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 )解析：22.设 A mn ，r(A)=m，B n(n 一 m) ，r(B)=n 一 m，且满足关系 AB=O证明：若 是齐次线性方程组AX=0 的解，则必存在唯一的 ，使得 B=（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 B 按列分块，设 B= 1 ， 2 ， n 一 m ，因已知 AB=O，故知 B 的每一列均是 AX=0 的解，由 r(A)=m，r(B)=n 一 m 知， 1 ， 2 ， n 一 m 是 AX=0 的基础解系 若 是 AX=0 的解向量，则
22、可由基础解系 1 ， 2 ， n 一 m 线性表出，且表出法唯一，即 =x 1 1 +x 2 2 +x n 一 m n 一 m = 1 ， 2 ， n 一 m )解析：23.设三元非齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 1，已知 1 ， 2 ， 3 是它的三个解向量，且 1 + 2 =1，2，3 T ， 2 + 3 =2，一 1，1 T ， 3 + 1 =0，2，0 T ，求该非齐次方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r(A)=1，AX=b 的通解应为 k 1 1 +k 2 2 +，其中对应齐次方程 AX=0 的解为 1 =( 1 + 2 )一( 2 + 3 )= 1 一 3
23、=一 1，3，2 T ， 1 =( 1 + 2 )一( 2 + 3 )= 1 一 3 =2， 3，1 T 因 1 ， 2 线性无关，故是 AX=0 的基础解系 取 AX=b 的一个特解为 = )解析：24.设三元线性方程组有通解 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设非齐次线性方程为 ax 1 +bx 2 +cx 3 =d， 由 1 ， 2 是对应齐次解，代入对应齐次线性方程组 )解析：25.已知方程组(I) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将方程组(II)的通解 k 1 一 1，1，1，0 T +k 2 2，一 1，0，1 T +一 2，一3，0，0 T =一 2 一 k 1
24、 +2k 2 ，一 3+k 1 一 k 2 ，k 1 ，k 2 T 代入方程组(I)，得 )解析：26.已知方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组(I)，因增广矩阵为 知其通解为 k一 1，2，一 1，1 T +1，2，一 1，0 T =1 一 k，2+2k，一 1 一 k，k T 将通解代入方程组(II)， )解析：27.假设 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值，证明： (1) 为 A 一 1 的特征值； (2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 A 对应于特征值 的特征向量为 x，则 )解析：28.设有 4 阶方阵 A 满足条件3E+A=0，AA T
25、 =2E，A0，其中 E 是 4 阶单位阵求方阵 A 的伴随矩阵 A * 的一个特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由3E+A=0，得 =一 3 为 A 的特征值由 AA T =2E，A0，得A=一4，则 A * 的一个特征值为 )解析：29.求矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 一 E=(1 一 )( 2 +4+5)=0，得 A 的实特征值 =1解(AE)x=0 得其对应的特征向量 x= )解析：30.设 A 为 n 阶矩阵， 1 和 2 是 A 的两个不同的特征值x 1 ，x 2 是分别属于 1 和 2 的特征向量，试证明：x 1 +x 2 不是 A 的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：反证法假设 x 1 +x 2 是 A 的特征向量，则存在数 ，使得 A(x 1 +x 2 )=(x 1 +x 2 )，则 ( 1 )x 1 +( 一 2 )x 2 =0 因为 1 2 ，所以 x 1 ，x 2 线性无关，则 )解析：31.已知矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)B 的特征值为 2，y，一 1由 A 与 B 相似，则 A 的特征值为 2，y，一 1故 (2)分别求出 A 的对应于特征值 1 =2， 2 =1， 3 =一 1 的线性无关的特征向量为 )解析：
