1、考研数学二（线性代数）-试卷 5 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且E+A=0，则2E+A 2 为( )（分数：2.00）A.0B.54C.-2D.-243.设 A 为 mn 阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )（分数：2.00）A.rmB.r=mC.r1（分数：2.00）_（分数：4.00）(1).求 P T CP；（分数：2.00）_(2).证明：D-BA -1
2、B T 为止定矩阵（分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 5 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为二阶矩阵，且 A 的每行元素之和为 4，且E+A=0，则2E+A 2 为( )（分数：2.00）A.0B.54 C.-2D.-24解析：解析：因为 A 的每行元素之和为 4，所以 A 有特征值 4，又E+A=0，所以 A 有特征值-1， 于是2E+A 2 的特征值为 18，3，于是2E+A 2 =54，选(B)3.设 A 为 mn
3、阶矩阵，B 为 nm 阶矩阵，且 mn，令 r(AB)=r，则( )（分数：2.00）A.rmB.r=mC.r0(因为 C 可逆，所以当 X0 时，CX0)，于是 C T AC 为正定矩阵，同样用定义法可证 A -1 +B -1 与 A*+B*都是正定矩阵，选(D)6.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.任一个二次型的标准形是唯一的B.若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C.若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D.二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的 解析：解析：(A)不对，如 f=x 1 x 2 ，令 ，则 f=y 1 2 -y 2 2
4、 ；若令 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：(A+3E) -1 (A 2 -9E)=(A+3E) -1 (A+3E)(A-3E)=A-3E= 8.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，又因为 BO，所以 r(B)1，从而有 r(A)2，显然 A 有两行不成比例，故 r(A)2，于是 r(A)=210.设向量组 1 ， 2 ， 3
5、线性无关，且 1 +a 2 +4 3 ，2a1+ 2 - 3 ， 2 + 3 线性相关，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：( 1 +a 2 +4 3 ，2a1+ 2 - 3 ， 2 + 3 )=( 1 ， 2 ， 3 ) 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，而 1 +a 2 +4 3 ，2 1 + 2 - 3 ， 2 + 3 线性相关，所以 11.设方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1）解析：解析：因为方程组无解，所以 r(A) )3，于是 r(A)2 =0，得 a=-1 或 a=3当 a=3 时，因为 r(A)
6、=r( )=2 ，因为 r(A)r( 12.设 A 为 n 阶可逆矩阵，若 A 有特征值 0 ，则(A * ) 2 +3A * +2E 有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 A 可逆，所以 0 0，A * 对应的特征值为 ，于是(A * ) 2 +3A * +2E 对应的特征值为 13.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析：由 A= 得14.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 1 = ， 3 = 3 ，正交规范化的向量组为 三、解
7、答题(总题数：13，分数：28.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：16.设 AX=A+2X，其中 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AX=A+2X 得(A-2E)X=A，其中 A-2E= 因为A-2E=-10，所以 X=(A-2E) -1 A， )解析：17.设 A 为 n 阶矩阵，且 A k =O，求(E-A) -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E k -A k =(E-A)(E+A+A 2 +A k-1 )，又 E k -A k =E， 所以(E-A) -1 =E+A+A 2 +A k-1 )解析：18.设 1 ， 2 ， n
8、 (n2)线性无关，证明：当且仅当 n 为奇数时 1 + 2 ， 2 + 3 ， n + 1 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设有 x 1 ，x 2 ，x n ，使 x 1 ( 1 + 2 )+x 2 ( 2 + 3 )+x n ( n + 1 )=0，即-(x 1 +x n ) 1 +(x 1 +x 2 ) 2 +(x n-1 +x n ) n =0， 因为 1 ， 2 ， n 线性无关，所以有 ，该方程组系数行列式 D n =1+(-1) n+1 ，n 为奇数 x 1 =x n =0 )解析：19.设 1 ， 2 ， n 为 n 个线性无关的 n 维向量，且与向量 正交（
9、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：向量 为零向量 (反证法)不妨设 0，令 k 1 1 +k 2 2 +k n n +k 0 =0，上式两边左乘 T 得 k 1 T 1 +k 2 T 2 +k n T n +k 0 T =0 因为 1 ， 2 ， n 与 正交，所以 k 0 T =0，即 k 0 2 =0，从而 k 0 =0，于是klal+k 2 2 +k n n =0，再由 1 ， 2 ， n 线性无关，得 k 1 =k 2 =k n =0，故 1 ， 2 ， n ， 线性无关，矛盾(因为当向量的个数大于向量的维数时向量组一定线性相关)，所以 =0)解析：20.参数 a 取何值时，线性
10、方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ， 原方程组的通解为 X=k(-1，0，1) T +(2，-1，0)(k 为任意常数)； 当 a=2 时，方程组无解； 当 a=-2 时， )解析：21. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 +x 4 4 =(*) (1)当 a=-1，b0 时，因为 r(A)=2r( )解析：22.，求 A 的全部特征值，并证明 A 可以对角化 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 T =k，则 A 2 =kA， 设 AX=X，则 A 2 X= 2 X=kX，即 (-k)X=0， 因为 X0，所以矩阵
11、 A 的特征值为 =0 或 =k 由 1 + n =tr(A)且 tr(A)=k 得 1 = n-1 =0， n =k 因为 r(A)=1，所以方程组(0E-A)X=0 的基础解系含有 n-1 个线性无关的解向量，即 =0 有 n-1 个线性无关的特征向量，故 A 可以对角化)解析：设 为 n 维非零列向量， （分数：4.00）(1).证明：A 可逆并求 A -1 ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 2 = )解析：(2).证明： 为矩阵 A 的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A= )解析：23.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由E
12、-A= =(+1)(-1) 2 得 1 =-1， 2 = 3 =1， 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，所以 r(E-A)=1， 由 E-A= )解析：24.用配方法化二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 -4x 3 2 为标准形（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=x 1 2 +2x 1 x 2 +2x 1 x 3 -4x 3 2 =(x 1 +x 2 +x 3 ) 2 -(x 2 +x 3 ) 2 -4x 3 2 ， 则 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=X T AX )解析：25.设 A 是 n 阶正定矩阵，证明：E+A1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 是正定矩阵，所以 A 的特征值 1 0， 2 0， n 0，因此A+E 的 特征值为 1 +11， 2 +11， n +11，故A+E=( 1 +1)( 2 +1)( n +1)1)解析：（分数：4.00）(1).求 P T CP；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 C= 为正定矩阵，所以 A T =A，D T =D， )解析：(2).证明：D-BA -1 B T 为止定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 C 与 合同，且 C 为正定矩阵，所以 )解析：
