1、考研数学二（线性代数）-试卷 4 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 1 =一 1，1，a，4 T ， 2 =一 2，1，5，a T ， 3 =a，2，10，1 T 是 4 阶方阵 A 的3 个不同特征值对应的特征向量，则 a 的取值为 ( )（分数：2.00）A.a5B.a一 4C.a一 3D.a一 3 且 a一 43.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.E 一 A=E 一
2、 BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 与 B 都相似于一个对角矩阵D.对任意常数 t，tE 一 A 与 tE 一 B 相似4.设 A 为 n 阶矩阵，下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 为 A T 的特征向量，那么 为 A 的特征向量B.若 为 A * 的特征向量，那么 为 A 的特征向量C.若 为 A 2 的特征向量，那么 为 A 的特征向量D.若 为 2A 的特征向量，那么 为 A 的特征向量5.已知三阶矩阵 A 有特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3，则 2A * 的特征值是 ( )（分数：2.00）A.1，2，3B.4，6，12C.2，4，6D.8，16
3、，246.已知 A 是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0 ( )（分数：2.00）A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都可能7.已知 1 ， 2 是方程(E 一 A)X=0 的两个不同的解向量，则下列向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量的是 ( )（分数：2.00）A. 1B. 2C. 1 一 2D. 1 + 28.设 （分数：2.00）A. 1 =1，2，1 TB. 2 =1，一 2，1 TC. 3 =2，1，2 TD. 4 =2，1，一 2 T9.A，B 是 n 阶矩阵，且 AB，则 ( )（分数：2.00）A.A
4、，B 的特征矩阵相同B.A，B 的特征方程相同C.A，B 相似于同一个对角阵D.存在 n 阶方阵 Q，使得 Q T AQ=B10.下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.下列矩阵中不能相似于对角阵的矩阵是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：12.00)12.设 n 阶矩阵 A 的元素全是 1，则 A 的 n 个特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_13.设 A 是三阶矩阵，已知A+E=0，A+2E=0，A+3E=0，则A+4E= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A 是三阶矩阵，A=3，且满足A 2
5、 +2A=0，2A 2 +A=0，则 A * 的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 是 n 阶实对称阵， 1 ， 2 ， n 是 A 的 n 个互不相同的特征值， 1 是 A 的对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 B=A 一 1 1 1 T 的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设三阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_17.矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.设 A 是 n 阶方阵，2，4，2n 是 A 的 n 个特
6、征值，E 是 n 阶单位阵计算行列式A 一 3E的值（分数：2.00）_20.设矩阵 （分数：2.00）_21.设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A 的三个不同特征值，对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 = 1 + 2 + 3 (1)证明：，A，A 2 线性无关； (2)若 A 3 =A，求秩 r(A 一 E)及行列式A+2E（分数：2.00）_22.设 A= （分数：2.00）_23.设三阶实对称阵 A 的特征值为 1，2，3，A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 1 =1，一 1，1 T ， 2 =1，一 2，一 1 T ，求 A（分数：2.00）_24.证明
7、：AB，其中 （分数：2.00）_25.设 A 是 n 阶矩阵，满足 A 2 =A，且 r(A)=r(0rn)，证明： （分数：2.00）_26.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 有 n 个互不相同的特征值，且 AB=BA，证明：B 相似于对角阵（分数：2.00）_27.设 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，A= T ，求可逆阵 P，使 P 一 1 AP=A（分数：2.00）_28.设 A=E+ T ，其中 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，=b 1 ，b 2 ，b n T 0，且 T =2 (1)求 A 的特征值和特征向量； (2)求可逆矩阵 P，使得 P 一 1 AP=A（分数：2
8、.00）_29.设向量 =a 1 ，a 2 ，a n T ，=b 1 ，b 2 ，b n T 都是非零向量，且满足条件 T =0，记 n 阶矩阵 A= T ，求： (1)A 2 ； (2)A 的特征值和特征向量； (3)A 能否相似于对角阵，说明理由（分数：2.00）_30.设 a 0 ，a 1 ，a n 一 1 是 n 个实数，方阵 （分数：2.00）_31.设实对称矩阵 A= （分数：2.00）_32.设 （分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 4 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只
9、有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 1 =一 1，1，a，4 T ， 2 =一 2，1，5，a T ， 3 =a，2，10，1 T 是 4 阶方阵 A 的3 个不同特征值对应的特征向量，则 a 的取值为 ( )（分数：2.00）A.a5 B.a一 4C.a一 3D.a一 3 且 a一 4解析：解析： 1 ， 2 ， 3 是三个不同特征值的特征向量，必线性无关，由 3.设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A 与 B 相似，E 为 n 阶单位矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.E 一 A=E 一 BB.A 与 B 有相同的特征值和特征向量C.A 与 B 都相似于一个对角矩阵D
10、.对任意常数 t，tE 一 A 与 tE 一 B 相似 解析：解析：A 与 B 相似，存在可逆矩阵 P，使得 P 一 1 AP=B，则 tE 一 B=tE 一 PP 一 1 AP=P 一 1 (rE)PP 一 1 AP=P 一 1 (tE 一 A)P，即 tE 一 A 与 tE 一 B 相似，选(D)对于(A)：E 一 A=E 一 BA=B；对于(B)：A 与 B 相似，则 A 与 B 有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于(C)：A 与 B 不一定能够相似对角化4.设 A 为 n 阶矩阵，下列命题正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 为 A T 的特征向量，那么 为 A 的特征向量B
11、.若 为 A * 的特征向量，那么 为 A 的特征向量C.若 为 A 2 的特征向量，那么 为 A 的特征向量D.若 为 2A 的特征向量，那么 为 A 的特征向量 解析：解析：矩阵 A T 与 A 的特征值相同，但特征向量不一定相同，故(A)错误 假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，当 0 时 也为 A * 的特征向量这是由于 A=A * Aa=A * A * = 一 1 I A 但反之， 为 A * 的特征向量，那么 不一定为 A 的特征向量例如：当 r(A)n 一 1 时，A * =O， 此时，任意 n 维非零列向量都是 A * 的特征向量，故 A * 的特征向量不一定是 A的特征向
12、量可知(B)错误 假设 为 A 的特征向量， 为其特征值，则 为 A 2 的特征向量这是由于 A 2 =A(A)=A= 2 但反之，若 为 A 2 的特征向量， 不一定为 A 的特征向量例如：假设 A 1 = 1 ，A 2 =一 2 ，其中 1 ， 2 0此时有 A 2 ( 1 + 2 )=A 2 1 +A 2 2 = 1 + 2 ，可知 1 + 2 为 A 2 的特征向量但 1 ， 2 是矩阵 A 两个不同特征值的特征向量，它们的和 1 + 2 不是 A 的特征向量故(C)错误 若 为 2A 的特征向量，则存在实数 使得 2A=，此时有 A= 5.已知三阶矩阵 A 有特征值 1 =1， 2
13、=2， 3 =3，则 2A * 的特征值是 ( )（分数：2.00）A.1，2，3B.4，6，12 C.2，4，6D.8，16，24解析：解析：2A * 的特征值是 6.已知 A 是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0 ( )（分数：2.00）A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值 C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都可能解析：解析：A 是三阶矩阵，r(A)=1，r(OE 一 A)=1 (OE 一 A)X=0 有两个线性无关特征向量，故 =0 至少是二重特征值，也可能是三重，例如：A=7.已知 1 ， 2 是方程(E 一 A)X=0 的两个不同的解向量，则下列向
14、量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量的是 ( )（分数：2.00）A. 1B. 2C. 1 一 2 D. 1 + 2解析：解析：因 1 2 ，故 1 一 2 0，且仍有关系 A( 1 一 2 )= 1 一 2 =( 1 一 2 )， 故 1 一 2 是 A 的特征向量 而(A) 1 ，(B) 2 ，(D) 1 + 2 均有可能是零向量而不成为 A 的特征向量8.设 （分数：2.00）A. 1 =1，2，1 TB. 2 =1，一 2，1 T C. 3 =2，1，2 TD. 4 =2，1，一 2 T解析：解析：因 A 2 = 9.A，B 是 n 阶矩阵，且 AB，则 ( )（分数：2.00）A
15、.A，B 的特征矩阵相同B.A，B 的特征方程相同 C.A，B 相似于同一个对角阵D.存在 n 阶方阵 Q，使得 Q T AQ=B解析：解析：AB，存在可逆阵，使得 P 一 1 AP=B， E 一 B=E 一 P 一 1 AP=P 一 1 (E 一A)P=P 一 1 E 一 AP=E 一 A10.下列矩阵中能相似于对角阵的矩阵是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：四个选项的矩阵，特征值均为 1，1，2，能相似于对角阵的矩阵，要求对应二重特征值 1 = 2 =1，有二个线性无关特征向量对(C)而言，因 11.下列矩阵中不能相似于对角阵的矩阵是 ( ) （分数：2.00）A.
16、 B.C.D.解析：解析：因(D)是对称阵，必相似于对角阵，(C)有三个不同的特征值，能相似于对角阵(A)，(B)的特征值均为 =1(二重)，=2(单根)，当 =1 时，r(E 一 A)= =2，只对应一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似于对角阵 而 =1 时，r(E 一 B)=二、填空题(总题数：6，分数：12.00)12.设 n 阶矩阵 A 的元素全是 1，则 A 的 n 个特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0(n 一 1 重根)，n(单根)）解析：解析：因13.设 A 是三阶矩阵，已知A+E=0，A+2E=0，A+3E=0，则A+4E= 1（分数：2
17、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：由A+E=A+2E=A+3E=0，知 A 有特征值 =一 1，一 2，一 3，则 A+4E 有特征值=3，2，1，故A+4E=614.设 A 是三阶矩阵，A=3，且满足A 2 +2A=0，2A 2 +A=0，则 A * 的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 =一 ）解析：解析：AA+2E=0，因A=3，则A+2E=0，故 A 有特征值 1 =2 15.设 A 是 n 阶实对称阵， 1 ， 2 ， n 是 A 的 n 个互不相同的特征值， 1 是 A 的对应于 1 的一个单位特征向量，则矩阵 B=
18、A 一 1 1 1 T 的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0， 2 ， 3 ， n）解析：解析：因 A 是实对称阵， 1 ， 2 ， n 互不相同，对应的特征向量 1 ， 2 ， n 相互正交，故 B i =(A 1 1 1 T ) i = 16.设三阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：A=17.矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2=4）解析：解析：因三、解答题(总题数：15，分数：30.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：
19、19.设 A 是 n 阶方阵，2，4，2n 是 A 的 n 个特征值，E 是 n 阶单位阵计算行列式A 一 3E的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 为 A 的特征值，则 一 3 为 A 一 3E 的特征值所以 A 一 3E 的特征值为一1，1，3，2n 一 3，故A 一 3E=(一 1)13(2n 一 3)=一(2n3)!)解析：20.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 一 E=( 一 1)(+1) 2 一(2+y)+(2y 一 1)=0 y=2 (2)A 为对称矩阵，要使(AP) T (AP)=P T A 2 P 为对角矩阵，即将实对称矩阵 A 2 对角
20、化 由(1)得 A 的特征值 1 =一 1， 2,3 =1， 4 =3，故 A 2 的特征值 1,2,3 =1， 4 =9且 )解析：21.设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A 的三个不同特征值，对应的特征向量为 1 ， 2 ， 3 ，令 = 1 + 2 + 3 (1)证明：，A，A 2 线性无关； (2)若 A 3 =A，求秩 r(A 一 E)及行列式A+2E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 k 1 +k 2 A+k 3 A 2 =0， 由题设 A i = i i (i=1，2，3)，于是 A=A 1 +A 2 +A 3 = 1 1 + 2 2 + 2 3
21、， A 2 = 1 2 1 + 2 2 2 + 2 2 3 ， 代入式整理得 (k 1 +k 2 1 +k 3 1 2 ) 1 + (k 1 +k 2 2 +k 3 2 2 ) 2 + (k 1 +k 2 3 +k 3 3 2 ) 3 =0 因为 1 ， 2 ， 3 是三个不同特征值对应的特征向量，必线性无关，于是有 )解析：22.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E 一 A= =( 一 9) 2 =0 1 =0， 2 = 3 =9。 1 =0(0EA)X=0 1 =1，2，2 T ； 2 = 3 =9(9EA)X=0 2 =2，一 2，1 T ， 3 =2，1，一 2 T
22、)解析：23.设三阶实对称阵 A 的特征值为 1，2，3，A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 1 =1，一 1，1 T ， 2 =1，一 2，一 1 T ，求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：=3 对应的特征向量应与 1 ， 2 正交，设考 3 =x 1 ，x 2 ，x 3 ，则应有 )解析：24.证明：AB，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 知，A 的全部特征值是 1，2，n，互不相同，故 A 相似于由其特征值组成的对角阵 B 由于 1 =1 时，( 1 E 一 A)X=0，有特征向量 1 =1，0，0 T ； 2 =2 时，( 2 E 一 A)X=
23、0，有特征向量 2 =0，1，0 T ； n =n 时，( n E 一 A)X=0，有特征向量 n =0，0，1 T 故有 A n =n n ，A n 一 1 =(n 一 1) n 一 1 ，A 1 = 1 ， 即 )解析：25.设 A 是 n 阶矩阵，满足 A 2 =A，且 r(A)=r(0rn)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 =A，A 的特征值的取值为 1，0，由 A 一 A 2 =A(E 一 A)=O 知 r(A)+r(EA)n， r(A)+r(EA)r(A+E 一 A)=r(E)=n， 故 r(A)+r(E 一 A)=n，r(A)=r，从而 r(E 一 A)
24、=n 一 r 对=1，(EA)X=0，因 r(E 一 A)=nr，故有 r 个线性无关特征向量，设为 1 ， 2 ， s ； 对 =0，(0E 一 A)X=0，即 AX=0，因 r(A)=r，有 n 一 r 个线性无关特征向量，设为 r+1 ， r+2 ， n 故存在可逆阵 P= 1 ， 2 ， n ， 使得 P 一 1 AP= )解析：26.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 有 n 个互不相同的特征值，且 AB=BA，证明：B 相似于对角阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 有 n 个互不相同的特征值，故存在可逆阵 P，使得 P 一 1 AP=diag( 1 ， 2 ， s )=A
25、1，其中 i ，i=1，2，n 是 A 的特征值，且 i j (ij) 又 AB=BA，故 P 一 1 APP=P 一 1 BPP 一 1 AP，即 设 P 一 1 BP=(c ij ) nn ，则 )解析：27.设 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，A= T ，求可逆阵 P，使 P 一 1 AP=A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)先求 A 的特征值 利用特征值的定义 设 A 的任一特征值为 ，对应于 的特征向量为 ，则 A= T = 若 T =0，则 =0，0，故 =0； 若 T 0，式两端左乘 T ，则 T T =( T ) T =( T ) 因 T 0，故= T =
26、。 (2)再求 A 的对应于 的特征向量 当 =0 时 即解方程 a 1 x 1 +a 2 x 2 +a n x n =0， 得特征向量为(设 a 1 0) 1 =a 2 ，一 a 1 ，0，0 T ， 2 =a 3 ，0，一 a 1 ，0 T ， n 一 1 =a n ，0，0，一 a 1 T 由观察知 n = 1 ， 2 ， n T (3)由 1 ， 2 ， s ，得可逆阵 P )解析：28.设 A=E+ T ，其中 =a 1 ，a 2 ，a n T 0，=b 1 ，b 2 ，b n T 0，且 T =2 (1)求 A 的特征值和特征向量； (2)求可逆矩阵 P，使得 P 一 1 AP=A
27、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 (E+ T )= 左乘 T ， T (E+ T )=( T + T T )=(1+ T ) T = T ， 若 T 0，则 =1+ T =3； 若 T =0，则由式，=1 =1 时， (E 一 A)X=一 T X=一 b 1 ，b 2 ，b n X=0 即b 1 ，b 2 ，b n X=0，因 T =2，故 0，0，设 b 1 0，则 1 =b 2 ，一 b 1 ，0，0 T ， 2 =b 3 ，0，一 b 1 ，0 T ， n 一 1 =b n ，0，0，一 b 1 T ； =3 时， (3E一 A)X=(2E 一 )X=0， n =a 1
28、 ，a 2 ，a n (2)取 )解析：29.设向量 =a 1 ，a 2 ，a n T ，=b 1 ，b 2 ，b n T 都是非零向量，且满足条件 T =0，记 n 阶矩阵 A= T ，求： (1)A 2 ； (2)A 的特征值和特征向量； (3)A 能否相似于对角阵，说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 A= T 和 T =0，有 A 2 =AA=( T )( T )=( T ) T =( T ) T =( T ) T =0， 即 A 是幂零阵(A 2 =O) (2)利用(1)A 2 =O 的结果设 A 的任一特征值为 ，对应于 的特征向量为 ，则 A= 两边左乘 A
29、，得 A 2 =A= 2 因 A 2 =O，所以 2 =0，0，故 =0 即矩阵 A 的全部特征值为 0 (3)A 不能相似于对角阵，因0，0，故 A= T O，r(A)=r0(其实 r(A)=1，为什么?)从而对应于特征值 =0(n 重)的线性无关的特征向量的个数是 n 一 rn 个，故 A 不能对角化)解析：30.设 a 0 ，a 1 ，a n 一 1 是 n 个实数，方阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) 是 A 的特征值，则 应满足E 一 A=0，即 将第 2 列乘 ，第3 列乘 ，第 n 列乘 n 一 1 加到第 1 列，再按第 1 列展开，得 得证 =1， 2 ，
30、n 一 1 T 是 A 的对应于 的特征向量 (2)因 1 ， 2 ， n 互异，故特征向量 1 ， 2 ， n 线性无关，取可逆阵 P= 1 ， 2 ， n ，得 )解析：31.设实对称矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 A 的特征多项式 E 一 A= =( 一 a 一 1) 2 (a+2)=0， 得 1 = 2 =a+1， 3 =a 一 2 当 1 = 2 =a+1 时，对应两个线性无关特征向量 1 =1，1，0 T ， 2 =1，0，1 T ； 当 3 =a 一 2 时，对应的特征向量 3 =一 1，1，1 T )解析：32.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A，B 均是实对称阵，均可相似于对角阵，由于 )解析：
