1、考研数学二（线性代数）-试卷 1 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 1 ， 2 是 AX=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是相应的齐次方程组 AX=0 的基础解系，k 1 ，k 2 是任意常数，则 AX=b 的通解是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A 是 mn 矩阵，线性非齐次方程组为 AX=b， 对应的线性齐次方程组为 AX=0， 则 ( )（分数：2.00）A.有无穷多解仅有零解B.有无穷多解有无穷多解C.仅有零解有
2、唯一解D.有非零解有无穷多解4.设 A 是 mn 矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.m=n，且A0B.AX=0 有唯一零解C.A 的列向量组 1 ， 2 ， n 和 1 ， 2 ， n ，b 是等价向量组D.r(A)=n，b 可由 A 的列向量线性表出5.设矩阵 A mn 的秩 r(A)=r(Ab)=mn，则下列说法错误的是 ( )（分数：2.00）A.AX=0 必有无穷多解B.AX=b 必无解C.AX=b 必有无穷多解D.存在可逆阵 P，使 AP=E m O6.设 A 是 45 矩阵，且 A 的行向量组线性无关，则下列说法错误的是 ( )（分数：
3、2.00）A.A T X=0 只有零解B.A T AX=0 必有无穷多解C.对任意的 b，A T X=有唯一解D.对任意的 b，AX=b 有无穷多解7.设 A 是 ms 矩阵，B 是 sn 矩阵，则齐次线性方程组 BX=0 和 ABX=0 是同解方程组的一个充分条件是 ( )（分数：2.00）A.r(A)=mB.r(A)=sC.r(B)=sD.r(B)=n8.设 A，B 是 n 阶方阵，X，Y，b 是 n1 矩阵，则方程组 （分数：2.00）A.r(A)=r(Ab)，r(B)任意B.AX=b 有解，BY=0 有非零解C.A0，b 可由 B 的列向量线性表出D.B0，b 可由 A 的列向量线性表
4、出9.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1 =1，2，3，4 T ， 2 + 3 =0，1，2，3 T ，k 是任意常数，则方程组 AX=b 的通解是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.设 1 ， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1 ， 2 分别是 A 的对应于 1 ， 2 的特征向量，则 ( )（分数：2.00）A.当 1 = 2 时， 1 ， 2 对应分量必成比例B.当 1 = 2 时， 1 ， 2 对应分量不成比例C.当 1 2 时， 1 ， 2 对应分量必成比例D.当 1 2 时， 1 ， 2 对应分量必不成比
5、例二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_12.设线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_13.已知非齐次线性方程组 A 34 X=b 有通解 k 1 1，2，0，一 2 T +k 2 4，一 1，一 1，一 1 T +1，0，一 1，1 T ，则满足方程组且满足条件 x 1 =x 2 ， x 3 =x 4 的解是 1（分数：2.00）填空项 1:_14.已知 4 阶方阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4 维列向量，其中 1 ， 2 线性无关，若 = 1 +2 2 一 3 = 1 + 2 + 3 +
6、4 = 1 +3 2 + 3 +2 4 ， 则 Ax= 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_16.已知一 2 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.已知 B 是 n 阶矩阵，满足 B 2 =E(此时矩阵 B 称为对合矩阵)求 B 的特征值的取值范围（分数：2.00）_19.设 A，B 是 n 阶方阵，证明：ABBA 有相同的特征值（分数：2.00）_20.已知 n 阶矩阵 A 的每行元素之和为 a，求 A 的一个特
7、征值，当 k 是自然数时，求 A k 的每行元素之和（分数：2.00）_21.A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三个不同的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量证明：向量组 A( 1 + 2 )，A( 2 + 3 )，A( 3 + 1 )线性无关的充要条件是 A 是可逆矩阵（分数：2.00）_22.设 A 是三阶实矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A 的三个不同的特征值， 1 ， 2 ， 3 是三个对应的特征向量，证明：当 2 3 0 时，向量组 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关（分数：2.00）_23.设 A 是 n 阶实矩阵，有 A=，A
8、T =，其中 ， 是实数，且 ， 是 n 维非零向量，证明：， 正交（分数：2.00）_24.设矩阵 A= ，问 k 为何值时，存在可逆阵 P，使得 P 一 1 AP= （分数：2.00）_25.已知 A= ，求 A 的特征值和特征向量，a 为何值时，A 相似于 （分数：2.00）_26.已知 =1，k，1 T 是 A 一 1 的特征向量，其中 A= （分数：2.00）_27.设矩阵 A= 有三个线性无关特征向量，=2 是 A 的二重特征值，试求可逆阵 P，使得 P 一 1 AP= （分数：2.00）_28.已知 =1，1，一 1 T 是矩阵 A= （分数：2.00）_29.设矩阵 A= （分
9、数：2.00）_30.设 A 是三阶实对称阵， 1 =一 1， 2 = 3 =1 是 A 的特征值，对应于 1 的特征向量为 1 =0，1，1 T ，求 A（分数：2.00）_31.设 A 是 n 阶正定矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，证明：A+E 的行列式大于 1（分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 1 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 1 ， 2 是 AX=b 的两个不同的解， 1 ， 2 是相应的齐次方程组 AX=0 的基
10、础解系，k 1 ，k 2 是任意常数，则 AX=b 的通解是 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：(A)，(C)中没有非齐次特解，(D)中两个齐次解 1 与 1 一 2 是否线性无关未知，而(B)中因 1 ， 2 是基础解系，故 1 ， 1 一 2 仍是基础解系， 3.设 A 是 mn 矩阵，线性非齐次方程组为 AX=b， 对应的线性齐次方程组为 AX=0， 则 ( )（分数：2.00）A.有无穷多解仅有零解B.有无穷多解有无穷多解 C.仅有零解有唯一解D.有非零解有无穷多解解析：解析：(C)，(D)中式均有可能无解式有无穷多解，记为 k 1 1 +k n 一 r n 一
11、r +，则式有解 k 1 1 +k 2 2 +k n 一 r n 一 r ，故(A)不正确，故选(B)4.设 A 是 mn 矩阵，则方程组 AX=b 有唯一解的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.m=n，且A0B.AX=0 有唯一零解C.A 的列向量组 1 ， 2 ， n 和 1 ， 2 ， n ，b 是等价向量组D.r(A)=n，b 可由 A 的列向量线性表出 解析：解析：r(A)=n，b 可由 A 的列向量组线性表出，即为 r(A)=r(A|b)=n，AX=b 有唯一解 (A)是充分条件，但非必要条件，(B)是必要条件，但非充分条件(可能无解)，(C)是必要条件，但非充分条件(b
12、由 1 ， 2 ， n 表出，可能不唯一)5.设矩阵 A mn 的秩 r(A)=r(Ab)=mn，则下列说法错误的是 ( )（分数：2.00）A.AX=0 必有无穷多解B.AX=b 必无解 C.AX=b 必有无穷多解D.存在可逆阵 P，使 AP=E m O解析：解析：因 r(A)=r(A|b)=mnAX=b 必有解6.设 A 是 45 矩阵，且 A 的行向量组线性无关，则下列说法错误的是 ( )（分数：2.00）A.A T X=0 只有零解B.A T AX=0 必有无穷多解C.对任意的 b，A T X=有唯一解 D.对任意的 b，AX=b 有无穷多解解析：解析：r(A)=4，A T 是 54
13、矩阵，方程组 A T X=b，对任意的 b若有解，则必有唯一解，但可能无解，即可能 r(A T )=r(A)=4r(A T |b)=5，而使方程组无解 其余(A)，(B)，(D)正确，自证7.设 A 是 ms 矩阵，B 是 sn 矩阵，则齐次线性方程组 BX=0 和 ABX=0 是同解方程组的一个充分条件是 ( )（分数：2.00）A.r(A)=mB.r(A)=s C.r(B)=sD.r(B)=n解析：解析：显然 BX=0 的解，必是 ABX=0 的解，又因 r(A)=s，即 A 的列向量组线性无关，从而若 AY=0，则必 Y=0(即 AY=0 有唯一零解)，故 ABX=0 必有 BX=0，即
14、 ABX=0 的解也是 BX=0 的解，故选(B)，其余的均可举例说明8.设 A，B 是 n 阶方阵，X，Y，b 是 n1 矩阵，则方程组 （分数：2.00）A.r(A)=r(Ab)，r(B)任意 B.AX=b 有解，BY=0 有非零解C.A0，b 可由 B 的列向量线性表出D.B0，b 可由 A 的列向量线性表出解析：解析：9.设 1 ， 2 ， 3 是四元非齐次线性方程组 AX=b 的三个解向量，且 r(A)=3， 1 =1，2，3，4 T ， 2 + 3 =0，1，2，3 T ，k 是任意常数，则方程组 AX=b 的通解是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：方程组有
15、齐次解：2 1 一( 2 + 3 )=2，3，4，5 T ，故选(C)10.设 1 ， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1 ， 2 分别是 A 的对应于 1 ， 2 的特征向量，则 ( )（分数：2.00）A.当 1 = 2 时， 1 ， 2 对应分量必成比例B.当 1 = 2 时， 1 ， 2 对应分量不成比例C.当 1 2 时， 1 ， 2 对应分量必成比例D.当 1 2 时， 1 ， 2 对应分量必不成比例 解析：解析：当 1 = 2 时， 1 与 2 可以线性相关也可以线性无关，所以 1 ， 2 可以对应分量成比例，也可以对应分量不成比例，故排除(A)，(B)当 1 2 时， 1
16、， 2 一定线性无关，对应分量一定不成比例，故选(D)二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：12.设线性方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析： 其中 k 1 ，k 2 ，k 3 是任意常数，方程组有解，即k 1 ，k 2 ，k 3 T 或说 13.已知非齐次线性方程组 A 34 X=b 有通解 k 1 1，2，0，一 2 T +k 2 4，一 1，一 1，一 1 T +1，0，一 1，1 T ，则满足方程组且满足条件 x 1 =x 2 ， x 3 =x 4 的解是
17、 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2，2，一 1，一 1 T）解析：解析：方程组的通解为 14.已知 4 阶方阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4 维列向量，其中 1 ， 2 线性无关，若 = 1 +2 2 一 3 = 1 + 2 + 3 + 4 = 1 +3 2 + 3 +2 4 ， 则 Ax= 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由 = 1 +2 2 一 3 = 1 + 2 + 3 + 4 = 1 +3 2 + 3 +2 4 ，可知 1 = 均为 Ax=0 的解 由于 1 ，
18、 2 线性无关，可知 r(A)2又由于 Ax=O 有两个线性无关的解 1 一 2 ， 2 一 3 ，可知 Ax=0 的基础解系中至少含有两个向量，也即 4 一 r(A)2，即 r(A)2 综上，r(A)=2，Ax=0 的基础解系中含有两个线性无关的向量，故 1 一 2 ， 2 一 3 即为 Ax=0 的基础解系故 Ax= 的通解为 15.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k一 1，1，0 T ，k 为任意常数）解析：解析：由于 A 为 43 矩阵，AB=O，且 BO，我们得知 r(A)3， 对 A 作变换 16.已知一 2 是 A= （分数：2.00）填空项 1
19、:_ （正确答案：正确答案：一 4）解析：解析：由E 一 A=一 2E 一 A=0，可求得 x=一 4三、解答题(总题数：15，分数：30.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.已知 B 是 n 阶矩阵，满足 B 2 =E(此时矩阵 B 称为对合矩阵)求 B 的特征值的取值范围（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 B 有特征值 ，对应的特征向量为 ，即 B=，左乘 B，得 B 2 =E=B= 2 ， ( 2 一 1)=0，0， 故 =1，或 =一 1，B 的特征值的取值范围是1，一 1)解析：19.设 A，B 是 n 阶方阵，证明：A
20、BBA 有相同的特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用特征值的定义 设 AB 有任一特征值 ，其对应的特征向量为 ，则 AB= 式两边左乘 B，得 BAB=BA(B)=(B) 若 B0，式说明，BA 也有特征值 (其对应的特征向量为 B)，若 B=0，由式知，=0，0，得 AB 有特征值 =0，从而AB=0，且BA=BA=AB=AB=0，从而 BA 也有 =0 的特征值，故 AB 和 BA 有相同的特征值)解析：20.已知 n 阶矩阵 A 的每行元素之和为 a，求 A 的一个特征值，当 k 是自然数时，求 A k 的每行元素之和（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的每行
21、元素之和为 A，故有 即 A 是 A 的一个特征值 又 A k 的特征值为a k ，且对应的特征向量相同，即 )解析：21.A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三个不同的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量证明：向量组 A( 1 + 2 )，A( 2 + 3 )，A( 3 + 1 )线性无关的充要条件是 A 是可逆矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A( 1 + 2 )，A( 2 + 3 )，A( 3 + 1 )线性无关 1 1 + 2 2 ， 2 2 + 3 3 ， 3 3 + 1 1 线性无关 1 1 + 2 2 ， 2 2 + 3 3 ， 3 3 + 1 1 =
22、1 ， 2 ， 3 秩为 3， 因为 1 ， 2 ， 3 线性无关， )解析：22.设 A 是三阶实矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A 的三个不同的特征值， 1 ， 2 ， 3 是三个对应的特征向量，证明：当 2 3 0 时，向量组 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )= 1 ， 1 1 + 2 2 ， 1 2 1 + 2 2 2 + 3 2 3 = 1 ， 2 ， 3 又 1 2 3 ，故 1 ， 2 ， 3 线性无关，由上式知 1 ，A( 1 + 2
23、 )，A 2 ( 1 ， 2 ， 3 )线性无关 )解析：23.设 A 是 n 阶实矩阵，有 A=，A T =，其中 ， 是实数，且 ， 是 n 维非零向量，证明：， 正交（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A=，两边转置得 T A T = T ， 两边右乘 ，得 T A T = T ， T = T ， ( 一 ) T =0， 故 T =0， 相互正交)解析：24.设矩阵 A= ，问 k 为何值时，存在可逆阵 P，使得 P 一 1 AP= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =一 1 是二重特征值，为使 A 相似于对角阵，要求 r(E 一 A)=r(一 EA)=1， r(一 E
24、一 A)一 1k=0， 故 k=0 时，存在可逆阵 P，使得 P 一 1 AP=A k=0 时， )解析：25.已知 A= ，求 A 的特征值和特征向量，a 为何值时，A 相似于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.已知 =1，k，1 T 是 A 一 1 的特征向量，其中 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设 A 一 1 =， 是 A 一 1 的对应于 的特征值，两边左乘 A，得=A，A 一 1 可逆， )解析：27.设矩阵 A= 有三个线性无关特征向量，=2 是 A 的二重特征值，试求可逆阵 P，使得 P 一 1 AP= （分数：2.00）_正确答案：
25、(正确答案：A 有三个线性无关的特征向量，=2 是二重特征值，故特征矩阵 2E 一 A 的秩应为1 )解析：28.已知 =1，1，一 1 T 是矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 A 的特征向量 所对应的特征值为 ，则有 A=，即 )解析：29.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A * = 0 ，左乘 A，得 AA * =A=一 = 0 A即 由式，式解得 0 =1，代入，式得 b=一 3，a=c 由A=一 1，a=c，有 )解析：30.设 A 是三阶实对称阵， 1 =一 1， 2 = 3 =1 是 A 的特征值，对应于 1 的特征向量为 1 =0，1，1 T ，求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 2 = 3 =1 有两个线性无关特征向量 2 ， 3 ，它们都与 1 正交，故可取 2 =1，0，0 T ， 3 =0，1，一 1 T ，且取正交矩阵 )解析：31.设 A 是 n 阶正定矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，证明：A+E 的行列式大于 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 为 n 阶正定矩阵，则 A 的特征值 1 0， 2 0， n 0因而 A+E的特征值分别为 1 +11， 2 +11， n +11，则A+E=( 2 +1)( 2 +1)( n +1)1)解析：
