1、考研数学二（线性代数）-试卷 17 及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 r(A)=r 1 ，且方程组 AX= 有解，r(B)=r 2 ，且 BY= 无解，设 A= 1 ， 2 ， n ，B= 1 ， 2 ， n ，且 r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n ，)=r，则 ( )（分数：2.00）A.r=r 1 +r 2B.rr 1 +r 2C.r=r 1 +r 2 +1D.rr 1 +r 2 +13.已知向量组 1 ， 2 ， 3 ，
2、 4 线性无关，则向量组 2 1 + 3 + 4 ， 2 - 4 ， 3 + 4 ， 2 + 3 ，2 1 + 2 + 3 的秩是 ( )（分数：2.00）A.B.2C.3D.44.设 n 阶(n3)矩阵，A= ，若矩阵 A 的秩为 n 一 1，则 a 必为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 xOy 平面上 n 个不同的点为 M i (x i ，y i )，i=1，2，n(n3)，记 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.46.已知 （分数：2.00）A.A T X=0 只有零解B.存在 B0，使 AB=0C.|A T A|=0D.|AA T |=07.设 A 是 mn 矩阵
3、，B 是 nm 矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.当 mn 时，必有|AB|0B.当 mn 时，必有|AB|=0C.当 nm 时，必有|AB|0D.当 nm 时，必有|AB|=08.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r 1 ，则 ( )（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.r=r 1D.r 和 r 1 的关系依 C 而定9.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件为 ( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2
4、， m 线性表出B.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量 1 ， 2 ， m 线性表出C.向量组 1 ， 2 ， m 与向量组 1 ， 2 ， m 等价D.矩阵 A= 1 ， 2 ， m 与矩阵 B= 1 ， 2 ， m 等价10.要使 都是线性方程组 AX=0 的解，只要系数矩阵 A 为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.11.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.=一 2 且|B|=0B.=-2 且|B|0C.=1 且|B|=0D.=1 且|B|0二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12.设 A=(a ij ) nn 是 n 阶矩阵，A ij 为 a ij 的代数余子式(i，
5、j=1，2，n)|A|=0，A 11 0，则A*X=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_13.方程组 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =0 的基础解系是 1（分数：2.00）填空项 1:_14.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_15.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_16.设线性方程组 有解，则方程组右端 （分数：2.00）填空项 1:_17.已知非齐次线性方程组 A 34 X=b 有通解 k 1 1，2，0，一 2 T +k 2 4，一 1，一 1，一 1 T +1，0，一 1，1 T ，则满足方程组且满足条件 x 1 =x 2 ，x 3 =x 4 的
6、解是 1（分数：2.00）填空项 1:_18.已知 4 阶方阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4 维列向量，其中 1 ， 1 线性无关，若 = 1 +2 2 一 3 = 1 + 2 + 3 一 4 = 1 +3 2 + 3 +2 4 ，则 Ax= 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.设 A mn ，r(A)=m，B n(n-m) ，r(B)=n 一 m，且满足关系 AB=O证明：若
7、n 是齐次线性方程组 AX=0的解，则必存在唯一的 ，使得 B=（分数：2.00）_22.设三元非齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 1，已知 1 ， 2 ， 3 是它的三个解向量，且 1 + 2 =1，2，3 T ， 2 + 3 =2，一 1，1 T ， 3 + 1 =0，2，0 T ，求该非齐次方程的通解（分数：2.00）_23.设三元线性方程组有通解 （分数：2.00）_24.已知方程组 （分数：2.00）_25.已知方程组 与方程组 （分数：2.00）_26.假设 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值，证明：(1) 为 A -1 的特征值；(2) （分数：2.00）_27.设有 4
8、阶方阵 A 满足条件|3E+A|=0，AA T =2E，|A|0，其中 E 是 4 阶单位阵求方阵 A 的伴随矩阵A*的一个特征值（分数：2.00）_28.求矩阵 （分数：2.00）_29.设 A 为 n 阶矩阵， 1 和 2 是 A 的两个不同的特征值.x 1 ，x 2 是分别属于 1 和 2 的特征向量，试证明：x 1 +x 2 不是 A 的特征向量（分数：2.00）_30.已知矩阵 （分数：2.00）_31.已知 B 是 n 阶矩阵，满足 B 2 =E(此时矩阵 B 称为对合矩阵)求 B 的特征值的取值范围（分数：2.00）_32.设 A，B 是 n 阶方阵，证明：AB，BA 有相同的特
9、征值（分数：2.00）_33.已知 n 阶矩阵 A 的每行元素之和为 a，求 A 的一个特征值，当 k 是自然数时，求 A k 的每行元素之和（分数：2.00）_34.A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三个不同的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量证明：向量组 A( 1 + 2 )，A( 2 + 3 )，A( 3 + 1 )线性无关的充要条件是 A 是可逆矩阵（分数：2.00）_35.设 A 是三阶实矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A 的三个不同的特征值， 1 ， 2 ， 3 是三个对应的特征向量，证明：当 2 3 0 时，向量组 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 +
10、 2 + 3 )线性无关（分数：2.00）_36.设 A 是 n 阶实矩阵，有 A=，A T =，其中 ， 是实数，且 ， 是 n 维非零向量，证明：， 正交（分数：2.00）_37.设矩阵 （分数：2.00）_38.已知 （分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 17 答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 r(A)=r 1 ，且方程组 AX= 有解，r(B)=r 2 ，且 BY= 无解，设 A= 1 ， 2 ， n ，B= 1 ，
11、2 ， n ，且 r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n ，)=r，则 ( )（分数：2.00）A.r=r 1 +r 2B.rr 1 +r 2C.r=r 1 +r 2 +1D.rr 1 +r 2 +1 解析：解析：由题设 r( 1 ， 2 ， n ，)=r 1 ，r( 1 ， 2 ， n ，)=r 2 +1，故 r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n ，)r 1 +r 2 +13.已知向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关，则向量组 2 1 + 3 + 4 ， 2 - 4 ， 3 + 4 ， 2 + 3 ，2 1 + 2 + 3 的秩是 ( )（分数：2.00）A.B
12、.2C.3 D.4解析：解析：r(2 1 + 3 + 4 ， 2 - 4 ， 3 + 4 ， 2 + 3 ，2 1 + 2 + 3 ) r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )=3 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 = 1 ， 2 ， 3 ， 4 因 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )=4， 故 4.设 n 阶(n3)矩阵，A= ，若矩阵 A 的秩为 n 一 1，则 a 必为 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因5.设 xOy 平面上 n 个不同的点为 M i (x i ，y i )，i=1，2，n(n3)，记 （分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解
13、析： 6.已知 （分数：2.00）A.A T X=0 只有零解B.存在 B0，使 AB=0C.|A T A|=0D.|AA T |=0 解析：解析： 7.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.当 mn 时，必有|AB|0B.当 mn 时，必有|AB|=0 C.当 nm 时，必有|AB|0D.当 nm 时，必有|AB|=0解析：解析：A mn B mn 是 m 阶方阵，当 mn 时，r(AB)r(A)nm，故|AB|=0 (B)成立显然(A)错误 (C)取 A=1，2，B= ，则 AB=O，|AB|=0，(C)错 (D)取 A=0，1，B= 8.设 A 是
14、mn 矩阵，C 是 n 阶可逆阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为 r 1 ，则 ( )（分数：2.00）A.rr 1B.rr 1C.r=r 1 D.r 和 r 1 的关系依 C 而定解析：解析：r(A)=r(B)，因 C 是可逆矩阵，是若干个初等矩阵的积，A 右乘 C，相当于对 A 作若干次初等列变换，不改变矩阵的秩9.设 n 维列向量组 1 ， 2 ， m (mn)线性无关，则 n 维列向量组 1 ， 2 ， m 线性无关的充分必要条件为 ( )（分数：2.00）A.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量组 1 ， 2 ， m 线性表出B.向量组 1 ， 2 ， m 可由向量 1
15、 ， 2 ， m 线性表出C.向量组 1 ， 2 ， m 与向量组 1 ， 2 ， m 等价D.矩阵 A= 1 ， 2 ， m 与矩阵 B= 1 ， 2 ， m 等价 解析：解析：A= 1 ， 2 ， m ，B= 1 ， 2 ， m 等价;r( 1 ， m )=r( 1 ， m ); 1 ， 2 ， m 线性无关(已知 1 ， 2 ， m 线性无关时)10.要使 都是线性方程组 AX=0 的解，只要系数矩阵 A 为 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：因一 2，1，1 1 =0，-2，1，1 2 =011.齐次线性方程组 （分数：2.00）A.=一 2 且|B|=0B.=-
16、2 且|B|0C.=1 且|B|=0 D.=1 且|B|0解析：解析：BO，AB=O，故 AX=0 有非零解，|A|=0，二、填空题(总题数：8，分数：16.00)12.设 A=(a ij ) nn 是 n 阶矩阵，A ij 为 a ij 的代数余子式(i，j=1，2，n)|A|=0，A 11 0，则A*X=0 的通解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：|A|=0，A 11 0，r(A)=n1，r(A*)=1，A*X=0 有 n 一 1 个线性无关解向量组成基础解系，因 A*A=|A|E=O，故 A 的列向量是 A*X=0 的解向量，又 A 11 0，
17、故 A 的第 2，3，n 列是 A*X=0 的 n1 个线性无关解向量，设为： 2 ， 3 ， n ，故通解为 k 2 2 +k 3 3 +k n n ，或者由已知方程 A*X=0，即是 A 11 x 1 +A 21 x 2 +A n1 x n =0，故方程的通解是： 13.方程组 x 1 +x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =0 的基础解系是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： 1 =1，-1，0，0，0 T ， 2 =1，0，一1，0，0 T ， 3 =1，0，0，一 1，0 T ， 4 =1，0，0，0，-1 T）解析：14.方程组 （分数：2.00）填空项
18、1:_ （正确答案：正确答案：k1，1，1，1 T ，其中 k 是任意常数）解析：15.方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：16.设线性方程组 有解，则方程组右端 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 使方程组有解，即当 其中 k 1 ，k 2 ，k 3 是任意常数，方程组有解，即k 1 ，k 2 ，k 3 T 或说 17.已知非齐次线性方程组 A 34 X=b 有通解 k 1 1，2，0，一 2 T +k 2 4，一 1，一 1，一 1 T +1，0，一 1，1 T ，则满足方程组且满足条件 x 1 =x 2 ，
19、x 3 =x 4 的解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2，2，一 1，一 1 T）解析：解析：方程组的通解为 由题设 x 1 =x 2 ，x 3 =x 4 得 18.已知 4 阶方阵 A= 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 均为 4 维列向量，其中 1 ， 1 线性无关，若 = 1 +2 2 一 3 = 1 + 2 + 3 一 4 = 1 +3 2 + 3 +2 4 ，则 Ax= 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由 = 1 一 2 2 一 3 = 1 + 2 + 3 + 4 = 1 +3
20、 2 + 3 +2 4 ， 可知 均为 Ax= 的解，故 1 一 2 = 均为 Ax=0 的解 由于 1 ， 2 线性无关，可知r(A)2又由于 Ax=0 有两个线性无关的解 1 一 2 ， 2 一 3 ，可知 Ax=0 的基础解系中至少含有两个向量，也即 4 一 r(A)2，即 r(A)2 综上，r(A)=2，Ax=0 的基础解系中含有两个线性无关的向量，故 1 一 2 ， 2 一 3 即为 Ax=0 的基础解系故 Ax= 的通解为 19.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：k一 1，1，0 T ，忌为任意常数）解析：解析：由于 A 为 43 矩阵，AB=O，且 B0
21、，我们得知 r(A)3，对 A 作变换 三、解答题(总题数：19，分数：38.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.设 A mn ，r(A)=m，B n(n-m) ，r(B)=n 一 m，且满足关系 AB=O证明：若 n 是齐次线性方程组 AX=0的解，则必存在唯一的 ，使得 B=（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 B 按列分块，设 B= 1 ， 2 ， n-m ，因已知 AB=O，故知 B 的每一列均是 AX=0 的解，由 r(A)=m，r(B)=n 一 m 知， 1 ， 2 ， n-m 是 AX=0 的基础解系 若 是 AX=0
22、 的解向量，则 可由基础解系 1 ， 2 ， n-m 线性表出，且表出法唯一，即 =x 1 1 +x 2 2 +x n-m n-m = 1 ， 2 ， n-m )解析：22.设三元非齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为 1，已知 1 ， 2 ， 3 是它的三个解向量，且 1 + 2 =1，2，3 T ， 2 + 3 =2，一 1，1 T ， 3 + 1 =0，2，0 T ，求该非齐次方程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r(A)=1，AX=b 的通解应为 k 1 1 +k 2 2 +，其中对应齐次方程 AX=0 的解为 1 =( 1 + 2 )一( 2 + 3 )= 1 一 3
23、=-1，3，2 T ， 2 =( 2 + 3 )一( 3 + 1 )= 2 一 1 =2，一 3，1 T 因 1 ， 2 线性无关，故是 AX=0 的基础解系 取 AX=b的一个特解为 )解析：23.设三元线性方程组有通解 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设非齐次线性方程为 ax 1 +bx 2 +cx 3 =d， 由 1 ， 2 是对应齐次解，代入对应齐次线性方程组 )解析：24.已知方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将方程组()的通解 k 1 一 1，1，1，0 T +k 2 2，-1，0，1 T +一 2，一3，0，0 T =一 2-k 1 +2k 2 ，-3+
24、k 1 一 k 2 ，k 1 ，k 2 T 代入方程组(I)，得 )解析：25.已知方程组 与方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对方程组(I)，因增广矩阵为 知其通解为 k一 1，2，一 1，1 T +1，2，一 1，0 T =1 一 k，2+2k，一 1 一 k，k T 将通解代入方程组()， 当 a=一 1，b=一 2，c=4时，方程组()的增广矩阵为 )解析：26.假设 为 n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值，证明：(1) 为 A -1 的特征值；(2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 A 对应于特征值 的特征向量为 x，则 )解析：27.设有 4 阶方
25、阵 A 满足条件|3E+A|=0，AA T =2E，|A|0，其中 E 是 4 阶单位阵求方阵 A 的伴随矩阵A*的一个特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由|3E+A=0,=一 3 为 A 的特征值由 AA T =2E，|A|0，|A|=一 4，则 A*的一个特征值为 )解析：28.求矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：|A 一 E|=(1 一 )( 2 +4+5)=0，得 A 的实特征值 =1解(AE)x=0 得其对应的特征向量 )解析：29.设 A 为 n 阶矩阵， 1 和 2 是 A 的两个不同的特征值.x 1 ，x 2 是分别属于 1 和 2 的特征向量，试证
26、明：x 1 +x 2 不是 A 的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：反证法 假设 x 1 +x 2 是 A 的特征向量，则存在数 ，使得 A(x 1 +x 2 )=(x 1 +x 2 )，则 ( 1 )x 1 +( 一 2 )x 2 =0 因为 1 2 ，所以 x 1 ，x 2 线性无关，则 )解析：30.已知矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)B 的特征值为 2，y，一 1由 A 与 B 相似，则 A 的特征值为 2，y，一 1故 (2)分别求出 A 的对应于特征值 1 =2， 2 =1， 3 =一 1 的线性无关的特征向量为 令可逆矩阵 P=p 1 ，p
27、2 ，p 3 = )解析：31.已知 B 是 n 阶矩阵，满足 B 2 =E(此时矩阵 B 称为对合矩阵)求 B 的特征值的取值范围（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 B 有特征值 ，对应的特征向量为 ，即 B=，左乘 B，得 B 2 =E=B= 2 ， ( 2 一 1)=0，0， 故 =1，或 =一 1，B 的特征值的取值范围是1，一 1)解析：32.设 A，B 是 n 阶方阵，证明：AB，BA 有相同的特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 AB 有任一特征值 ，其对应的特征向量为 ，则 AB= 式两边左乘 B，得 BAB=BA(B)=(B) 若 B0，式说明，BA
28、也有特征值 (其对应的特征向量为B)，若 B=0，由式知，=0，0，得 AB 有特征值 =0，从而|AB|=0，且|BA|=|B|A|=|A|B|AB|=0，从而 BA 也有 =0 的特征值，故 AB 和 BA 有相同的特征值)解析：33.已知 n 阶矩阵 A 的每行元素之和为 a，求 A 的一个特征值，当 k 是自然数时，求 A k 的每行元素之和（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的每行元素之和为 a，故有 即 a 是 A 的一个特征值 又 A k 的特征值为a k ，且对应的特征向量相同，即 )解析：34.A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三个不同的特征值， 1 ， 2
29、， 3 是相应的特征向量证明：向量组 A( 1 + 2 )，A( 2 + 3 )，A( 3 + 1 )线性无关的充要条件是 A 是可逆矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A( 1 + 2 )，A( 2 + 3 )，A( 3 + 1 )线性无关, 1 1 + 2 2 ， 2 2 + 3 3 ， 3 3 + 1 1 线性无关 1 1 + 2 2 ， 2 2 + 3 3 ， 3 3 + 1 1 = 1 ， 2 ， 3 秩为 3，因为 1 ， 2 ， 3 线性无关， )解析：35.设 A 是三阶实矩阵， 1 ， 2 ， 3 是 A 的三个不同的特征值， 1 ， 2 ， 3 是三个对应的特征向
30、量，证明：当 2 3 0 时，向量组 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )= 1 ， 1 1 + 2 2 ， 1 2 1 + 2 2 2 + 3 2 3 = 1 ， 2 ， 3 因 1 2 3 ，故 1 ， 2 ， 3 线性无关，由上式知 1 ，A( 1 + 2 )，A 2 ( 1 + 2 + 3 )线性无关 )解析：36.设 A 是 n 阶实矩阵，有 A=，A T =，其中 ， 是实数，且 ， 是 n 维非零向量，证明：， 正交（分数：2.00）_正确
31、答案：(正确答案：A=，两边转置得 T A T = T ，两边右乘 ，得 T A T = T ， T = T ， ( 一 ) T =0， 故 T =0， 相互正交.)解析：37.设矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =一 1 是二重特征值，为使 A 相似于对角阵，要求 r(E 一 A)=r(一 EA)=1， 故 k=0 时，存在可逆阵 P，使得 P -1 AP=A k=0 时， 故 k=0 时，存在可逆阵 P= 1 ， 2 ， 3 = 使得 )解析：38.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =( 一 a)( 一(1 一 a)( 一(1+a)=0， 1 =1 一 a， 2 =a， 3 =1+a 且 a0 时， 1 2 3 ，AA； )解析：
