1、考研数学二（线性代数）-试卷 16 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.A 是 NN 矩阵，则 A 相似于对角阵的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.A 有 N 个不同的特征值B.A 有 N 个不同的特征向量C.A 的每个 r i 重特征值 i ，r( i E 一 A)=n 一 r iD.A 是实对称矩阵3.设 A= （分数：2.00）A.A，B，CB.B，DC.A，C，DD.A，C4.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆且 AB，则下列命
2、题中： ABBA； A 2 B 2 ； A T B T ； A 一 1 B 一 1 正确命题的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.45.设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵( A 2 ) 一 1 有一特征值等于 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.已知 P 一 1 AP= （分数：2.00）A. 2 ，一 2 ， 3 B. 1 ， 2 + 3 ， 2 一 2 3 C. 2 ， 3 ， 2 D. 2 + 2 ， 1 一 2 ， 3 7.设 A，B 均是 n 阶实对称矩阵，则 A，B 合同的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.A，B 有相同的特征值B
3、.A，B 有相同的秩C.A，B 有相同的正、负惯性指数D.A，B 均是可逆阵8.设 A 是 n 阶实矩阵，将 A 的第 i 列与 j 列对换，然后再将第 i 行和第 j 行对换，得到 B，则 A，B 有 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.9.下列矩阵中与 A= 合同的矩阵是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.10.实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )的秩为 r，符号差为 s，且 f 和一 f 合同，则必有 ( )（分数：2.00）A.r 是偶数，s=1B.r 是奇数，s=1C.r 是偶数，s=0D.r 是奇数，s=011.设 A=E 一 2XX T ，其中 X=x 1 ，
4、x 2 ，x n T ，且 X T X=1，则 A 不是 ( )（分数：2.00）A.对称阵B.可逆阵C.正交阵D.正定阵二、填空题(总题数：7，分数：14.00)12.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的 r 重特征根，A 的对应于 的线性无关的特征向量是 k 个，则 k= 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.与 1 =1，2，3，一 1 T ， 2 =0，1，1，2 T ， 3 =2，1，3，0 T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_14.已知 =a，1，1 T 是矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.已知 =1，3，2 T ，=1，一 1，一 2 T
5、 ，A=E 一 T ，则 A 的最大特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_16.已知 A （分数：2.00）填空项 1:_17.设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三个线性无关的三维列向量，满足 A i = i ，i=1，2，3，则 A= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2tx 1 x 2 +tx 2 x 3 是正定的，则 t 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2
6、.00）_20.设 A 是三阶矩阵， 1 =1， 2 =2， 3 =3 是 A 的特征值，对应的特征向量分别是 1 =2，2，1 T ， 2 =一 1，2，2 T ， 3 =2，一 1，2 T 又 =1，2，3 T ，计算：(1)A n 1 ；(2)A n （分数：2.00）_21.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=4x 2 2 一 3x 3 2 +4x 1 x 2 一 4x 1 x 3 +8x 2 x 3 (1)写出二次型 f 的矩阵表达式： (2)用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵（分数：2.00）_22.已知 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x
7、1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 一 2x 1 x 2 +6x 1 x 3 一 6x 2 x 3 的秩为 2试确定参数 c 及二次型对应矩阵的特征值，并问 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1 表示何种曲面（分数：2.00）_23.已知 A 是 mn 矩阵，mn证明：AA T 是对称阵，并且 AA T 正定的充要条件是 r(A)=m（分数：2.00）_24.设矩阵 A= （分数：2.00）_25.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n（分数：2.00）_26.设 A 为
8、 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵已知矩阵 B=E+A T A，试证：当 0 时，矩阵 B 为正定矩阵（分数：2.00）_27.证明：实对称矩阵 A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵 B，使得 AB+B T A 正定（分数：2.00）_28.设 A 与 B 均为正交矩阵，并且A+B=0，证明：A+B 不可逆（分数：2.00）_29.已知 f(x，y)=x 2 +4xy+y 2 ，求正交变换 P， ，使得 f(x，y)=2u 2 + （分数：2.00）_30.设 A=(a ij ) nn 为实对称矩阵，求二次型函数 f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：2.00）_31.已知三元二次型
9、 X T AX 经正交变换化为 2y 1 2 一 y 2 2 一 y 3 2 ，又知矩阵 B 满足矩阵方程 ( （分数：2.00）_32.设 A 为 n 阶正定矩阵，证明：存在唯一正定矩阵 H，使得 A=H 2 （分数：2.00）_33.设方阵 A 1 与 B 1 合同，A 2 与 B 2 合同，证明： （分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 16 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.A 是 NN 矩阵，则 A 相似于对角阵的充分必要条
10、件是 ( )（分数：2.00）A.A 有 N 个不同的特征值B.A 有 N 个不同的特征向量C.A 的每个 r i 重特征值 i ，r( i E 一 A)=n 一 r i D.A 是实对称矩阵解析：解析：A 相似于对角阵有 n 个线性无关特征向量对每个 r i 重特征值 i ，r( i EA)=n 一 r i ，即有 r i 个线性无关特征向量(共 n 个线性无关特征向量) (A)，(D)是充分条件，但非必要，(B)是必要条件，但不充分，n 个不同的特征向量，并不一定线性无关3.设 A= （分数：2.00）A.A，B，CB.B，DC.A，C，D D.A，C解析：解析：矩阵 A 的特征值是 1，
11、3，5，因为矩阵 A 有 3 个不同的特征值，所以 A 可相似对角化 矩阵 B 的特征值是 2，2，5，由于秩 所以，=2 只有一个线性无关的特征向量，因而矩阵 B 不能相似对角化 矩阵 C 是实对称矩阵，故必有 C 可相似对角化 矩阵 D 的特征值也是 2，2，5，由于秩4.设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆且 AB，则下列命题中： ABBA； A 2 B 2 ； A T B T ； A 一 1 B 一 1 正确命题的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：由 AB 可知：存在可逆矩阵 P，使得 P 一 1 AP=B故 P 一 1 A 2 P=B 2 ，P
12、T A T (P T ) 一1 =B T ，P 一 1 A 一 1 P=B 一 1 ， 所以 A 2 B 2 ，A T B T ，A 一 1 B 一 1 又由于 A 可逆，可知 A 一 1 (AB)A=BA，故 ABBA故正确的命题有 4 个，选(D)5.设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵( A 2 ) 一 1 有一特征值等于 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：6.已知 P 一 1 AP= （分数：2.00）A. 2 ，一 2 ， 3 B. 1 ， 2 + 3 ， 2 一 2 3 C. 2 ， 3 ， 2 D. 2 + 2 ， 1 一 2 ， 3 解析：解析
13、：若 P 一 1 AP= ，即 A 1 ， 2 ， 3 = 1 ， 2 ， 3 7.设 A，B 均是 n 阶实对称矩阵，则 A，B 合同的充分必要条件是 ( )（分数：2.00）A.A，B 有相同的特征值B.A，B 有相同的秩C.A，B 有相同的正、负惯性指数 D.A，B 均是可逆阵解析：解析：(A)是充分条件，A，B 实对称，且 i 相同，则 A B，但反之不成立(B)是必要条件但不充分，A 8.设 A 是 n 阶实矩阵，将 A 的第 i 列与 j 列对换，然后再将第 i 行和第 j 行对换，得到 B，则 A，B 有 ( )（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由题意，E ij A
14、E ij =B其中 因 E ij 是可逆阵，E ij AE ij =B，故 AB； E ij 可逆，且 E ij =E ij ，则 E ij AE ij =E ij 一 1 AE ij =B，故 AB； Ef 是对称阵，E ij =E ij T ，则 E ij AE ij f=E ij T AE ij =B，故 A B 故 AB，A 9.下列矩阵中与 A= 合同的矩阵是 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因 f=X 一 1 AX=x 1 2 +2x 1 x 2 +x 3 2 =(x 1 +x 2 ) 2 一 x 2 2 +x 3 2 =y 1 2 +y 2 2 一 y 3
15、 2 ，故选(B)10.实二次型 f(x 1 ，x 2 ，x n )的秩为 r，符号差为 s，且 f 和一 f 合同，则必有 ( )（分数：2.00）A.r 是偶数，s=1B.r 是奇数，s=1C.r 是偶数，s=0 D.r 是奇数，s=0解析：解析：设 f 的正惯性指数为 p，负惯性指数为 q，一 f 的正惯性指数为 p 1 ，负惯性指数为 q 1 ，则有 p=q 1 ，q=p 1 ，又 f 11.设 A=E 一 2XX T ，其中 X=x 1 ，x 2 ，x n T ，且 X T X=1，则 A 不是 ( )（分数：2.00）A.对称阵B.可逆阵C.正交阵D.正定阵 解析：解析：A T =
16、(E 一 2XX T ) T =E 一 2XX T =A，A 是对称阵； A 2 =(E 一 2XX T ) 2 =E 一 4XX T +4XX T XX T =E，A 是可逆阵； A 可逆，A 对称，且 A 2 =AA T =E，A 是正交阵； AX=(E 一 2XX T )X=一X，X0，=一 1 是 A 的特征值，故 A 不是正定阵二、填空题(总题数：7，分数：14.00)12.设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的 r 重特征根，A 的对应于 的线性无关的特征向量是 k 个，则 k= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1kr）解析：13.与 1 =1，2，3，一
17、 1 T ， 2 =0，1，1，2 T ， 3 =2，1，3，0 T 都正交的单位向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：设 =x 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 T ，那么 对齐次方程组 Ax=0 的系数矩阵进行初等行变换，有 故 n 一 r(A)=4 一 3=1，则 Ax=0 有一个基础解向量则 Ax=0 的基础解系为一 1，一1，1，0 T ，将其单位化，得 14.已知 =a，1，1 T 是矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：是矩阵 A 一 1 属于特征值 0 的特征向量，由定义 A 一 1
18、= 0 ，于是 = 0 A，即 15.已知 =1，3，2 T ，=1，一 1，一 2 T ，A=E 一 T ，则 A 的最大特征值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：7）解析：解析：由于矩阵 一 1 的秩为 1，故 一 1 的特征值为 0，0，tr( 一 1 )，其中 tr( 一 1 )= 一 1 =一 6故 A=E 一 一 1 的特征值为 1，1，7，故 A 的最大特征值为 716.已知 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：17.设 A 是三阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是三个线性无关的三维列向量，满足 A i = i ，i=
19、1，2，3，则 A= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：E）解析：解析：因 A 1 = 1 ，A 2 = 2 ，A 3 = 3 ，合并成矩阵形式有 A 1 ，A 2 ，A 3 =A 1 ， 2 ， 3 = 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 3 线性无关， 1 ， 2 ， 3 是可逆阵，故 A= 1 ， 2 ， 3 1 ， 2 ， 3 一 1 =E18.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=2x 1 2 +x 2 2 +x 3 2 +2tx 1 x 2 +tx 2 x 3 是正定的，则 t 的取值范围是 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
20、确答案：t*）解析：解析：三、解答题(总题数：15，分数：30.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：20.设 A 是三阶矩阵， 1 =1， 2 =2， 3 =3 是 A 的特征值，对应的特征向量分别是 1 =2，2，1 T ， 2 =一 1，2，2 T ， 3 =2，一 1，2 T 又 =1，2，3 T ，计算：(1)A n 1 ；(2)A n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因 A 1 = 1 1 ，故 A n 1 = 1 n 1 ，故 A n 1 =1 1 = 。 (2)利用 A 1 = 1 1 有 A n 1 = 1 n 1
21、 ，将 表成 1 ， 2 ， 3 的线性组合设 =x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 ， 即 )解析：21.已知二次型 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=4x 2 2 一 3x 3 2 +4x 1 x 2 一 4x 1 x 3 +8x 2 x 3 (1)写出二次型 f 的矩阵表达式： (2)用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)二次型的矩阵 A= ，则二次型 f 的矩阵表达式 f=x T Ax (2)A 的特征多项式A 一 E=一(6+)(1 一 )(6 一 )，则 A 的特征值 1 =一 6， 2 =1， 3 =6 )解
22、析：22.已知 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=5x 1 2 +5x 2 2 +cx 3 2 一 2x 1 x 2 +6x 1 x 3 一 6x 2 x 3 的秩为 2试确定参数 c 及二次型对应矩阵的特征值，并问 f(x 1 ，x 2 ，x 3 )=1 表示何种曲面（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.已知 A 是 mn 矩阵，mn证明：AA T 是对称阵，并且 AA T 正定的充要条件是 r(A)=m（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(AA T ) T =(A T ) T A T =AA T ，所以 AA T 是对称阵 必要性若 AA T 正定，r(AA
23、T )=mr(A)，又 r(Amn 2 )m，故 r(A)=m 充分性若 r(A)=m，则齐次方程组 A T X=0 只有零解，故对任意 xO，均有 A T X0，故 X T AA T X=(A T X) T (A T X)0， 即 AA T 正定)解析：24.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵，B T 为 B 的转置矩阵，试证：B T AB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 B T AB 为对称矩阵 B T AB 为正定矩阵 )解析：2
24、6.设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵已知矩阵 B=E+A T A，试证：当 0 时，矩阵 B 为正定矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用定义证明显然 B 为对称矩阵对 )解析：27.证明：实对称矩阵 A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵 B，使得 AB+B T A 正定（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性 取 B=A 一 1 ，则 AB+B T A=E+(A 一 1 ) T A=2E，所以 AB+B T A 是正定矩阵 充分性 用反证法若 A 不是可逆矩阵，则 r(A)N，于是存在实向量 X0 使得 Ax。=0因为 A 是实对称矩阵，B 是实矩阵，于是有
25、x 0 (AB+B T A)x 0 =(Ax 0 ) T Bx 0 +x 0 T B T (Ax 0 )=0， 这与AB+B T A 是正定矩阵矛盾)解析：28.设 A 与 B 均为正交矩阵，并且A+B=0，证明：A+B 不可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AA T =E 有A 2 =1，因此，正交矩阵的行列式为 1 或一 1 由A+B=0 有AB=一 1，也有A T B T =一 1 再考虑到A T (A+B)B T =A T +B T =A+B，所以一A+B=A+B，A+B=0 故 A+B 不可逆)解析：29.已知 f(x，y)=x 2 +4xy+y 2 ，求正交变换 P，
26、 ，使得 f(x，y)=2u 2 + （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： E 一 A=( 一 3)(+1)，E 一 B=( 一 3)(+1) 实对称矩阵 A 与 B 有相同的特征值，因此 A 与 B 合同 )解析：30.设 A=(a ij ) nn 为实对称矩阵，求二次型函数 f(x 1 ，x 2 ，x n )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应用拉格朗日乘数法 方程组，有非零解的充分必要条件是 为 A 的特征值设 为方程组，的非零解， 将它代入式，各方程分别乘上 )解析：31.已知三元二次型 X T AX 经正交变换化为 2y 1 2 一 y 2 2 一 y 3 2 ，又
27、知矩阵 B 满足矩阵方程 ( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件知 A 的特征值为 2，一 1，一 1，则A=2，因为 A * 的特征值为 ，所以 A * 的特征值为 1，一 2，一 2，由已知， 是 A * 关于 =1 的特征向量，也就是 是 A关于 =2 的特征向量 由 得 2ABA 一 1 =2AB+4E，即 B=2(E 一 A) 一 1 ，则 B 的特征值为一2，1，1，且 B=一 2设 B 关于 =1 的特征向量为 =x 1 ，x 2 ，x 3 T ，又 B 是实对称阵，与 正交，故 x 1 +x 2 一 x 3 =0，解出 1 =1，一 1，0 T ， 2 =1，0，
28、1 T ，令 )解析：32.设 A 为 n 阶正定矩阵，证明：存在唯一正定矩阵 H，使得 A=H 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 A 为 n 阶正定矩阵，故存在正交矩阵 U，使得 并且 H 仍为正定矩阵 如果存在另一个正定矩阵 H 1 ，使得 A=H 1 2 ，对于 H 1 ，存在正交矩阵 U 1 ，使得 这里 0 1 2 2 2 n 2 为 A 的全部特征值故 i 2 = i (i=1，2，n)， )解析：33.设方阵 A 1 与 B 1 合同，A 2 与 B 2 合同，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A 1 与 B 1 合同，所以存在可逆矩阵 C 1 ，使 B 1 =C 1 T A 1 C 1 因为 A 2 与 B 2 合同，所以存在可逆矩阵 C 2 ，使 B 2 =C 2 T A 2 C 2 )解析：
