1、考研数学二（线性代数）-试卷 14 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是正交矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.A * (A * ) T =AEB.(A * ) T A * =A * EC.A * (A * ) T =ED.(A * ) T A * =一 E3.设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00）A.(A+A 一 1 ) 2 =A 2 +2A4 一 1 +(A 一 1 ) 2B.(A+A T
2、) 2 =A 2 +2AA T +(A T ) 2C.(A+A * ) 2 =A 2 +2AA * +(A * ) 2D.(A+E) 2 =A 2 +2AE+E 24.设 A 为 3 阶非零矩阵，且满足 a ij =A ij (i，j=1，2，3)，其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，则下列结论： A 是可逆矩阵； A 是对称矩阵； A 是不可逆矩阵； A 是正交矩阵 其中正确的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.45.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中： 若 A 可逆，则 B 可逆； 若 A+B 可逆，则 B 可逆； 若 B 可逆，则 A+
3、B 可逆； AE 恒可逆正确的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.46.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，且 mn，则必有 ( )（分数：2.00）A.AB=0B.BA=0C.AB=BAD.BABA=BABA7.已知 Q= （分数：2.00）A.t=6 时 P 的秩必为 1B.t=6 时 P 的秩必为 2C.t6 时 P 的秩必为 1D.t6 时 P 的秩必为 28.设 n 阶矩阵 A，B 等价，则下列说法中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00）A.A0，则B0B.如果 A 可逆，则存在可逆矩阵 P，使得 PB=EC.如果 AE，则B0D.存在可逆矩阵 P 与
4、Q，使得 PAQ=B9.设 A，B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB=O，则 A 和 B 的秩 ( )（分数：2.00）A.必有一个等于零B.都小于 72C.一个小于 n，一个等于 nD.都等于 n10.设 A= （分数：2.00）A.1B.3C.1 或 3D.无法确定二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.设 =1，2，3，=1， （分数：2.00）填空项 1:_12.设 B= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_14.A，B 均为 n 阶矩阵，A=一 2，B=3，则BA 一 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 A= （分数：
5、2.00）填空项 1:_16.已知 A 2 一 2A+E=O，则(A+E) 一 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵 （分数：2.00）_19.设(2EC 一 1 B)A T =C 一 1 ，其中 E 是 4 阶单位矩阵，A T 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵， （分数：2.00）_20.设 A= （分数：2.00）_21.已知 A= （分数：2.00）_22.设有两个非零矩阵 A=a 1 ，a 2
6、 ，a n T ，B=b 1 ，b 2 ，b n T (1)计算 AB T 与 A T B； (2)求矩阵 AB T 的秩 r(AB T )； (3)设 C=E 一 AB T ，其中 E 为 n 阶单位阵证明：C T C=E 一 BA T AB T +BB T 的充要条件是 A T A=1（分数：2.00）_23.证明：若 A 为 mn 矩阵，B 为 np 矩阵，则有 r(AB)r(A)+r(B)一 n特别地，当 AB=O 时，有 r(A)+r(B)n（分数：2.00）_24.证明：r(A+B)r(A)+r(B)（分数：2.00）_25.设 A，B 是 n 阶矩阵，证明：AB 和 BA 的主对
7、角元的和相等(方阵主对角元的和称为方阵的迹，记成trA，即 trA= （分数：2.00）_26.设 A 是 n 阶实矩阵，证明：tr(AA T )=0 的充分必要条件是 A=O（分数：2.00）_27.证明：方阵 A 是正交矩阵，即 AA T =E 的充分必要条件是： (1)A 的列向量组组成标准正交向量组，即 或(2)A 的行向量组组成标准正交向量组，即 （分数：2.00）_28.证明：n3 的非零实方阵 A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，则 A 是正交矩阵（分数：2.00）_29.证明：方阵 A 是正交矩阵的充分必要条件是A=1，且若A=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式，若A
8、=一 1则它的每个元素等于自己的代数余子式乘一 1（分数：2.00）_30.设 =a 1 ，a 2 ，a n T O，=b 1 ，b 2 ，b n T O，且 T =0，A=E+ T ，试计算： (1)A；(2)A n ；(3)A 一 1 （分数：2.00）_31.设 A 是主对角元为 0 的四阶实对称阵，E 是四阶单位阵，B= （分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 14 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是正交矩阵，则 (
9、 )（分数：2.00）A.A * (A * ) T =AEB.(A * ) T A * =A * EC.A * (A * ) T =E D.(A * ) T A * =一 E解析：解析：A 正交阵，则有 A 一 1 =A T = 3.设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下列等式中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00）A.(A+A 一 1 ) 2 =A 2 +2A4 一 1 +(A 一 1 ) 2B.(A+A T ) 2 =A 2 +2AA T +(A T ) 2 C.(A+A * ) 2 =A 2 +2AA * +(A * ) 2D.(A+E) 2 =A 2 +2AE+E 2解析：解析：由矩阵乘
10、法的分配律可知： (A+B) 2 =(A+B)A+(A+B)B=A 2 +BA+AB+B 2 ， 因此，(A+B) 2 =A 2 +2AB+B 2 的充要条件是 BA=AB，也即 A，B 的乘积可交换 由于 A 与 A 一 1 ，A 与 A * 以及 A 与 E都是可交换的，故(A)，(C)，(D)中的等式都是成立的故选(B)4.设 A 为 3 阶非零矩阵，且满足 a ij =A ij (i，j=1，2，3)，其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，则下列结论： A 是可逆矩阵； A 是对称矩阵； A 是不可逆矩阵； A 是正交矩阵 其中正确的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2
11、C.3D.4解析：解析：由 a ij =A ij (i，j=1，2，3)及伴随矩阵的定义可知：A * =A T ，那么A * =A T ，也即A 2 =A，即A(A一 1)=0 又由于 A 为非零矩阵，不妨设 a 11 0，则 A=a 11 A 11 +a 12 A 12 +a 13 A 13 =a 11 2 +a 12 2 +a 13 2 0，故A=1因此，A 可逆 并且 AA T =AA * =AE=E，可知 A 是正交矩阵可知，正确，错误 从题目中的条件无法判断 A 是否为对称矩阵，故正确的只有两个，选(B)5.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则下列命题中： 若 A 可逆
12、，则 B 可逆； 若 A+B 可逆，则 B 可逆； 若 B 可逆，则 A+B 可逆； AE 恒可逆正确的个数为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：由于(A 一 E)B=A，可知当 A 可逆时，AEB0，故B0，因此 B 可逆，可知是正确的 当 A+B 可逆时，AB=AB0，故B0，因此 B 可逆，可知是正确的 类似地，当 B 可逆时，A 可逆，故AB=AB0，因此 AB 可逆，故 A+B 也可逆，可知是正确的 最后，由 AB=A+B 可知(AE)BA=O，也即(AE)B 一(AE)=E，进一步有(AE)(B 一 E)=E，故 AE 恒可逆可知也是正确的 综上，四个命
13、题都是正确的，故选(D)6.设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，且 mn，则必有 ( )（分数：2.00）A.AB=0 B.BA=0C.AB=BAD.BABA=BABA解析：解析：由于 mn，则有 r(AB)r(A)nm，可知矩阵 AB 不满秩，因此(A)正确由于 BA 是 n 阶矩阵，是否满秩无法确定，故不一定有BA=0，故(B)错误 由于 A，B 不为方阵，因此没有等式AB=AB=BA事实上，由上面的讨论过程可知，当 BA 满秩时，有AB=0BA，故(C)不正确 BABA=BA n BA=BA n+1 ，可知，等式BABA=BABA也不一定成立，故(D)错误 综上，唯一正确的选项是
14、(A)7.已知 Q= （分数：2.00）A.t=6 时 P 的秩必为 1B.t=6 时 P 的秩必为 2C.t6 时 P 的秩必为 1 D.t6 时 P 的秩必为 2解析：解析：“AB=O”是考研出题频率极高的考点，其基本结论为： A ms B sn =Or(A)+r(B)s； A ms B sn =O组成 B 的每一列都是 A ms X=0 的解向量 对于本题， PQ=Or(P)+r(Q)31r(P)3 一 r(Q) 当 t=6 时，r(Q)=11r(P)2r(P)=1 或 2，则(A)和(B)都错； 当 t6时，r(Q)=21r(P)1r(P)=18.设 n 阶矩阵 A，B 等价，则下列说
15、法中，不一定成立的是 ( )（分数：2.00）A.A0，则B0 B.如果 A 可逆，则存在可逆矩阵 P，使得 PB=EC.如果 AE，则B0D.存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B解析：解析：两矩阵等价的充要条件是秩相同 当 A 可逆时，有 r(A)=n，因此有 r(B)=n，也即 B 是可逆的，故 B 一 1 B=E，可见(B)中命题成立AE 的充要条件也是 r(A)=n，此时也有 r(B)=n，故B0，可见(C)中命题也是成立的 矩阵 A，B 等价的充要条件是存在可逆矩阵 P 与 Q，使得 PAQ=B，可知(D)中命题也是成立的 故唯一可能不成立的是(A)中的命题事实上，当A0 时，
16、我们也只能得到 r(B)=n，也即B0，不一定有B0故选(A)9.设 A，B 都是 n 阶非零矩阵，且 AB=O，则 A 和 B 的秩 ( )（分数：2.00）A.必有一个等于零B.都小于 72 C.一个小于 n，一个等于 nD.都等于 n解析：解析：ab=or(A)+r(B)n；又 AO，BO，即 r(A)1，r(B)1，则 r(A)n，r(B)n10.设 A= （分数：2.00）A.1B.3C.1 或 3 D.无法确定解析：解析：由 r(A * )=1 得，R(A)=3 则A=0，即 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)11.设 =1，2，3，=1， （分数：2.00）填空项 1:_
17、 （正确答案：正确答案：3 N 一 1 A）解析：解析：A= T = 12.设 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：14 n 一 1 B）解析：解析：因 B= 13.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：O）解析：解析：A 2 = 14.A，B 均为 n 阶矩阵，A=一 2，B=3，则BA 一 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一*）解析：解析：A=一 2，B=3，BA 一 1 =B n A 一 1 =3 n 15.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 则 B=A
18、+E，B 2 =4B=4(A+E)=(A+E) 2 得 A 2 一 2A=A(A 一 2E)=3E， 16.已知 A 2 一 2A+E=O，则(A+E) 一 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(3EA)）解析：解析：A 2 一 2A+E=O，(A+E)(A 一 3E)=一 4E， (A+E) 一 1 =一 三、解答题(总题数：15，分数：30.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)PQ= (
19、2)由(1)得PQ=PQ=A 2 (b 一 T A 一 1 ) )解析：19.设(2EC 一 1 B)A T =C 一 1 ，其中 E 是 4 阶单位矩阵，A T 是 4 阶矩阵 A 的转置矩阵， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(2E 一 C 一 1 B)A T =CA=(2CB) T 一 1 = )解析：20.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对 A 分块为 ，则 B=3E+J，于是 B n =(3E+J) n =3 n E+C n 1 3 n 一 1 + C n 2 3 n 一 2 +J n
20、 ， )解析：22.设有两个非零矩阵 A=a 1 ，a 2 ，a n T ，B=b 1 ，b 2 ，b n T (1)计算 AB T 与 A T B； (2)求矩阵 AB T 的秩 r(AB T )； (3)设 C=E 一 AB T ，其中 E 为 n 阶单位阵证明：C T C=E 一 BA T AB T +BB T 的充要条件是 A T A=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)AB T = )解析：23.证明：若 A 为 mn 矩阵，B 为 np 矩阵，则有 r(AB)r(A)+r(B)一 n特别地，当 AB=O 时，有 r(A)+r(B)n（分数：2.00）_正确答案：(正确
21、答案：注意到 当 B 有一个 t 1 阶子式不为 0，A 有一个 t 2 阶子式不为 0 时， 一定有一个 t 1 +t 2 阶子式不为 O， 因此 )解析：24.证明：r(A+B)r(A)+r(B)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A= 1 ， 2 ， n ，B= 1 ， 2 ， n ，则 A+B= 1 + 1 ， 2 + 2 ， n + n ， 由于 A+B 的列向量组 1 + 1 ， 2 + 2 ， n + n 都是由向量组 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n 线性表出的，故 r( 1 + 1 ， 2 + 2 ， n + n )r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2
22、 ， n ) r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n )r( 1 ， 2 ， n )+r( 1 ， 2 ， n )， 故 r(A+B)=r( 1 + 1 ， 2 + 2 ， n + n ) r( 1 ， 2 ， n ， 1 ， 2 ， n ) r( 1 ， 2 ， n )+r( 1 ， 2 ， n ) =r(A)+r(B)解析：25.设 A，B 是 n 阶矩阵，证明：AB 和 BA 的主对角元的和相等(方阵主对角元的和称为方阵的迹，记成trA，即 trA= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 )解析：26.设 A 是 n 阶实矩阵，证明：tr(AA T )=0 的充分必要条
23、件是 A=O（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：充分性 a=O，显然 tr(AA T )=0 必要性 tr(AA T )=0，设 )解析：27.证明：方阵 A 是正交矩阵，即 AA T =E 的充分必要条件是： (1)A 的列向量组组成标准正交向量组，即 或(2)A 的行向量组组成标准正交向量组，即 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.证明：n3 的非零实方阵 A，若它的每个元素等于自己的代数余子式，则 A 是正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，a ij =A ij ，则 A * =A T ，即 AA * =AA T =AE 两边取行列式，得A
24、 2 =A n ，得A 2 (A n 一 2 一 1)=0 因 A 是非零阵，设 a ij 0，则A按第 i 行展开有 A= )解析：29.证明：方阵 A 是正交矩阵的充分必要条件是A=1，且若A=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式，若A=一 1则它的每个元素等于自己的代数余子式乘一 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：必要性 A 是正交矩阵AA T =E，则A=1 若A=1，则 AA * =AE=E，而已知 AA T =E，从而有 A T =A * ，即 a ij =A ij ； 若A=一 1，则 AA * =AE=一E，A(一 A * )=E，而已知 AA T =E，从而有一
25、 A * =A T ，即 a ij =一 A ij 充分性 A=1 且 a ij =A ij ，则 A * =A T ，AA * =AA T =AE=E，A 是正交阵，A=一 1，且 a ij =一 A ij 时，一 A * =A T ，AA * =AE=一 E，即 AA T =E，A 是正交阵)解析：30.设 =a 1 ，a 2 ，a n T O，=b 1 ，b 2 ，b n T O，且 T =0，A=E+ T ，试计算： (1)A；(2)A n ；(3)A 一 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设 A 是主对角元为 0 的四阶实对称阵，E 是四阶单位阵，B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
