1、考研数学二（线性代数）-试卷 13 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.已知 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D 等于( )（分数：2.00）A.0B.a 2C.-a 2D.na 23.行列式A非零的充分条件是( )（分数：2.00）A.A 中所有元素非零B.A 中至少有 n 个元素非零C.A 的任意两行元素之间不成比例D.以A为系数行列式的线性方程组有唯一解4.假设 A 是 n 阶方阵，其秩(A)=rn，那么在 A 的 n
2、 个行向量中( )（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关B.任意 r 个行向量线性无关C.任意 r 个行向量都构成极大线性无关向量组D.任何一个行向量列向量均可由其他 r 个列向量线性表示5.设 A 为 n 阶方阵，B 是 A 经过若干次初等变换后所得到的矩阵，则有( )（分数：2.00）A.A=BB.ABC.若A=0，则一定有B=0D.若A0，则一定有B06.设向量组()： 1 ， 2 ， r 可由向量组()： 1 ， 2 ， r 线性表示，则( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， r 线性无关，则 rsB.若 1 ， 2 ， r 线性相关，则 rsC.若 1 ， 2 ，
3、r 线性无关，则 rsD.若 1 ， 2 ， r 肛线性相关，则 rs7.设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，若 AB=E，则( )（分数：2.00）A.B 的行向量组线性无关B.B 的列向量组线性无关C.A -1 =BD.AB=AB8.非齐次线性方程组 AX=b 中未知量个数为 n，方程个数为优，系数矩阵 A 的秩为 r，则( )（分数：2.00）A.r=m 时，方程组 AX=b 有解B.r=n 时，方程组 AX=b 有唯一解C.m=n 时，方程组 AX=b 有唯一解D.rn 时，方程组 AX=b 有无穷多解9.设 A 为 mn 矩阵且 r(A)=n(nm)，
4、则下列结论中正确的是( )（分数：2.00）A.若 AB=AC，则 A=CB.若 BA=CA，则 B=CC.A 的任意 n 个行向量线性无关D.A 的任意 n 个行向量线性相关10.设 1 ， 2 ， 3 是 AX=0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可表示成( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 的一个等价向量组B. 1 ， 2 ， 3 的一个等秩向量组C. 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3D. 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 1二、填空题(总题数：8，分数：16.00)11.设 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_12.= 1 （分数：2.00）
5、填空项 1:_13.设 A，B 均为 n 阶方阵，A=2，B=-3，则A -1 B * -A * B -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设三阶方阵 A=A 1 ，A 2 ，A 3 ，其中 A i (i=1，2，3)为三维列向量，且 A 的行列式A=-2，则行列式-A 1 -2A 2 ，2A 2 +3A 3 ，-3A 3 +2A 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 是三阶方阵，且A-E=IA+2E=2A+3E=0，则2A * -3E= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设 A 为四阶可逆方阵，将 A 第 3 列乘 3 倍再与第 1 列交换位置，得到矩阵
6、B，则 B -1 A= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设 A 为 43 矩阵，且 r(A)=2，而 B= （分数：2.00）填空项 1:_18.向量组 1 =0，4，2-k， 2 =2，3-k，1， 3 =1-k，2，3线性相关，则实数 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：13，分数：32.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_20.设 A= （分数：2.00）_21.设 A 为三阶方阵，A * 为 A 的伴随矩阵，A=13，求4A-(3A * ) -1 （分数：2.00）_22.A 是三阶矩阵，三维列向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关
7、，满足 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 ，求A（分数：2.00）_23.设 A= （分数：2.00）_24.设 A，B 为三阶矩阵，满足 AB+E=A 2 +B，E 为三阶单位矩阵，又知 A= （分数：2.00）_25.已知 B= （分数：2.00）_26.设矩阵 A= （分数：2.00）_27.解方程 （分数：2.00）_28.设向量组()： 1 ， 2 ， 3 ；()： 1 ， 2 ， 3 的秩分别为()=2，秩()=3证明向量组 1 ， 2 ， 3 + 4 的秩等于 3（分数：2.00）_29.已知线性方程组 （分数：2.00）_设向量组 1
8、= （分数：6.00）(1). 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，且表示唯一；（分数：2.00）_(2). 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出；（分数：2.00）_(3). 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，但表示不唯一，并求出一般表达式（分数：2.00）_设线性方程组 （分数：6.00）(1).求线性方程组()的通解；（分数：2.00）_(2).m，n 取何值时，方程组()与()有公共非零解；（分数：2.00）_(3).m，n 取何值时，方程组()与()同解（分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 13 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10
9、，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.已知 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D 等于( )（分数：2.00）A.0 B.a 2C.-a 2D.na 2解析：解析：不妨设第一列元素及余子式都是 a，则 D=a 11 A 11 +a 21 A 21 +a 2n,1 A 2n,1 =a 2 -a 3 +-a 2 =0，应选(A)3.行列式A非零的充分条件是( )（分数：2.00）A.A 中所有元素非零B.A 中至少有 n 个元素非零C.A 的任意两行元素之间不成比例D.以A为系数行列式的线性方程组有唯
10、一解 解析：解析：A0 的充要条件是 r(A)=n，r(A)=n 的充要条件是 AX=b 有唯一解，应选(D)4.假设 A 是 n 阶方阵，其秩(A)=rn，那么在 A 的 n 个行向量中( )（分数：2.00）A.必有 r 个行向量线性无关 B.任意 r 个行向量线性无关C.任意 r 个行向量都构成极大线性无关向量组D.任何一个行向量列向量均可由其他 r 个列向量线性表示解析：解析：因为矩阵的秩与行向量组的秩及列向量组的秩相等，所以由 r(A)=r 得 A 一定有 r 个行向量线性无关，应选(A)5.设 A 为 n 阶方阵，B 是 A 经过若干次初等变换后所得到的矩阵，则有( )（分数：2.
11、00）A.A=BB.ABC.若A=0，则一定有B=0 D.若A0，则一定有B0解析：解析：因为初等变换不改变矩阵的秩，所以若A=0，即 r(A)n，则 r(B)n，即B=0，应选(C)6.设向量组()： 1 ， 2 ， r 可由向量组()： 1 ， 2 ， r 线性表示，则( )（分数：2.00）A.若 1 ， 2 ， r 线性无关，则 rs B.若 1 ， 2 ， r 线性相关，则 rsC.若 1 ， 2 ， r 线性无关，则 rsD.若 1 ， 2 ， r 肛线性相关，则 rs解析：解析：因为()可由()，所以()的秩()的秩，所以若 1 ， 2 ， r 线性无关，即()的秩=r，则 r(
12、)的秩s，应选(A)7.设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，E 是 n 阶单位矩阵，若 AB=E，则( )（分数：2.00）A.B 的行向量组线性无关B.B 的列向量组线性无关 C.A -1 =BD.AB=AB解析：解析：由 AB=E 得 r(AB)=n，从而 r(A)n，r(B)n， 又 r(A)n，r(B)n，所以 r(A)=n，r(B)=n， 故 B 的列向量组线性无关，应选(B)8.非齐次线性方程组 AX=b 中未知量个数为 n，方程个数为优，系数矩阵 A 的秩为 r，则( )（分数：2.00）A.r=m 时，方程组 AX=b 有解 B.r=n 时，方程组 AX=b 有唯一解C
13、.m=n 时，方程组 AX=b 有唯一解D.rn 时，方程组 AX=b 有无穷多解解析：解析： r(A)， 当 r=m 时，r(A)r(A)=m； 又9.设 A 为 mn 矩阵且 r(A)=n(nm)，则下列结论中正确的是( )（分数：2.00）A.若 AB=AC，则 A=CB.若 BA=CA，则 B=C C.A 的任意 n 个行向量线性无关D.A 的任意 n 个行向量线性相关解析：解析：由 BA=CA 得(B-C)A=O，则 r(A)+r(B-C)n，由 r(A)=n 得 r(B-C)=0，故 B=C，应选(B)10.设 1 ， 2 ， 3 是 AX=0 的基础解系，则该方程组的基础解系还可
14、表示成( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， 3 的一个等价向量组 B. 1 ， 2 ， 3 的一个等秩向量组C. 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3D. 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 1解析：解析：(B)显然不对，因为与 1 ， 2 ， 3 等秩的向量组不一定是方程组的解； 因为 1 +( 1 + 2 )-( 1 + 2 + 3 )=0，所以 1 ， 1 + 2 ， 1 + 2 + 3 线性相关，不选(C)；由( 1 - 2 )+( 2 - 3 )+( 3 - 1 )=0，所以 1 - 2 ， 2 - 3 ， 3 - 1 线性相关，不选(D)，应选(A)二、填空题(总
15、题数：8，分数：16.00)11.设 n 阶矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(n-1)(-1) n-1）解析：解析：12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析： =(-a)A 12 +bA 13 =aM 12 +bM 13 = 13.设 A，B 均为 n 阶方阵，A=2，B=-3，则A -1 B * -A * B -1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A * =AA -1 =2A -1 ，B * =BB -1 =-3B -1 ，则A -1 B * -A * B -1 =-
16、3A -1 B -1 -2A -1 B -1 =(-5) n A -1 .B -1 = 14.设三阶方阵 A=A 1 ，A 2 ，A 3 ，其中 A i (i=1，2，3)为三维列向量，且 A 的行列式A=-2，则行列式-A 1 -2A 2 ，2A 2 +3A 3 ，-3A 3 +2A 1 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12）解析：解析：由(-A 1 -2A 2 ，2A 2 +3A 3 ，-3A 3 +2A 1 )=(A 1 ，A 2 ，A 3 ) 得-A 1 -2A 2 ，2A 2 +3A 3 ，-3A 3 +2A 1 =A 1 ，A 2 ，A 3 . 15.
17、设 A 是三阶方阵，且A-E=IA+2E=2A+3E=0，则2A * -3E= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：126）解析：解析：由A-E=A+2E=2A+3E=0 得E-A=0，-2E-A=0， E-A=0，矩阵 A 的特征值为 1 =1， 2 =-2， 3 = A=3，A * 的特征值为 16.设 A 为四阶可逆方阵，将 A 第 3 列乘 3 倍再与第 1 列交换位置，得到矩阵 B，则 B -1 A= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 B=A =AE 3 (3)E 13 得 17.设 A 为 43 矩阵，且 r(A)=
18、2，而 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为B=18.向量组 1 =0，4，2-k， 2 =2，3-k，1， 3 =1-k，2，3线性相关，则实数 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：由三、解答题(总题数：13，分数：32.00)19.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：20.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：2A 11 +A 12 -A 13 =2A 11 +A 12 -A 13 +0A 14 = =0； A 11 +4A 21 +A 31 +2A 41 )解析：21
19、.设 A 为三阶方阵，A * 为 A 的伴随矩阵，A=13，求4A-(3A * ) -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A * =AA -1 = )解析：22.A 是三阶矩阵，三维列向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，满足 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 ，求A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 B=( 1 ， 2 ， 3 )，由 A 1 = 2 + 3 ，A 2 = 1 + 3 ，A 3 = 1 + 2 得 AB= ，两边取行列式得A.B=B. )解析：23.设 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由初等变换
20、的性质得 )解析：24.设 A，B 为三阶矩阵，满足 AB+E=A 2 +B，E 为三阶单位矩阵，又知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB+E=A 2 +B 得 (A-E)B=A 2 -E， A-E= ，因为A-E0，所以 A-E 可逆，从而 B=A+E= )解析：25.已知 B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AP=PB 得 A=PBP -1 ， 由 )解析：26.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A -1 (E-BB T A -1 ) -1 C -1 =E 得 C(E-BB T A -1 )A=E，即 C(A-BB T )=E
21、，解得 C=(A-BB T ) -1 )解析：27.解方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 X=(X 1 ，X 2 )， )解析：28.设向量组()： 1 ， 2 ， 3 ；()： 1 ， 2 ， 3 的秩分别为()=2，秩()=3证明向量组 1 ， 2 ， 3 + 4 的秩等于 3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由向量组()的秩为 3 得 1 ， 2 ， 4 线性无关，从而 1 ， 2 线性无关，由向量组()的秩为 2 得 1 ， 2 ， 3 线性相关， 从而 3 可由 a 1 ，a 2 线性表示，令 3 =k 1 1 +k 2 2 ( 1 ， 2 ， 3 + 4 )
22、=( 1 ， 2 ，k 1 1 +k 2 2 + 4 )=( 1 ， 2 ， 4 ) )解析：29.已知线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)当 k 1 2 时，方程组有唯一解； (2)当 k 1 =2 时， 情形一：k 2 1 时，方程组无解； 情形二：k 2 =1 时，方程组有无数个解， 原方程组通解为 X= )解析：设向量组 1 = （分数：6.00）(1). 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，且表示唯一；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =-(a+4) 当 a-4 时， 可由 1 ， 2 ， 3 唯一线性表示 当a=-4 时， )解析：(2). 不能
23、由 1 ， 2 ， 3 线性表出；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 c=3b+1=0 时， 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，但表示方法不唯一， 由 则 = )解析：(3). 可由 1 ， 2 ， 3 线性表出，但表示不唯一，并求出一般表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 c-3b+10 时， 不可由 1 ， 2 ， 3 线性表示)解析：设线性方程组 （分数：6.00）(1).求线性方程组()的通解；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A= 由 A= 方程组()的通解为 X= )解析：(2).m，n 取何值时，方程组()与()有公共非零解；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：(3).m，n 取何值时，方程组()与()同解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 m=-2，n=3 时，两个方程组同解)解析：
