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    【考研类试卷】考研数学二(线性代数)-试卷12及答案解析.doc

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    【考研类试卷】考研数学二(线性代数)-试卷12及答案解析.doc

    1、考研数学二(线性代数)-试卷 12 及答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 A,B 为 n 阶矩阵,则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.若 A,B 可逆,则 A+B 可逆B.若 A,B 可逆,则 AB 可逆C.若 A+B 可逆,则 A-B 可逆D.若 A+B 可逆,则 A,B 都可逆3.设 A,B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵,则 的逆矩阵为( ) (分数:2.00)A.B.C.D.4.设向量组(): 1 , 2 , s 的秩为 r 1

    2、,向量组(): 1 , 2 , s 的秩为 r 2 ,且向量组()可由向量组()线性表示,则( )(分数:2.00)A. 1 + 1 , 2 + 2 , s + s 的秩为 r 1 +r 2B.向量组 1 - 1 , 2 - 2 , s - 1 的秩为 r 1 -r 2C.向量组 1 , 2 , s , 1 , 2 , s 的秩为 r 1 +r 2D.向量组 1 , 2 , s , 1 , 2 , n 的秩为 r 15.设 A 是 mn 阶矩阵,则下列命题正确的是( )(分数:2.00)A.若 mB.若 mn,则方程组 Ax=b 一定有唯一解C.若 r(A)=n,则方程组 Ax=b 一定有唯一

    3、解D.若 r(A)=m,则方程组 AX=b 一定有解6.设三阶矩阵 A 的特征值为 1 =-1, 2 =0, 3 =1,则下列结论不正确的是( )(分数:2.00)A.矩阵 A 不可逆B.矩阵 A 的迹为零C.特征值-1,1 对应的特征向量正交D.方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量7.设 A,B 为 n 阶可逆矩阵,则( )(分数:2.00)A.存在可逆矩阵 P 1 ,P 2 ,使得 P 1 -1 AP 1 ,P 2 -1 BP 2 为对角矩阵B.存在正交矩阵 Q 1 ,Q 2 ,使得 Q 1 T AQ 1 ,Q 2 T BQ 2 为对角矩阵C.存在可逆矩阵 P,使得 P -

    4、1 (A+B)P 为对角矩阵D.存在可逆矩阵 P,Q,使得 PAQ=B8.设 A,B 都是 n 阶矩阵,且存在可逆矩阵 P,使得 AP=B,则( )(分数:2.00)A.A,B 合同B.A,B 相似C.方程组 Ax=0 与 BX=0 同解D.r(A)=r(B)二、填空题(总题数:6,分数:12.00)9.设 A 为三阶矩阵,A 的第一行元素为 1,2,3,A的第二行元素的代数余子式分别为 a+1,a-2,a-1,则 a= 1(分数:2.00)填空项 1:_10.设 A 为三阶矩阵,且A=4,则 (分数:2.00)填空项 1:_11.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +A=3E,则(A-3E)

    5、-1 = 1(分数:2.00)填空项 1:_12.设 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )为 4 阶方阵,且 AX=0 的通解为 X=k(1,1,2,-3) T ,则 2 由 1 , 3 , 4 表示的表达式为 1(分数:2.00)填空项 1:_13.设 A 为 n 阶矩阵,A 的各行元素之和为 0 且 r(A)=n-1,则方程组 AX=0 的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_14.设 A 为三阶实对称矩阵,且 (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:13,分数:28.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_16.证明: (分数:2.00)_17.设

    6、A,B 满足 A * BA=2BA-8E,且 A= (分数:2.00)_18.设 A 为 n 阶矩阵,且 A 2 -2A-8E=O 证明:r(4E-A)+r(2E+A)=n(分数:2.00)_19.n 维列向量组 1 , n-1 线性无关,且与非零向量 正交证明: 1 , 1 , 线性无关(分数:2.00)_20.设 1 , 2 , 3 为四维列向量组, 1 , 2 线性无关, 3 =3 1 +2 2 ,A=( 1 , 2 , 3 ),求 Ax=0 的一个基础解系(分数:2.00)_21.就 a,b 的不同取值,讨论方程组 (分数:2.00)_22.设 A= (分数:2.00)_23.设 =

    7、(分数:2.00)_设 A 是三阶实对称矩阵,r(A)=1,A 2 -3A=O,设(1,1,-1) T 为 A的非零特征值对应的特征向量(分数:4.00)(1).求 A 的特征值;(分数:2.00)_(2).求矩阵 A(分数:2.00)_24.设 (分数:2.00)_设二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=(a-1)x 1 2 +(a-1)x 2 x 2 +2x 3 x 2 +2x 1 x 2 (a0)的秩为 2(分数:4.00)(1).求 a;(分数:2.00)_(2).用正交变换法化二次型为标准形(分数:2.00)_25.用配方法化下列二次型为标准形: f(x 1 ,x 2 ,x 3

    8、 )=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +6x 2 x 3(分数:2.00)_考研数学二(线性代数)-试卷 12 答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:8,分数:16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 A,B 为 n 阶矩阵,则下列结论正确的是( )(分数:2.00)A.若 A,B 可逆,则 A+B 可逆B.若 A,B 可逆,则 AB 可逆 C.若 A+B 可逆,则 A-B 可逆D.若 A+B 可逆,则 A,B 都可逆解析:解析:若 A,B 可逆,则A0,B0,又AB=AB,所以AB0,于是

    9、 AB 可逆,选(B)3.设 A,B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵,则 的逆矩阵为( ) (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:A,B 都是可逆矩阵,因为 所以4.设向量组(): 1 , 2 , s 的秩为 r 1 ,向量组(): 1 , 2 , s 的秩为 r 2 ,且向量组()可由向量组()线性表示,则( )(分数:2.00)A. 1 + 1 , 2 + 2 , s + s 的秩为 r 1 +r 2B.向量组 1 - 1 , 2 - 2 , s - 1 的秩为 r 1 -r 2C.向量组 1 , 2 , s , 1 , 2 , s 的秩为 r 1 +r 2D.向量组 1 ,

    10、2 , s , 1 , 2 , n 的秩为 r 1 解析:解析:因为向量组 1 , 2 , s 可由向量组 1 , 2 , s 线性表示,所以向量组 1 , 2 , s 与向量组 1 , 2 , s , 1 , 2 , s 等价,选(D)5.设 A 是 mn 阶矩阵,则下列命题正确的是( )(分数:2.00)A.若 mB.若 mn,则方程组 Ax=b 一定有唯一解C.若 r(A)=n,则方程组 Ax=b 一定有唯一解D.若 r(A)=m,则方程组 AX=b 一定有解 解析:解析:因为若 r(A)=m(即 A 为行满秩矩阵),则 r( )=m,于是 r(A)=r(6.设三阶矩阵 A 的特征值为

    11、1 =-1, 2 =0, 3 =1,则下列结论不正确的是( )(分数:2.00)A.矩阵 A 不可逆B.矩阵 A 的迹为零C.特征值-1,1 对应的特征向量正交 D.方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量解析:解析:由 1 =-1, 2 =0, 3 =1 得A=0,则 r(A)1 + 2 + 3 =tr(A)=0,所以(B)正确;因为 A 的三个特征值都为单值,所以 A 的非零特征值的个数与矩阵 A 的秩相等,即 r(A)=2,从而 Ax=0 的基础解系仅含有一个线性无关的解向量,(D)是正确的;(C)不对,因为只有实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交,一般矩阵不一定有此性质

    12、,选(C)7.设 A,B 为 n 阶可逆矩阵,则( )(分数:2.00)A.存在可逆矩阵 P 1 ,P 2 ,使得 P 1 -1 AP 1 ,P 2 -1 BP 2 为对角矩阵B.存在正交矩阵 Q 1 ,Q 2 ,使得 Q 1 T AQ 1 ,Q 2 T BQ 2 为对角矩阵C.存在可逆矩阵 P,使得 P -1 (A+B)P 为对角矩阵D.存在可逆矩阵 P,Q,使得 PAQ=B 解析:解析:因为 A,B 都是可逆矩阵,所以 A,B 等价,即存在可逆矩阵 P,Q,使得 PAQ=B,选(D)8.设 A,B 都是 n 阶矩阵,且存在可逆矩阵 P,使得 AP=B,则( )(分数:2.00)A.A,B

    13、合同B.A,B 相似C.方程组 Ax=0 与 BX=0 同解D.r(A)=r(B) 解析:解析:因为 P 可逆,所以 r(A)=r(B),选(D)二、填空题(总题数:6,分数:12.00)9.设 A 为三阶矩阵,A 的第一行元素为 1,2,3,A的第二行元素的代数余子式分别为 a+1,a-2,a-1,则 a= 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:由(a+1)+2(a-2)+3(a-1)=0 得 a=110.设 A 为三阶矩阵,且A=4,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:12)解析:解析:由 A=AA -1 =4A -1 得 =(2

    14、A -1 ) -1 = 11.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 +A=3E,则(A-3E) -1 = 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*(A+4E))解析:解析:由 A 2 +A=3E,得 A 2 +A-3E=0,(A-3E)(A+4E)=-9E, (A-3E) (A+4E)=E,则(A-3E) -1 = 12.设 A=( 1 , 2 , 3 , 4 )为 4 阶方阵,且 AX=0 的通解为 X=k(1,1,2,-3) T ,则 2 由 1 , 3 , 4 表示的表达式为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案: 2 =- 1 -2 2 +3 4)解

    15、析:解析:因为(1,1,2,-3) T 为 AX=0 的解, 所以 1 + 2 +2 3 -3 4 =0,故 2 =- 1 -2 2 +3 4 13.设 A 为 n 阶矩阵,A 的各行元素之和为 0 且 r(A)=n-1,则方程组 AX=0 的通解为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*(其中 k 为任意常数))解析:解析:k(1,1,1) T ,其中 k 为任意常数因为 A 的各行元素之和为零,所以 ,又因为 r(A)=n-1,所以 为方程组 AX=0 的基础解系,从而通解为 14.设 A 为三阶实对称矩阵,且 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:

    16、3)解析:解析:因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交,所以有 6+3a+3-6a=0,a=3三、解答题(总题数:13,分数:28.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析:16.证明: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:17.设 A,B 满足 A * BA=2BA-8E,且 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 A * BA=2BA-8E 得 AA * BA=2ABA-8A, 即-2BA=2ABA-8A,整理得(A+E)B=4E,所以 )解析:18.设 A 为 n 阶矩阵,且 A 2 -2A-8E=O 证明:r(4E-A)+r(2E

    17、+A)=n(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 A 2 -2A-8E=O 得(4E-A)(2E+A)=O,根据矩阵秩的性质得 r(4E-A)+r(2E+A)n又 r(4E-A)+r(2E+A)r(4E-A)+(2E+A)=r(6E)=n,所以有 r(4E-A)+r(2E+A)=n)解析:19.n 维列向量组 1 , n-1 线性无关,且与非零向量 正交证明: 1 , 1 , 线性无关(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 k 0 +k 1 1 +k n-1 n-1 =0,由 1 , n1 与非零向量 正交及(,k 0 +k 1 1 +k n-1 n-1 )=0 得 k 0 (,)

    18、=0,因为 为非零向量,所以(,)= 2 0,于是 k 0 =0,故 k 1 1 +k n-1 n-1 =0,由 1 , n-1 线性无关得 k 1 =k n-1 =0,于是 1 , n-1 , 线性无关)解析:20.设 1 , 2 , 3 为四维列向量组, 1 , 2 线性无关, 3 =3 1 +2 2 ,A=( 1 , 2 , 3 ),求 Ax=0 的一个基础解系(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由,r(A)=2 可知 Ax=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量,而 3 1 +2 2 - 3 =0, 因此 = )解析:21.就 a,b 的不同取值,讨论方程组 (分数:2.00)_

    19、正确答案:(正确答案: (1)当 a0,ab 时,方程组有唯一解,唯一解为 x 1 =1- ,x 3 =0; (2)当 a=0 时, 因为 r(A)r( ),所以方程组无解; (3)当 a=b0 时, 方程组有无穷多个解,通解为 X= )解析:22.设 A= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由E-A= )解析:23.设 = (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A= T ,由E-A= 2 (-2)=0 得 1 = 2 =0, 3 =2, 因为 6E-A n 的特征值为 6,6,6-2 n ,所以6E-A n =6 2 (6-2 n )解析:设 A 是三阶实对称矩阵,r(A)=1,

    20、A 2 -3A=O,设(1,1,-1) T 为 A的非零特征值对应的特征向量(分数:4.00)(1).求 A 的特征值;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A 2 -3A=O A3E-A=0 )解析:(2).求矩阵 A(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设特征值 0 对应的特征向量为(x 1 ,x 2 ,x 3 ) T ,则 x 1 +x 2 -x 3 =0,则 0对应的特征向量为 2 =(-1,1,0) T , 3 =(1,0,1) T ,令 )解析:24.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 A * 的特征向量也是 A 的特征向量,由 因为A=-1,所以 a=2,

    21、于是 a=2,b=-3,c=2,= )解析:设二次型 f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=(a-1)x 1 2 +(a-1)x 2 x 2 +2x 3 x 2 +2x 1 x 2 (a0)的秩为 2(分数:4.00)(1).求 a;(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A= )解析:(2).用正交变换法化二次型为标准形(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A= ,由E-A=0 得 1 = 2 =2, 3 =0 当 =2 时,由(2E-A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向量为 当 =0 时,由(0E-A)X=0 得 =0 对应的线性无关的特征向量为 3 = 因为 1 , 2 两两正交,单位化得 , 则 f=X T AX )解析:25.用配方法化下列二次型为标准形: f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=2x 1 x 2 +2x 1 x 3 +6x 2 x 3(分数:2.00)_正确答案:(正确答案: 则 f(x 1 ,x 2 ,x 3 ) 2y 1 x 2 -2y 2 x 2 +8y 1 x 3 +4y 2 x 3 =2(y 1 +2y 3 ) 2 -2(y 2 -y 3 ) 2 -6y 3 2 , f(x 1 ,x 2 ,x 3 )=X T AX )解析:


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