1、考研数学二（线性代数）-试卷 11 及答案解析(总分：80.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.A 是 n 阶矩阵，则 （分数：2.00）A.(-2) n |A| nB.(4|A|) nC.(-2) 2n |A*| nD.|4A| n3.A 是 n 阶矩阵，则 （分数：2.00）A.(-2) n |A*| nB.2 n |A*| nC.(一 2) n |A| n-1D.2 n |A| n-14.设 ，则(P -1 ) 2016 A(Q 2011 ) -1 =( ) （分数：
2、2.00）A.B.C.D.5.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 3 维非零列向量，则下列结论： 如果 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1 ， 2 ， 3 线性相关； 如果 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 1 ， 2 ， 4 也线性相关； 如果 r( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )=r( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )，则 4 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出 其中正确结论的个数为 ( )（分数：2.00）A.0B.1C.2D.36.设 1 ， 2 ， 3 均为线性方程组 Ax=b 的解，下列向量中 1 -
3、2 ， 1 2 2 + 3 ， （分数：2.00）A.4B.3C.2D.l7.设 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵， 1 ， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则 Ax=0 的通解必定是 ( )（分数：2.00）A. 1 + 2B.k 1C.k( 1 + 2 )D.k( 1 - 2 )8.设 A 为 n 阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解向量，A*是 A 的伴随矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.A*x=0 的解均是 Ax=0 的解B.Ax=0 的解均是 A*x=0 的解C.Ax=0 与 A*x=0 没有非零公共解D.Ax=0 与 A*x=0 恰好有一个非零
4、公共解9.设向量组(I)： 1 ， 2 ， r 可由向量组()： 1 ， 2 ， s 线性表示，则 ( )（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组()必线性相关B.当 rs 时，向量组(I)必线性相关C.当 rs 时，向量组()必线性相关D.当 rs 时，向量组(I)必线性相关10.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组(I)A n x=0 和()A n+1 x=0，现有命题 ()的解必是()的解； ()的解必是()的解； ()的解不一定是()的解； ()的解不一定是()的解 其中，正确的是 ( )（分数：2.00）A.B.C.D.11.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充要条件是
5、( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s ，均不为零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量的分量不成比例C. 1 ， 2 ， s ，中任意一个向量均不能由其余向量线性表出D. 1 ， 2 ， s 中任意 s 一 1 个向量均线性无关12.已知 A 是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0 ( )（分数：2.00）A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都可能13.已知 1 ， 2 是方程(E-A)X=0 的两个不同的解向量，则下列向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量的是 ( )（分数：2.00）A. 1B. 2C
6、. 1 一 2D. 1 + 2二、填空题(总题数：8，分数：16.00)14.设 B= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A 是 43 矩阵，且 r(A)=2，而 B= （分数：2.00）填空项 1:_16.设 A，B 为 3 阶相似矩阵，且|2E+A|=0， 1 =1， 2 =一 1 为 B 的两个特征值，则行列式|A+2AB|= 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设 A=E+ T ，其中 ， 均为 n 维列向量， T =3，则|A+2E|= 1（分数：2.00）填空项 1:_18.设 A，B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A= （分数：2.
7、00）填空项 1:_19.已知 ABC=D，其中 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 1 =1，0，一 1，2 T ， 2 =2，一 1，一 2，6 T ， 3 =3，1，t，4 T ，=4，-1，一 5，10 T ，已知 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 t= 1（分数：2.00）填空项 1:_21.已知三维向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则向量组 1 一 2 ， 2 -k 3 ， 3 一 1 也线性无关的充要条件是 k 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_2
8、3.设矩阵 A，B 满足 A*BA=2BA 一 8E，其中 （分数：2.00）_24.设 A 是 n 阶可逆阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵记为 B，证明：B 可逆，并推导 A -1 和 B -1 的关系（分数：2.00）_25.设 A 是 n 阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数 a，证明：(1)a0；(2)A -1 的每行元素之和均为 （分数：2.00）_26.(1)A，B 为 n 阶方阵，证明： (2)计算 （分数：2.00）_27.设有矩阵 A mn ，B nm ，E m +AB 可逆， (1)验证：E n +BA 也可逆，且(E n +BA) -1 =E n B(E
9、m +AB) -1 A； (2)设 其中 （分数：2.00）_28.已知 1 =1，-1，1 T ， 2 =1，t，一 1 T ， 3 =t，1，2 T ，=4，t 2 ，一 4 T ，若 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示法不唯一，求 t 及 的表达式（分数：2.00）_29.设向量组 1 ， 2 ， s (s2)线性无关，且 1 = 1 + 2 ， 2 = 2 + 3 ， s-1 = s-1 + s ， s = s + 1 ，讨论向量组 1 ， 2 ， s 的线性相关性（分数：2.00）_30.设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，其中 nm，E 是 n 阶单位矩阵若 AB=
10、E，证明：B 的列向量组线性无关（分数：2.00）_31.设向量组 1 ， 2 ， t 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，向量 不是方程组 Ax=0的解，即 A0试证明：向量组 ，+ 1 ，+ 2 ，+ t 线性无关（分数：2.00）_32.设向量组()与向量组()，若()可由()线性表示，且 r()=r()=r，证明：(I)与()等价（分数：2.00）_33.求齐次线性方程组 （分数：2.00）_34.问 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_35. 为何值时，方程组 （分数：2.00）_36.设四元齐次线性方程组()为 （分数：2.00）_37.设 1 ， 2 ， s 和 1
11、 ， 2 ， s 分别是 AX=0 和 BX=0 的基础解系，证明：AX=0和 BX=0 有非零公共解的充要条件是 1 ， 2 ， t ， 1 ， 2 ， s 线性相关（分数：2.00）_38.已知 1 =1，2，一 3，1 T ， 2 =5，一 5，a，11 T ， 3 =1，一 3，6，3 T ， 4 =2，一 1，3，a T 问： (1)a 为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关； (2)a 为何值时，向量组 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性无关； (3)a 为何值时， 4 能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，并写出它的表出式（分数：2.00）_39.已知 （分数：2.0
12、0）_40.设向量组 1 =a 11 ，a 21 ，,a n1 T ， 2 =a 12 ，a 22 ，a n2 T ， a =a 1s ,a 2s ，,a ns T，证明：向量组 1 ， 2 ， s 线性相关(线性无关)的充要条件是齐次线性方程组 （分数：2.00）_考研数学二（线性代数）-试卷 11 答案解析(总分：80.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.A 是 n 阶矩阵，则 （分数：2.00）A.(-2) n |A| nB.(4|A|) n C.(-2) 2n
13、 |A*| nD.|4A| n解析：解析： 3.A 是 n 阶矩阵，则 （分数：2.00）A.(-2) n |A*| nB.2 n |A*| nC.(一 2) n |A| n-1D.2 n |A| n-1 解析：解析： 4.设 ，则(P -1 ) 2016 A(Q 2011 ) -1 =( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：易知 P 2 =E，故 P -1 =P，进一步有(P -1 ) 2016 =p 2016 =(P 2 ) 1008 =E 故 5.已知 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 3 维非零列向量，则下列结论： 如果 4 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 1
14、， 2 ， 3 线性相关； 如果 1 ， 2 ， 3 线性相关， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 1 ， 2 ， 4 也线性相关； 如果 r( 1 ， 1 + 2 ， 2 + 3 )=r( 4 ， 1 + 4 ， 2 + 4 ， 3 + 4 )，则 4 可以由 1 ， 2 ， 3 线性表出 其中正确结论的个数为 ( )（分数：2.00）A.0B.1C.2 D.3解析：解析：如果 1 ， 2 ， 3 线性无关，由于 1 ， 2 ， 3 ， 4 为 4 个 3 维向量，故 1 ， 2 ， 3 ， 4 线性相关，则 4 必能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，可知是正确的 令 6.设 1 ， 2 ，
15、 3 均为线性方程组 Ax=b 的解，下列向量中 1 - 2 ， 1 2 2 + 3 ， （分数：2.00）A.4 B.3C.2D.l解析：解析：由 A 1 =A 2 =A 3 =b 可知 A( 1 - 2 )=A 1 一 A 2 =b 一 b=0， A( 1 2 2 + 3 )=A 1 2A 2 +A 3 =b2b+b=0， 7.设 A 是秩为 n 一 1 的 n 阶矩阵， 1 ， 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则 Ax=0 的通解必定是 ( )（分数：2.00）A. 1 + 2B.k 1C.k( 1 + 2 )D.k( 1 - 2 ) 解析：解析：因为通解中必有任意常数，显见
16、(A)不正确由 n-r(A)=1 知 Ax=0 的基础解系由一个非零向量构成 1 ， 1 + 2 与 1 一 2 中哪一个一定是非零向量呢? 已知条件只是说 1 ， 2 是两个不同的解，那么 1 可以是零解，因而 k 1 可能不是通解如果 1 =一 2 0，则 1 ， 2 是两个不同的解，但 1 + 2 =0，即两个不同的解不能保证 1 + 2 0因此要排除(B)、(C)由于 1 1 ，必有 1 - 2 0可见(D)正确8.设 A 为 n 阶方阵，齐次线性方程组 Ax=0 有两个线性无关的解向量，A*是 A 的伴随矩阵，则 ( )（分数：2.00）A.A*x=0 的解均是 Ax=0 的解B.A
17、x=0 的解均是 A*x=0 的解 C.Ax=0 与 A*x=0 没有非零公共解D.Ax=0 与 A*x=0 恰好有一个非零公共解解析：解析：由题设知 nr(A)2，从而有 r(A)n 一 2，故 A*=O，任意 n 维向量均是 A*x=0 的解，故正确选项是(B)9.设向量组(I)： 1 ， 2 ， r 可由向量组()： 1 ， 2 ， s 线性表示，则 ( )（分数：2.00）A.当 rs 时，向量组()必线性相关B.当 rs 时，向量组(I)必线性相关C.当 rs 时，向量组()必线性相关D.当 rs 时，向量组(I)必线性相关 解析：解析：利用“若向量组(I)线性无关，且可由向量组(I
18、I)线性表示，则 rs”的逆否命题即知10.设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组(I)A n x=0 和()A n+1 x=0，现有命题 ()的解必是()的解； ()的解必是()的解； ()的解不一定是()的解； ()的解不一定是()的解 其中，正确的是 ( )（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：当 A*x=0 时，易知 A n+1 x=A(A n x)=0，故(I)的解必是()的解，也即正确、错误当A n+1 =0 时，假设 A n x0，则有 x，Ax，A n x 均不为零，可以证明这种情况下 x，Ax，A n X是线性无关的由于 x，Ax，A n x 均为 n 维向量，
19、而 n+1 个 n 维向量都是线性相关的，矛盾故假设不成立，因此必有 A n x=0可知()的解必是(I)的解，故正确、错误故选(B)11.向量组 1 ， 2 ， s 线性无关的充要条件是 ( )（分数：2.00）A. 1 ， 2 ， s ，均不为零向量B. 1 ， 2 ， s 中任意两个向量的分量不成比例C. 1 ， 2 ， s ，中任意一个向量均不能由其余向量线性表出 D. 1 ， 2 ， s 中任意 s 一 1 个向量均线性无关解析：解析：用反证法，若有一个向量可由其余向量线性表出，则向量组线性相关，和向量组线性无关矛盾，(A)，(B)，(D)都是向量组线性无关的必要条件，但不充分12.
20、已知 A 是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0 ( )（分数：2.00）A.必是 A 的二重特征值B.至少是 A 的二重特征值 C.至多是 A 的二重特征值D.一重、二重、三重特征值都可能解析：解析：A 是三阶矩阵，r(A)=1，r(OEA)=1(0EA)X=0 有两个线性无关特征向量，故 =0 至少是二重特征值，也可能是三重，例如：A=13.已知 1 ， 2 是方程(E-A)X=0 的两个不同的解向量，则下列向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量的是 ( )（分数：2.00）A. 1B. 2C. 1 一 2 D. 1 + 2解析：解析：因 1 2 ，故 1 一 2 0，且仍有关系 A( 1
21、 一 2 )= 1 一 2 =( 1 一 2 )，故 1 一 2 是特征向量而(A) 1 ，(B) 2 ，(D) 1 + 2 均有可能是零向量而不成为 A 的特征向量二、填空题(总题数：8，分数：16.00)14.设 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.设 A 是 43 矩阵，且 r(A)=2，而 B= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：B 可逆，则 r(AB)=r(A)=216.设 A，B 为 3 阶相似矩阵，且|2E+A|=0， 1 =1， 2 =一 1 为 B 的两个特征值，则行列式|A+2AB|= 1
22、（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：18）解析：解析：由|2E+A|=|A 一(-2E)|=0 知 =-2 为 A 的一个特征值，由 AB 知 A 和 B 有相同特征值，因此 1 =1， 2 =一 1 也是 A 的特征值故 A，B 的特征值均为 1 =1， 2 =一 1， 3 =一 2则有E+2B 的特征值为 1+21=3，1+2(-1)=-1，1+2(-2)=一 3，从而 |E+2B|=3(一 1)(一 3)=9，|A|= 1 2 3 =2 故 |A+2AB|=|A(E+2B)|=|A|.|E+2B|=2.9=1817.设 A=E+ T ，其中 ， 均为 n 维列向量，
23、T =3，则|A+2E|= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：23 n）解析：解析：由于 T =3，可知 tr( T )=3 T 的秩为 1，故 0 至少为 T 的 n 一 1 重特征值，故 T 的特征值为 0(n-1 重)，3因此，A+2E= T +3E 的特征值为 3(n-1 重)，6，故 |A+2E|=3 n-1 6=23 n 18.设 A，B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 AB=2A+3B 移项并提公因式可得 A(B 一 2E)一 3B=0再在等
24、式两边同时加上 6E 可得 A(B一 2E)一 3(B 一 2E)=6E，也即 (A 一 3E)(B 一 2E)=6E，进一步有 (B 一 2E)=E可知19.已知 ABC=D，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：20.设 1 =1，0，一 1，2 T ， 2 =2，一 1，一 2，6 T ， 3 =3，1，t，4 T ，=4，-1，一 5，10 T ，已知 不能由 1 ， 2 ， 3 线性表出，则 t= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 3）解析：解析： 21.已知三维向量组 1 ， 2 ， 3 线性无关，则向量组 1 一
25、 2 ， 2 -k 3 ， 3 一 1 也线性无关的充要条件是 k 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析： 1 一 2 ， 2 一 k 3 ， 3 一 1 = 1 ， 2 ， 3 因 1 ， 2 ， 3 线性无关，故 1 一 2 ， 2 一 3 ， 3 一 1 线性无关的充要条件是 三、解答题(总题数：19，分数：38.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.设矩阵 A，B 满足 A*BA=2BA 一 8E，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两边左乘 A，右乘 A -1 ，得 |A|B=2AB-
26、8E，(|A|E-2A)B=-8E， )解析：24.设 A 是 n 阶可逆阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换得到的矩阵记为 B，证明：B 可逆，并推导 A -1 和 B -1 的关系（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 E ij 为初等阵 )解析：25.设 A 是 n 阶可逆阵，其每行元素之和都等于常数 a，证明：(1)a0；(2)A -1 的每行元素之和均为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)将 A 中各列加到第一列，得 若 a=0，则|A|=0，这与 A 是可逆阵矛盾，故 a0 (2)令 A= 1 ， 2 ， n ，A -1 = 1 ， 2 ， n ，E=e 1
27、 ，e 2 ，e n ，由 A -1 A=E，得 A -1 1 ， 2 ， n =e 1 ，e 2 ，e n ， A -1 j =e j ，j=1，n， A -1 1 +A -1 2 +A -1 n =e 1 +e 2 +e n ， 比较以上两式，得证 得证 A -1 的每行元素之和为 )解析：26.(1)A，B 为 n 阶方阵，证明： (2)计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) (2) )解析：27.设有矩阵 A mn ，B nm ，E m +AB 可逆， (1)验证：E n +BA 也可逆，且(E n +BA) -1 =E n B(E m +AB) -1 A； (2)设
28、其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)(E n +BA)(E n -B(E m +AB) -1 A) =E n +BA 一 B(E m +AB) -1 A 一 BAB(E m +AB) -1 A =E n +BAB(E m +AB)(E m +AB) -1 A=E n 故 E n +BA) -1 =E m -B(E m +AB) -1 A 其中 X=x 1 ，x 2 ，x n T ，Y=y 1 ，y 2 ，y n T 因 1+Y T X= =20，由(1)知 P=E+XY T 可逆，且 P -1 =(E+XY T ) -1 =E-X(1+Y T X) -1 Y T =E 一 )
29、解析：28.已知 1 =1，-1，1 T ， 2 =1，t，一 1 T ， 3 =t，1，2 T ，=4，t 2 ，一 4 T ，若 可由 1 ， 2 ， 3 线性表示，且表示法不唯一，求 t 及 的表达式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，按分量写出为 对增广矩阵进行初等行变换得 由条件知 r(A)= r(A)3，从而 t=4，此时，增广矩阵可化为 )解析：29.设向量组 1 ， 2 ， s (s2)线性无关，且 1 = 1 + 2 ， 2 = 2 + 3 ， s-1 = s-1 + s ， s = s + 1 ，讨论向量组 1 ， 2
30、， s 的线性相关性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 1 1 +x 2 2 +x s s =0，即 (x 1 +x s ) 1 +(x 1 +x 2 ) 2 +(x s-1 +x s ) s =0因为 1 ， 2 ， s 线性无关，则 其系数行列式 )解析：30.设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，其中 nm，E 是 n 阶单位矩阵若 AB=E，证明：B 的列向量组线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：nr(B)r(AB)=r(E)=n,r(B)=n，则 B 的列向量组线性无关)解析：31.设向量组 1 ， 2 ， t 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础
31、解系，向量 不是方程组 Ax=0的解，即 A0试证明：向量组 ，+ 1 ，+ 2 ，+ t 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 k+k 1 (+ 1 )+k t (+ t )=0，即 (k+k 1 +k t )+k 1 1 +k t t =0， 等式两边左乘 A，得(k+k 1 +k t )A=0 )解析：32.设向量组()与向量组()，若()可由()线性表示，且 r()=r()=r，证明：(I)与()等价（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设()的一个极大无关组为 1 ， 2 ， r ，()的一个极大无关组为 1 ， 2 ， r 因为()可由()表示，即 1 ， 2
32、， r 可由 1 ， 2 ， r 线性表示，于是 r( 1 , 2 ， r ， 1 ， 2 ， r )=r( 1 ， 2 ， r )=r. 又 1 ， 2 ， r 线性无关，则 1 ， 2 ， r 也可作为 1 ， 2 ， r ， 1 ， 2 ， r 的一个极大无关 组，于是 1 ， 2 ， r 也可由 1 ， 2 ， r 表示，即()也可由()表示，得证)解析：33.求齐次线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 则方程组的解为 令 )解析：34.问 为何值时，线性方程组 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：35. 为何值时，方程组 （分数：2.00）_正确答案
33、：(正确答案：方程组改写为 则有 (1)当 1 且 时，方程组有唯一解； (2)当 =1 时，方程组有无穷多解， 通解为 (3)当 )解析：36.设四元齐次线性方程组()为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)线性方程组()的解为 得所求基础解系 1 =0，0，1，0 T ， 2 =一 1，1，0，1 T (2)将方程组()的通解代入方程组(I)，得 )解析：37.设 1 ， 2 ， s 和 1 ， 2 ， s 分别是 AX=0 和 BX=0 的基础解系，证明：AX=0和 BX=0 有非零公共解的充要条件是 1 ， 2 ， t ， 1 ， 2 ， s 线性相关（分数：2.00）_正
34、确答案：(正确答案： 由 1 ， 2 ， t ， 1 ， 2 ， s 线性相关，知存在k 1 ，k 2 ，k t ，l 1 ，l 2 ，l s 不全为零，使得 k 1 1 +k 2 2 +k t t +l 1 1 +l 2 2 +l s s =0，令 =k 1 1 +k 2 2 +k t t ，则 0(否则 k 1 ，k 2 ，k t ，l 1 ，l 2 ，l s 全为 0)，且 =一 l 1 1 -l 2 2 -l s s ，即一个非零向量 既可由 1 ， 2 ， t 表示，也可由 1 ， 2 ， s 表示，所以 Ax=0 和 Bx=0 有非零公共解 )解析：38.已知 1 =1，2，一 3，1 T ， 2 =5，一 5，a，11 T ， 3 =1，一
