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    【考研类试卷】考研数学二(矩阵)模拟试卷24及答案解析.doc

    • 资源ID:1396330       资源大小:128KB        全文页数:6页
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    【考研类试卷】考研数学二(矩阵)模拟试卷24及答案解析.doc

    1、考研数学二(矩阵)模拟试卷 24 及答案解析(总分:50.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:7,分数:14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 A 为 mn 阶矩阵,B 为 nm 阶矩阵,且 mn,令 r(AB)r,则( )(分数:2.00)A.rmB.rmC.rmD.rm3.设 A 为四阶非零矩阵,且 r(A * )1,则( )(分数:2.00)A.r(A)1B.r(A)2C.r(A)3D.r(A)44.设 A,B 都是 n 阶矩阵,其中 B 是非零矩阵,且 ABO,则( )(分数:2.00)A.r(B)nB.r(B)

    2、nC.A 2 B 2 (AB)(AB)D.A05.设 A,B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵,则 (分数:2.00)A.B.C.D.6.设 (分数:2.00)A.BP 1 P 2 AB.BP 2 P 1 AC.BP 2 AP 1D.BAP 2 P 17.设 ,又 P 1 ,P 2 (分数:2.00)A.BP 1 AP 2B.BP 2 AP 1C.BP 1 -1 AP 1D.BP 1 -1 AP 2 -1二、填空题(总题数:10,分数:20.00)8.设 A (分数:2.00)填空项 1:_9.设 A (分数:2.00)填空项 1:_10.设 A (分数:2.00)填空项 1:_11.设 n

    3、阶矩阵 A 满早 A 2 A3E,则(A3E) -1 1(分数:2.00)填空项 1:_12.设 A ,则 (分数:2.00)填空项 1:_13.设 n 维列向量 (a,0,0,a) T ,其中 a0,又 AE T ,BE (分数:2.00)填空项 1:_14.设三阶矩阵 A,B;满足关系 A -1 BA6ABA,且 A (分数:2.00)填空项 1:_15.设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)2,B (分数:2.00)填空项 1:_16.设 A (分数:2.00)填空项 1:_17. (分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:8,分数:16.00)18.解答题解答应写出文字说明、证

    4、明过程或演算步骤。(分数:2.00)_19.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 2A3EO求:(1)(A2E) -1 ;(2)(A4E) -1 (分数:2.00)_20.设 A 为 n 阶矩阵,且 A k O,求(EA) -1 (分数:2.00)_21.设 A,B 为 n 阶矩阵, (分数:2.00)_22.设 A 为 n 阶可逆矩阵,A 2 AE证明:AA * (分数:2.00)_23.设 A 为 n 阶矩阵,且 A 2 2A8EO证明:r(4EA)r(2EA)n(分数:2.00)_24.证明:若矩阵 A 可逆,则其逆矩阵必然唯一(分数:2.00)_25.设 A 是 mn 阶矩阵,若 A T

    5、AO,证明:AO(分数:2.00)_考研数学二(矩阵)模拟试卷 24 答案解析(总分:50.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:7,分数:14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 A 为 mn 阶矩阵,B 为 nm 阶矩阵,且 mn,令 r(AB)r,则( )(分数:2.00)A.rmB.rmC.rm D.rm解析:解析:显然 AB 为 m 阶矩阵,r(A)n,r(B)n,而 r(AB)minr(A),r(B)nm,所以选 C3.设 A 为四阶非零矩阵,且 r(A * )1,则( )(分数:2.00)A.r(A)1B

    6、.r(A)2C.r(A)3 D.r(A)4解析:解析:因为 r(A * )1,所以 r(A)413,选 C4.设 A,B 都是 n 阶矩阵,其中 B 是非零矩阵,且 ABO,则( )(分数:2.00)A.r(B)nB.r(B)nC.A 2 B 2 (AB)(AB)D.A0 解析:解析:因为 ABO,所以 r(A)r(B)n,又因为 B 是非零矩阵,所以 r(B)1,从而 r(A)n,于是A0,选 D5.设 A,B 分别为 m 阶和 n 阶可逆矩阵,则 (分数:2.00)A.B.C.D. 解析:解析:A,B 都是可逆矩阵,因为 , 所以6.设 (分数:2.00)A.BP 1 P 2 AB.BP

    7、2 P 1 AC.BP 2 AP 1D.BAP 2 P 1 解析:解析:P 1 E 12 ,P 2 E 23 (2),显然 A 首先将第 2 列的两倍加到第 3 列,再将第 1 及第 2 列对调,所以 BAE 23 (2)E 12 AP 2 P 1 ,选 D7.设 ,又 P 1 ,P 2 (分数:2.00)A.BP 1 AP 2B.BP 2 AP 1C.BP 1 -1 AP 1D.BP 1 -1 AP 2 -1 解析:解析:显然 B 二、填空题(总题数:10,分数:20.00)8.设 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:设 ,则 A 于是 A -1 9.

    8、设 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:A10,因为 A * AA -1 ,所以 A * 10A -1 ,故(A * ) -1 10.设 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:11.设 n 阶矩阵 A 满早 A 2 A3E,则(A3E) -1 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*(A4E))解析:解析:由 A 2 A3E,得 A 2 A3EO,(A3E)(A4E)9E, (A3E) (A4E)E,则(A3E) -1 12.设 A ,则 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*

    9、)解析:解析:令 A( 1 , 2 , 3 ),因为A2所以 A * AAE2E, 而 A * A(A * a 1 ,A * 2 ,A * 3 ),所以 A * 1 ,A * 2 ,A * 1 于是 13.设 n 维列向量 (a,0,0,a) T ,其中 a0,又 AE T ,BE (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:由 AB(Eaa T )(E T )E T T 2a T E 且 T O,得 14.设三阶矩阵 A,B;满足关系 A -1 BA6ABA,且 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由 A * BA6ABA,

    10、得 A -1 B6EB,于是(A -1 E)B6E 15.设 A 是 43 阶矩阵且 r(A)2,B (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:因为B100,所以 r(AB)r(A)216.设 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:因为 ABO,所以 r(A)r(B)3,又因为 BO,所以 r(B)1,从而有 r(A)2,显然 A有两行不成比例,故 r(A)2,于是 r(A)217. (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:P 1 E 23 ,因为 E ij -1 E ij ,所以 E ij 2

    11、 E,于是 P 1 2009 P 2 -1 P 1 P 2 -1 三、解答题(总题数:8,分数:16.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:19.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 2A3EO求:(1)(A2E) -1 ;(2)(A4E) -1 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)由 A 2 2A3EO 得 A(A2E)3E, A.(A2E)E,根据逆矩阵的定义,有(A2E) -1 A (2)由 A 2 2A3EO 得(A4E)(A2E)5EO,则(A4E) -1 )解析:20.设 A 为 n 阶矩阵,且 A k O,求(EA) -1 (

    12、分数:2.00)_正确答案:(正确答案:E k A k (EA)(EAA 2 A k-1 ),又 E k A k E, 所以(EA) -1 EAA 2 A k-1 )解析:21.设 A,B 为 n 阶矩阵, (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:PQ ABE 2n (2)因为PAB,所以当 P 可逆时,A B0,而 PQABE 即 PQE,于是 Q 可逆且 Q -1 )解析:22.设 A 为 n 阶可逆矩阵,A 2 AE证明:AA * (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 AA * AE,又已知 A 2 AE,所以 AA * A 2 ,而 A 可逆,故 AA * )解析:23.设

    13、 A 为 n 阶矩阵,且 A 2 2A8EO证明:r(4EA)r(2EA)n(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 A 2 2A8EO 得(4EA)(2EA)O,根据矩阵秩的性质得 r(4EA)r(2EA)n又 r(4EA)r(2EA)r(4EA)(2EA)r(6E)n, 所以有 r(4EA)r(2EA)n)解析:24.证明:若矩阵 A 可逆,则其逆矩阵必然唯一(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:设存在可逆阵 B,C,使得 ABACE,于是 A(BC)O,故 r(A)r(BC)n,因为 A 可逆,所以 r(A)n,从而 r(BC)0,BCO,于是 BC,即 A 的逆矩阵是唯一的)解析:25.设 A 是 mn 阶矩阵,若 A T AO,证明:AO(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 r(A)r(A T A),而 A T AO,所以 r(A)0,于是 AO)解析:


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