1、考研数学二（矩阵）-试卷 9 及答案解析(总分：98.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A、B、AB、A -1 B -1 均为 n 阶可逆方阵，则(A -1 B -1 ) -1 等于 【 】（分数：2.00）A.A -1 B -1B.ABC.A(AB) -1 BD.(AB) -13.设 n 维行向量 （分数：2.00）A.0B.IC.ID.I T 4.设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABCE，则成立 【 】（分数：2.00）A.ACBEB.CBAEC.RACED
2、.BCAE5.设 n 阶方阵 A 的伴随矩阵为 A * ，且Aa0，则A * 【 】（分数：2.00）A.aB.C.a n-1D.a n6.设 （分数：2.00）A.AP 1 P 2 BB.AP 2 P 1 BC.P 1 P 2 ABD.P 2 P 1 AB7.设三阶矩阵 A （分数：2.00）A.ab 或 a2b0B.ab 或 a2b0C.ab 且 a2b0D.ab 且 a2b08.已知矩阵 A 相似于矩阵 B （分数：2.00）A.2B.3C.4D.59.设矩阵 A(a ij ) 33 满足 A * A T ，若 a 11 ，a 12 ，a 13 为三个相等的正数，则 a 11 等于 【
3、】（分数：2.00）A.B.3C.D.二、填空题(总题数：20，分数：40.00)10.设 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A （分数：2.00）填空项 1:_13.设 n(n3)阶方阵 A （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A （分数：2.00）填空项 1:_16.设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则 A 的伴随矩阵 A * 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_17.设 n 阶方阵 A、B 的行列式分别为A2，B3，A * 为 A 的伴随矩阵，则行列式2A * B -1 1（分数
4、：2.00）填空项 1:_18.设 A （分数：2.00）填空项 1:_19. 1 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 A （分数：2.00）填空项 1:_21.设 A、B 为 3 阶方阵 （分数：2.00）填空项 1:_22.设矩阵 A 满足 A 2 A4EO，其中 E 为单位矩阵，则(AE) -1 1（分数：2.00）填空项 1:_23.设 n 维向量 (a，0，0，a) T ，a0；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 AE T ，BE （分数：2.00）填空项 1:_24.设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB2AB，B （分数：2.00）填空项 1:_25.设 3 阶
5、方阵 A 按列分块为 A 1 2 3 ，已知秩(A)3，则 3 阶方阵 B 1 2 2 3 2 1 (2a) 2 3 3 3 1 3 2 的秩 1（分数：2.00）填空项 1:_26.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_27.设 A （分数：2.00）填空项 1:_28.设 A(a ij ) 33 是实正交矩阵，且 a 11 1，b(1，0，0) T ，则线性方程组 Ab 的解是 1（分数：2.00）填空项 1:_29.已知 1 ， 2 均为 2 维向量，矩阵 A2 1 2 ， 1 2 ， 1 ， 2 ，若行列式A6，则B 1，（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数
6、：40.00)30.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_31.设 B 是元素全为 1 的，n 阶方阵(n2)，证明： (EB) -1 E （分数：2.00）_32.设 A、B 都是 n 阶方阵，且 A 2 E，B 2 E，AB0，证明：AB0（分数：2.00）_33.设 A 为 n 阶方阵且 AA T E，A0，求AE（分数：2.00）_34.设 A （分数：2.00）_35.设 APPB，其中 （分数：2.00）_36.设 （分数：2.00）_37.设 n 阶非零实方阵 A 的伴随矩阵为 A * ，且 A * A T 证明A0（分数：2.00）_38.将 n 阶
7、可逆方阵 A 的第 i 行与第 j 行对换后的矩阵记作 B，(1)证明：B 可逆；(2)求 AB -1 （分数：2.00）_39.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * （分数：2.00）_40.设 （分数：2.00）_41.设实方阵 A(a ij ) 44 满足：(1)a ij A ij (i，j1，2，3，4，其中 A ij 为 a ij 的代数余子式)；(2)a 11 0，求A（分数：2.00）_42.设 A * 为 3 阶方阵 A 的伴随矩阵，A （分数：2.00）_43.设 3 阶矩阵 A 可逆，且 A -1 （分数：2.00）_44.设 4 阶方阵 A 2 3 4 ，B 2 3 4 ，其中
8、 ， 2 ， 3 ， 4 都是 4 维列向量，且A4，B1，则AB的值（分数：2.00）_45.设 (1，2，3)，(1， （分数：2.00）_46.设 是 n 维非零列向量，矩阵 AE T 证明：(1)A 2 A 的充要条件是 T 1；(2)当 T 1 时，A 不可逆（分数：2.00）_47.已知矩阵 A(a ij ) 33 的第 1 行元素分别为 a 11 1，a 12 2，a 13 1又知(A * ) T （分数：2.00）_48.已知三阶方阵 A 的行列式A2，矩阵 B （分数：2.00）_49.设矩阵 A （分数：2.00）_考研数学二（矩阵）-试卷 9 答案解析(总分：98.00，
9、做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A、B、AB、A -1 B -1 均为 n 阶可逆方阵，则(A -1 B -1 ) -1 等于 【 】（分数：2.00）A.A -1 B -1B.ABC.A(AB) -1 B D.(AB) -1解析：3.设 n 维行向量 （分数：2.00）A.0B.IC.I D.I T 解析：4.设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABCE，则成立 【 】（分数：2.00）A.ACBEB.CBAEC.RACED.BCAE 解析：5.设 n 阶方阵
10、A 的伴随矩阵为 A * ，且Aa0，则A * 【 】（分数：2.00）A.aB.C.a n-1 D.a n解析：6.设 （分数：2.00）A.AP 1 P 2 BB.AP 2 P 1 BC.P 1 P 2 AB D.P 2 P 1 AB解析：7.设三阶矩阵 A （分数：2.00）A.ab 或 a2b0B.ab 或 a2b0C.ab 且 a2b0 D.ab 且 a2b0解析：8.已知矩阵 A 相似于矩阵 B （分数：2.00）A.2B.3C.4 D.5解析：9.设矩阵 A(a ij ) 33 满足 A * A T ，若 a 11 ，a 12 ，a 13 为三个相等的正数，则 a 11 等于 【
11、 】（分数：2.00）A. B.3C.D.解析：二、填空题(总题数：20，分数：40.00)10.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因 B 为满足秩方阵，故秩(AB)秩(A)211.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：由 BAO 及 BO， A0，12.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：B(A2E) -1 (A 2 4E)(A2E) -1 (A2E)(A2E) A2E 13.设 n(n3)阶方阵 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析
12、：解析：r(A)n1， A1(n1)a(1a) n-1 0， 或 a1，而当 a1 时有r(A)1n1，故必有 a 14.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：两端右乘 A -1 ，得 A * B2B8A -1 ，两端左乘 A 并利用 AA * AE2E，得2B2AB8E， 15.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：O）解析：解析：A 2 2A，故 A n 2A n-1 A n-2 (A 2 2A)O16.设 4 阶方阵 A 的秩为 2，则 A 的伴随矩阵 A * 的秩为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确
13、答案：r(A * )0）解析：解析：r(A 44 )2 A 中 3 阶子式、即每个元素的余子式均为零 17.设 n 阶方阵 A、B 的行列式分别为A2，B3，A * 为 A 的伴随矩阵，则行列式2A * B -1 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：2A * B -1 2A * B -1 2 n A n-1 B -1 18.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：19. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：可利用分块对角阵求逆法，得20.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正
14、确答案：正确答案：1）解析：解析：将 A 的第 1 行的 倍加到第 i 行(i2，3，n)所得矩阵仅有第 1 行非零， 秩(A)1或由 A，其中 (a 1 ，a 2 ，a n ) T ，(b 1 ，b 2 ，b n )，及AO，得 1r(A)r()r()1， 21.设 A、B 为 3 阶方阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：用 A -1 右乘题给等式两端，再用 A 左乘两端，得 22.设矩阵 A 满足 A 2 A4EO，其中 E 为单位矩阵，则(AE) -1 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(A2E)）解析：解析：OA 2 A
15、4E(AE)(A2E)2E4E(AE)(A2E)2E， 23.设 n 维向量 (a，0，0，a) T ，a0；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 AE T ，BE （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：a T 2a 2 ， 24.设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB2AB，B （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：ABB2AO，(AE)B2(AE)2EO，(AE)(B2E)2E，25.设 3 阶方阵 A 按列分块为 A 1 2 3 ，已知秩(A)3，则 3 阶方阵 B 1 2 2 3 2 1 (2a) 2 3 3
16、 3 1 3 2 的秩 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：26.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：27.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 A 2 ， A 3 (A 2 ) 2 E，A 2004 )(A 4 ) 501 E 501 E， 故 B 2004 2A 2 P -1 A 2004 P2A 2 28.设 A(a ij ) 33 是实正交矩阵，且 a 11 1，b(1，0，0) T ，则线性方程组 Ab 的解是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
17、案：正确答案：*）解析：解析：由于正交矩阵的行(列)向量组均为正交单位向量组，故 A ，又 A -1 A T ，故方程组 Ab 的解为 A -1 bA T b 29.已知 1 ， 2 均为 2 维向量，矩阵 A2 1 2 ， 1 2 ， 1 ， 2 ，若行列式A6，则B 1，（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：A2 1 2 ， 1 2 1 ， 2 三、解答题(总题数：20，分数：40.00)30.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：31.设 B 是元素全为 1 的，n 阶方阵(n2)，证明： (EB) -1 E （分数：2
18、.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设 A、B 都是 n 阶方阵，且 A 2 E，B 2 E，AB0，证明：AB0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由条件得A 2 1，B 2 1 A1，B1，又AB AB1，故ABAEEBAB 2 A 2 BA(BA)BABABAB )解析：33.设 A 为 n 阶方阵且 AA T E，A0，求AE（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AEAAA T A(EA T )A(EA T ) T AEAAEA (1A)AE0，又 1A0 )解析：34.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B(A2E) -1 A )解析：35.设 A
19、PPB，其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：36.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A(CB) T E， A(CB) T -1 )解析：37.设 n 阶非零实方阵 A 的伴随矩阵为 A * ，且 A * A T 证明A0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AA T AA * AE，若A0，则得 AA T O，其(i，i)元素为 a ik 0(i，k1，2，n) )解析：38.将 n 阶可逆方阵 A 的第 i 行与第 j 行对换后的矩阵记作 B，(1)证明：B 可逆；(2)求 AB -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)BA0 )解析：39
20、.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由A * A n-1 ，有A 3 8，得A2用 A 右乘题设等式两端，用 A * 左乘两端，并利用 A * AAE2E，得 2BA * B6E B6(2EA * ) -1 )解析：40.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 2 4E A 2m (A 2 ) m 4 m E，A 2m+1 A 2m A4 m A(m1，2，) (2)A -1 A，ABEAA 2 ，两端左乘 A -1 ， 得 BA -1 EA )解析：41.设实方阵 A(a ij ) 44 满足：(1)a ij A ij (i，j1，2，
21、3，4，其中 A ij 为 a ij 的代数余子式)；(2)a 11 0，求A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a ij A ij (i，j1，2，3，4) A T A * A T A * ，即AA 3 ， A(1A 2 )0， A取值范围为 0，1，1，又A )解析：42.设 A * 为 3 阶方阵 A 的伴随矩阵，A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：43.设 3 阶矩阵 A 可逆，且 A -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：44.设 4 阶方阵 A 2 3 4 ，B 2 3 4 ，其中 ， 2 ， 3 ， 4 都是 4 维列向量，且A4，B
22、1，则AB的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AB 2 2 2 3 2 4 8 2 3 4 8( 2 3 4 2 3 4 )8(41)40)解析：45.设 (1，2，3)，(1， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A n ( T )( T )( T )( T ) T ( T )( T ) T 3 n-1 3 n-1 T )解析：46.设 是 n 维非零列向量，矩阵 AE T 证明：(1)A 2 A 的充要条件是 T 1；(2)当 T 1 时，A 不可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A 2 A (E T )(E T )E T E2 T ( T ) T E T
23、( T 1) T O(注意 T O) )解析：47.已知矩阵 A(a ij ) 33 的第 1 行元素分别为 a 11 1，a 12 2，a 13 1又知(A * ) T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(A * ) T (A ij )知 A 11 7，A 12 5，A 13 4， Aa 11 A 11 a 12 A 12 a 13 A 13 1，又 AA * AEE， A(A * ) -1 )解析：48.已知三阶方阵 A 的行列式A2，矩阵 B （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矩阵 B 可看成是由 A * 互换 1、3 两列所得到的，故有 )解析：49.设矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(A * ) -1 AA，给题设方程两端右乘(A * ) -1 A，得 ABB8A 2 ， )解析：
