1、考研数学二(矩阵)-试卷 9 及答案解析(总分:98.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2.设 A、B、AB、A -1 B -1 均为 n 阶可逆方阵,则(A -1 B -1 ) -1 等于 【 】(分数:2.00)A.A -1 B -1B.ABC.A(AB) -1 BD.(AB) -13.设 n 维行向量 (分数:2.00)A.0B.IC.ID.I T 4.设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABCE,则成立 【 】(分数:2.00)A.ACBEB.CBAEC.RACED
2、.BCAE5.设 n 阶方阵 A 的伴随矩阵为 A * ,且Aa0,则A * 【 】(分数:2.00)A.aB.C.a n-1D.a n6.设 (分数:2.00)A.AP 1 P 2 BB.AP 2 P 1 BC.P 1 P 2 ABD.P 2 P 1 AB7.设三阶矩阵 A (分数:2.00)A.ab 或 a2b0B.ab 或 a2b0C.ab 且 a2b0D.ab 且 a2b08.已知矩阵 A 相似于矩阵 B (分数:2.00)A.2B.3C.4D.59.设矩阵 A(a ij ) 33 满足 A * A T ,若 a 11 ,a 12 ,a 13 为三个相等的正数,则 a 11 等于 【
3、】(分数:2.00)A.B.3C.D.二、填空题(总题数:20,分数:40.00)10.设 (分数:2.00)填空项 1:_11.设 A (分数:2.00)填空项 1:_12.设 A (分数:2.00)填空项 1:_13.设 n(n3)阶方阵 A (分数:2.00)填空项 1:_14.设 A (分数:2.00)填空项 1:_15.设 A (分数:2.00)填空项 1:_16.设 4 阶方阵 A 的秩为 2,则 A 的伴随矩阵 A * 的秩为 1(分数:2.00)填空项 1:_17.设 n 阶方阵 A、B 的行列式分别为A2,B3,A * 为 A 的伴随矩阵,则行列式2A * B -1 1(分数
4、:2.00)填空项 1:_18.设 A (分数:2.00)填空项 1:_19. 1 (分数:2.00)填空项 1:_20.设 A (分数:2.00)填空项 1:_21.设 A、B 为 3 阶方阵 (分数:2.00)填空项 1:_22.设矩阵 A 满足 A 2 A4EO,其中 E 为单位矩阵,则(AE) -1 1(分数:2.00)填空项 1:_23.设 n 维向量 (a,0,0,a) T ,a0;E 为 n 阶单位矩阵,矩阵 AE T ,BE (分数:2.00)填空项 1:_24.设 A、B 均为三阶矩阵,E 是三阶单位矩阵,已知 AB2AB,B (分数:2.00)填空项 1:_25.设 3 阶
5、方阵 A 按列分块为 A 1 2 3 ,已知秩(A)3,则 3 阶方阵 B 1 2 2 3 2 1 (2a) 2 3 3 3 1 3 2 的秩 1(分数:2.00)填空项 1:_26.设矩阵 (分数:2.00)填空项 1:_27.设 A (分数:2.00)填空项 1:_28.设 A(a ij ) 33 是实正交矩阵,且 a 11 1,b(1,0,0) T ,则线性方程组 Ab 的解是 1(分数:2.00)填空项 1:_29.已知 1 , 2 均为 2 维向量,矩阵 A2 1 2 , 1 2 , 1 , 2 ,若行列式A6,则B 1,(分数:2.00)填空项 1:_三、解答题(总题数:20,分数
6、:40.00)30.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_31.设 B 是元素全为 1 的,n 阶方阵(n2),证明: (EB) -1 E (分数:2.00)_32.设 A、B 都是 n 阶方阵,且 A 2 E,B 2 E,AB0,证明:AB0(分数:2.00)_33.设 A 为 n 阶方阵且 AA T E,A0,求AE(分数:2.00)_34.设 A (分数:2.00)_35.设 APPB,其中 (分数:2.00)_36.设 (分数:2.00)_37.设 n 阶非零实方阵 A 的伴随矩阵为 A * ,且 A * A T 证明A0(分数:2.00)_38.将 n 阶
7、可逆方阵 A 的第 i 行与第 j 行对换后的矩阵记作 B,(1)证明:B 可逆;(2)求 AB -1 (分数:2.00)_39.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * (分数:2.00)_40.设 (分数:2.00)_41.设实方阵 A(a ij ) 44 满足:(1)a ij A ij (i,j1,2,3,4,其中 A ij 为 a ij 的代数余子式);(2)a 11 0,求A(分数:2.00)_42.设 A * 为 3 阶方阵 A 的伴随矩阵,A (分数:2.00)_43.设 3 阶矩阵 A 可逆,且 A -1 (分数:2.00)_44.设 4 阶方阵 A 2 3 4 ,B 2 3 4 ,其中
8、 , 2 , 3 , 4 都是 4 维列向量,且A4,B1,则AB的值(分数:2.00)_45.设 (1,2,3),(1, (分数:2.00)_46.设 是 n 维非零列向量,矩阵 AE T 证明:(1)A 2 A 的充要条件是 T 1;(2)当 T 1 时,A 不可逆(分数:2.00)_47.已知矩阵 A(a ij ) 33 的第 1 行元素分别为 a 11 1,a 12 2,a 13 1又知(A * ) T (分数:2.00)_48.已知三阶方阵 A 的行列式A2,矩阵 B (分数:2.00)_49.设矩阵 A (分数:2.00)_考研数学二(矩阵)-试卷 9 答案解析(总分:98.00,
9、做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:9,分数:18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2.设 A、B、AB、A -1 B -1 均为 n 阶可逆方阵,则(A -1 B -1 ) -1 等于 【 】(分数:2.00)A.A -1 B -1B.ABC.A(AB) -1 B D.(AB) -1解析:3.设 n 维行向量 (分数:2.00)A.0B.IC.I D.I T 解析:4.设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABCE,则成立 【 】(分数:2.00)A.ACBEB.CBAEC.RACED.BCAE 解析:5.设 n 阶方阵
10、A 的伴随矩阵为 A * ,且Aa0,则A * 【 】(分数:2.00)A.aB.C.a n-1 D.a n解析:6.设 (分数:2.00)A.AP 1 P 2 BB.AP 2 P 1 BC.P 1 P 2 AB D.P 2 P 1 AB解析:7.设三阶矩阵 A (分数:2.00)A.ab 或 a2b0B.ab 或 a2b0C.ab 且 a2b0 D.ab 且 a2b0解析:8.已知矩阵 A 相似于矩阵 B (分数:2.00)A.2B.3C.4 D.5解析:9.设矩阵 A(a ij ) 33 满足 A * A T ,若 a 11 ,a 12 ,a 13 为三个相等的正数,则 a 11 等于 【
11、 】(分数:2.00)A. B.3C.D.解析:二、填空题(总题数:20,分数:40.00)10.设 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:因 B 为满足秩方阵,故秩(AB)秩(A)211.设 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:3)解析:解析:由 BAO 及 BO, A0,12.设 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:B(A2E) -1 (A 2 4E)(A2E) -1 (A2E)(A2E) A2E 13.设 n(n3)阶方阵 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析
12、:解析:r(A)n1, A1(n1)a(1a) n-1 0, 或 a1,而当 a1 时有r(A)1n1,故必有 a 14.设 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:两端右乘 A -1 ,得 A * B2B8A -1 ,两端左乘 A 并利用 AA * AE2E,得2B2AB8E, 15.设 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:O)解析:解析:A 2 2A,故 A n 2A n-1 A n-2 (A 2 2A)O16.设 4 阶方阵 A 的秩为 2,则 A 的伴随矩阵 A * 的秩为 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确
13、答案:r(A * )0)解析:解析:r(A 44 )2 A 中 3 阶子式、即每个元素的余子式均为零 17.设 n 阶方阵 A、B 的行列式分别为A2,B3,A * 为 A 的伴随矩阵,则行列式2A * B -1 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:2A * B -1 2A * B -1 2 n A n-1 B -1 18.设 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:19. 1 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:可利用分块对角阵求逆法,得20.设 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正
14、确答案:正确答案:1)解析:解析:将 A 的第 1 行的 倍加到第 i 行(i2,3,n)所得矩阵仅有第 1 行非零, 秩(A)1或由 A,其中 (a 1 ,a 2 ,a n ) T ,(b 1 ,b 2 ,b n ),及AO,得 1r(A)r()r()1, 21.设 A、B 为 3 阶方阵 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:用 A -1 右乘题给等式两端,再用 A 左乘两端,得 22.设矩阵 A 满足 A 2 A4EO,其中 E 为单位矩阵,则(AE) -1 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*(A2E))解析:解析:OA 2 A
15、4E(AE)(A2E)2E4E(AE)(A2E)2E, 23.设 n 维向量 (a,0,0,a) T ,a0;E 为 n 阶单位矩阵,矩阵 AE T ,BE (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:1)解析:解析:a T 2a 2 , 24.设 A、B 均为三阶矩阵,E 是三阶单位矩阵,已知 AB2AB,B (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:ABB2AO,(AE)B2(AE)2EO,(AE)(B2E)2E,25.设 3 阶方阵 A 按列分块为 A 1 2 3 ,已知秩(A)3,则 3 阶方阵 B 1 2 2 3 2 1 (2a) 2 3 3
16、 3 1 3 2 的秩 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:26.设矩阵 (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:27.设 A (分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:*)解析:解析:由于 A 2 , A 3 (A 2 ) 2 E,A 2004 )(A 4 ) 501 E 501 E, 故 B 2004 2A 2 P -1 A 2004 P2A 2 28.设 A(a ij ) 33 是实正交矩阵,且 a 11 1,b(1,0,0) T ,则线性方程组 Ab 的解是 1(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答
17、案:正确答案:*)解析:解析:由于正交矩阵的行(列)向量组均为正交单位向量组,故 A ,又 A -1 A T ,故方程组 Ab 的解为 A -1 bA T b 29.已知 1 , 2 均为 2 维向量,矩阵 A2 1 2 , 1 2 , 1 , 2 ,若行列式A6,则B 1,(分数:2.00)填空项 1:_ (正确答案:正确答案:2)解析:解析:A2 1 2 , 1 2 1 , 2 三、解答题(总题数:20,分数:40.00)30.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:31.设 B 是元素全为 1 的,n 阶方阵(n2),证明: (EB) -1 E (分数:2
18、.00)_正确答案:(正确答案: )解析:32.设 A、B 都是 n 阶方阵,且 A 2 E,B 2 E,AB0,证明:AB0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由条件得A 2 1,B 2 1 A1,B1,又AB AB1,故ABAEEBAB 2 A 2 BA(BA)BABABAB )解析:33.设 A 为 n 阶方阵且 AA T E,A0,求AE(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:AEAAA T A(EA T )A(EA T ) T AEAAEA (1A)AE0,又 1A0 )解析:34.设 A (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:B(A2E) -1 A )解析:35.设 A
19、PPB,其中 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:36.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A(CB) T E, A(CB) T -1 )解析:37.设 n 阶非零实方阵 A 的伴随矩阵为 A * ,且 A * A T 证明A0(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:AA T AA * AE,若A0,则得 AA T O,其(i,i)元素为 a ik 0(i,k1,2,n) )解析:38.将 n 阶可逆方阵 A 的第 i 行与第 j 行对换后的矩阵记作 B,(1)证明:B 可逆;(2)求 AB -1 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)BA0 )解析:39
20、.设矩阵 A 的伴随矩阵 A * (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由A * A n-1 ,有A 3 8,得A2用 A 右乘题设等式两端,用 A * 左乘两端,并利用 A * AAE2E,得 2BA * B6E B6(2EA * ) -1 )解析:40.设 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)A 2 4E A 2m (A 2 ) m 4 m E,A 2m+1 A 2m A4 m A(m1,2,) (2)A -1 A,ABEAA 2 ,两端左乘 A -1 , 得 BA -1 EA )解析:41.设实方阵 A(a ij ) 44 满足:(1)a ij A ij (i,j1,2,
21、3,4,其中 A ij 为 a ij 的代数余子式);(2)a 11 0,求A(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:a ij A ij (i,j1,2,3,4) A T A * A T A * ,即AA 3 , A(1A 2 )0, A取值范围为 0,1,1,又A )解析:42.设 A * 为 3 阶方阵 A 的伴随矩阵,A (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:43.设 3 阶矩阵 A 可逆,且 A -1 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案: )解析:44.设 4 阶方阵 A 2 3 4 ,B 2 3 4 ,其中 , 2 , 3 , 4 都是 4 维列向量,且A4,B
22、1,则AB的值(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:AB 2 2 2 3 2 4 8 2 3 4 8( 2 3 4 2 3 4 )8(41)40)解析:45.设 (1,2,3),(1, (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:A n ( T )( T )( T )( T ) T ( T )( T ) T 3 n-1 3 n-1 T )解析:46.设 是 n 维非零列向量,矩阵 AE T 证明:(1)A 2 A 的充要条件是 T 1;(2)当 T 1 时,A 不可逆(分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(1)A 2 A (E T )(E T )E T E2 T ( T ) T E T
23、( T 1) T O(注意 T O) )解析:47.已知矩阵 A(a ij ) 33 的第 1 行元素分别为 a 11 1,a 12 2,a 13 1又知(A * ) T (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由(A * ) T (A ij )知 A 11 7,A 12 5,A 13 4, Aa 11 A 11 a 12 A 12 a 13 A 13 1,又 AA * AEE, A(A * ) -1 )解析:48.已知三阶方阵 A 的行列式A2,矩阵 B (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:矩阵 B 可看成是由 A * 互换 1、3 两列所得到的,故有 )解析:49.设矩阵 A (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:(A * ) -1 AA,给题设方程两端右乘(A * ) -1 A,得 ABB8A 2 , )解析: