1、考研数学二（矩阵）-试卷 8 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，必有AB0B.当 mn 时，必有AB=0C.当 nm 时，必有AB0D.当 nm 时，必有AB=03.设 A，B，A+B，A -1 +B -1 皆为可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1 等于( )（分数：2.00）A.A+BB.A -1 +B -1C.A(A+B) -1 BD.(A+B)
2、 -14.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.(A+B) * =A * +B *B.(AB) * =B * A *C.(A-B) * =A * -B *D.(A+B) * 一定可逆5.设 A 为 n 阶矩阵，k 为常数，则(kA) * 等于( )（分数：2.00）A.kA *B.k n A *C.k n-1 A *D.k n(n-1) A *6.设 A 为 n 阶矩阵，A 2 =A，则下列成立的是( )（分数：2.00）A.A=OB.A=EC.若 A 不可逆，则 A=OD.若 A 可逆，则 A=E7.设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)=mn，则( )（分数：2.
3、00）A.A 的任意 m 个列向量都线性无关B.A 的任意 m 阶子式都不等于零C.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多个解D.矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E n ：O)8.设 P 1 = （分数：2.00）A.m=3，n=2B.m=3，n=5C.m=2，n=3D.m=2，n=29.设 A= （分数：2.00）A.A -1 P 1 P 2B.P 1 A -1 P 2C.P 1 P 2 A -1D.P 2 A -1 P 110.设 P= （分数：2.00）A.当 t=6 时，r(Q)=1B.当 t=6 时，r(Q)=2C.当 t6 时，r(Q)=1D.当 t6 时，r(Q)=2二、
4、填空题(总题数：5，分数：10.00)11.设 A，B 都是三阶矩阵，A= （分数：2.00）填空项 1:_12.设矩阵 A，B 满足 A * BA=2BA-8E，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_15.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 A=E= T ，其中 为 n 维非零列向量证明：（分数：4.00）(1).A 2 =A 的充分必要条件是 为单位向量；（分数：2.00）_(2).当
5、是单位向量时 A 为不可逆矩阵（分数：2.00）_设 A 为 n 阶非奇异矩阵， 是 n 维列向量，b 为常数，P= （分数：4.00）(1).计算 PQ；（分数：2.00）_(2).证明 PQ 可逆的充分必要条件是 T A -1 b（分数：2.00）_17.设矩阵 A 满足(2E-C -1 B)AT=C -1 ，且 B= （分数：2.00）_18.设 ， 是 n 维非零列向量，A= T + T 证明：r(A)2（分数：2.00）_19.设 是 n 维单位列向量，A=E- T 证明：r(A)n（分数：2.00）_20.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A * )= （分数：2.00）_21.设
6、 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ，使得 A= T（分数：2.00）_22.设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)=n-1证明：存在常数 k，使得(A * ) 2 =kA * （分数：2.00）_23.设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A * ) * =A n-2 A（分数：2.00）_24.设 A，B 分别为 mn 及 n5 阶矩阵，且 AB=O证明：r(A)+r(B)n（分数：2.00）_考研数学二（矩阵）-试卷 8 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项
7、中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（分数：2.00）A.当 mn 时，必有AB0B.当 mn 时，必有AB=0 C.当 nm 时，必有AB0D.当 nm 时，必有AB=0解析：解析：AB 为 m 阶矩阵，因为 r(A)minm，n，r(B)rainm，n，且 r(AB)rain(r(A)，r(B)，所以 r(AB)minm，n，故当 mn 时，r(AB)nm，于是AB=0，选(B)3.设 A，B，A+B，A -1 +B -1 皆为可逆矩阵，则(A -1 +B -1 ) -1 等于( )（分数：2.00）A.A+B
8、B.A -1 +B -1C.A(A+B) -1 B D.(A+B) -1解析：解析：A(A+B) -1 B(A 1 +B 1 )=(A+B)A -1 -1 (BA -1 +E)=(BA -1 +E) -1 (BA -1 +E)=E，所以选(C)4.设 A，B 都是 n 阶可逆矩阵，则( )（分数：2.00）A.(A+B) * =A * +B *B.(AB) * =B * A * C.(A-B) * =A * -B *D.(A+B) * 一定可逆解析：解析：因为(AB) * =AB(AB) -1 =ABB -1 A -1 =BB -1 .AA -1 =B * A * ，所以选(B)5.设 A 为
9、 n 阶矩阵，k 为常数，则(kA) * 等于( )（分数：2.00）A.kA *B.k n A *C.k n-1 A * D.k n(n-1) A *解析：解析：因为(kA) * 的每个元素都是 kA 的代数余子式，而余子式为 n-1 阶子式，所以(kA) * =k n-1 A * ，选(C)6.设 A 为 n 阶矩阵，A 2 =A，则下列成立的是( )（分数：2.00）A.A=OB.A=EC.若 A 不可逆，则 A=OD.若 A 可逆，则 A=E 解析：解析：因为 A 2 =A，所以 A(E-A)=O，由矩阵秩的性质得 r(A)+r(E-A)=n，若 A 可逆，则 r(A)=n，所以 r(
10、E-A)=0，A=E，选(D)7.设 A 为 mn 阶矩阵，且 r(A)=mn，则( )（分数：2.00）A.A 的任意 m 个列向量都线性无关B.A 的任意 m 阶子式都不等于零C.非齐次线性方程组 AX=b 一定有无穷多个解 D.矩阵 A 通过初等行变换一定可以化为(E n ：O)解析：解析：显然由 r(A)=mn，得 r(A)=8.设 P 1 = （分数：2.00）A.m=3，n=2B.m=3，n=5 C.m=2，n=3D.m=2，n=2解析：解析： 经过了 A 的第 1，2 两行对调与第 1，3 两列对调，P 1 = 9.设 A= （分数：2.00）A.A -1 P 1 P 2B.P
11、1 A -1 P 2C.P 1 P 2 A -1 D.P 2 A -1 P 1解析：解析：B=AE 14 E 23 或 B=AE 23 E 14 即 B=AP 1 P 2 或 B=AP 2 P 1 ，所以 B -1 = 10.设 P= （分数：2.00）A.当 t=6 时，r(Q)=1B.当 t=6 时，r(Q)=2C.当 t6 时，r(Q)=1 D.当 t6 时，r(Q)=2解析：解析：因为 QO，所以 r(Q)1，又由 PQ=O 得 r(P)+r(Q)3，当 t6 时，r(P)2，则 r(Q)1，于是 r(Q)=1，选(C)二、填空题(总题数：5，分数：10.00)11.设 A，B 都是三
12、阶矩阵，A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A=-3，A * =AA=-3A -1 ，则(A * ) -1 B=ABA+2A 2 化为 AB=ABA+2A 2 ，注意到 A 可逆，得 B=BA+2A 或-B=3BA+6A，则 B=-6A(E+3A) -1 ，E+3A= 12.设矩阵 A，B 满足 A * BA=2BA-8E，且 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A * BA=2BA-8E，得 AA * BA=2ABA-8A，即-2BA=2ABA-8A，于是-2B=2AB-8E，(A+E)B=4E，所以 B
13、=4(A+E) -1 = 13.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：6）解析：解析：因为 r(B * )=1，所以 r(B)=2，又因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，从而 r(A)1，又 r(A)1，r(A)=1，于是 t=615.设 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：BA=O三、解答题(总题数：11，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 A=E= T ，其中 为 n 维非零列向量证
14、明：（分数：4.00）(1).A 2 =A 的充分必要条件是 为单位向量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 T =k，则 A 2 =(E- T )(E- T )=E-2 T +k T ，因为 为非零向量，所以 T O，于是 A 2 =A 的充分必要条件是 k=1，而 T = 2 ，所以 A 2 =A的充要条件是 为单位向量)解析：(2).当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 是单位向量时，由 A 2 =A 得 r(A)+r(E-A)=n，因为 E-A= T O，所以r(E-A)1，于是 r(A)n-1n，故 A 是不可逆矩阵)解析：设 A
15、为 n 阶非奇异矩阵， 是 n 维列向量，b 为常数，P= （分数：4.00）(1).计算 PQ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：PQ= )解析：(2).证明 PQ 可逆的充分必要条件是 T A -1 b（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：PQ=A 2 (b- T A -1 )，PQ 可逆的充分必要条件是PQ0，即 T A -1 b)解析：17.设矩阵 A 满足(2E-C -1 B)AT=C -1 ，且 B= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(2E-C -1 B)A T =C -1 ，得 A T =(2E-C -1 B) -1 C -1 =C(2E-C -1 B)
16、-1 1=(2C-B) -1 2C-B 得 A T =(2C-B) -1 = )解析：18.设 ， 是 n 维非零列向量，A= T + T 证明：r(A)2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r(A)=r( T + T )r( T )+r( T )，而 r( T )r()=1，r( T )r(B)=1，所以 r(A)r( T )+r( T )2)解析：19.设 是 n 维单位列向量，A=E- T 证明：r(A)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 =(E- T )(E- T )=E-2 T + T . T ，因为 为单位列向量，所以 T =1，于是 A 2 =A由 A(E-
17、A)=O 得 r(A)+r(E-A)n，又由 r(A)+r(E-A)rA+(E-A)=r(E)=n，得 r(A)+r(E-A)=n因为 E-A= T 0，所以 r(E-A)=r( T )=r()=1，故 r(A)=n-1n)解析：20.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A * )= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AA * =A * A=AE 当 r(A)=n 时，A0，因为A * =A n-1 ，所以A * 0，从而 r(A * )=n； 当 r(A)=n-1 时，由于 A 至少有一个 n-1 阶子式不为零，所以存在一个M ij 0，进而 A ij 0，于是 A * O，故 r(A
18、 * )1，又因为A=0，所以 AA * =AE=O，根据矩阵秩的性质有 r(A)+r(A * )n，而 r(A)=n-1，于是得 r(A * )1，故 r(A * )=1； 当 r(A)n-1 时，由于 A 的所有 n-1 阶子式都为零，所以 A * =O，故 r(A * )=0)解析：21.设 A 为 n 阶矩阵，证明：r(A)=1 的充分必要条件是存在 n 维非零列向量 ，使得 A= T（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 r(A)=1，则 A 为非零矩阵且 A 的每行元素都成比例， 令 A= )解析：22.设 A 为 n 阶矩阵且 r(A)=n-1证明：存在常数 k，使得(A
19、* ) 2 =kA * （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 r(A)=n-1，所以 r(A * )=1，于是 A * = )解析：23.设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A * ) * =A n-2 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(A * ) * A * =A * E=A n-1 E，当 r(A)=n 时，r(A * )=n，A * =AA -1 ，则(A * ) * A * =(A * ) * AA -1 =A n-1 E，故(A * ) * =A n-2 A当 r(A)=n-1 时，A=0,r(A * )=1，r(A * ) * =0，即(A * ) * =O，原式显然成立当 r(A)n-1 时，A=0，r(A * )=0，(A * ) * =O，原式也成立)解析：24.设 A，B 分别为 mn 及 n5 阶矩阵，且 AB=O证明：r(A)+r(B)n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 B=( 1 ， 2 ， s )，因为 AB=O，所以 B 的列向量组 1 ， 2 ， s 为方程组 AX=0 的一组解，而方程组 AX=0 的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为 n-r(A)，所以向量组 1 ， 2 ， s 的秩不超过 n-r(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此r(B)n-r(A)，即 r(A)+r(B)n)解析：
