1、考研数学二（矩阵）-试卷 7 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为 n 阶方阵，且 A 的行列式A=a0，A * 是 A 的伴随矩阵，则A * 等于( )（分数：2.00）A.aB.C.a n-1 D.a n 3.设 A 和 B 都是 n 阶矩阵，则必有( )（分数：2.00）A.A+B=A+BB.AB=BAC.AB=BAD.(A+B) 一 1 =A 一 1 +B -1 4.设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是
2、n 阶单位阵，则必有( )（分数：2.00）A.ACB=EB.CBA=EC.BAC=ED.BCA=E5.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 ，矩阵 B=AC 的秩为 r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1 B.rr 1 C.r=r 1D.r 与 r 1 的关系依 C 而定6.设三阶矩阵 （分数：2.00）A.a=b 或 a+2b=0B.a=b 或 a+2b0C.ab 且 a+2b=0D.ab 或 a+2b07.设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q
3、为( )（分数：2.00）A.B.C.D.8.已知矩阵 ，那么下列矩阵中(1) (2) (3) (4) （分数：2.00）A.1B.2C.3D.g9.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A 3 =O，则( )（分数：2.00）A.EA 不可逆，E+A 不可逆B.EA 不可逆，E+A 可逆C.EA 可逆，E+A 可逆D.EA 可逆，E+A 不可逆10.设 A，B 均为 2 阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵，若A=2，B=3，则分块矩阵 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：17，分数：34.00)11.设 （分数：2.00）填空项 1:_12
4、.已知 2CA 一 2AB=C 一 B，其中 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 （分数：2.00）填空项 1:_16.已知 n 阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 =A，E 为 n 阶单位阵，则 r(A)+r(AE)= 1?（分数：2.00）填空项 1:_18.已知 （分数：2.00）填空项 1:_19.已知 1 =(1，0，0) T ， 2 =(1，2，一 1) T ， 3 =(一 1，1，0) T ，且 A 1 =(2，1) T ，A 3 =(一 1，1)
5、T，A) T =(3，一 4) T ，则 A= 1.（分数：2.00）填空项 1:_20.设 A、B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A= （分数：2.00）填空项 1:_21.设 （分数：2.00）填空项 1:_22.设矩阵 A 与 （分数：2.00）填空项 1:_23.设 A 是一个 n 阶矩阵，且 A 2 一 2A 一 8E=0，则 r(4EA)+r(2E+A)= 1?（分数：2.00）填空项 1:_24.设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A 一 1 BA=6A+BA，且 （分数：2.00）填空项 1:_25.设 （分数：2.00）填空项 1:_26.
6、设 A 是 43 矩阵，且 A 的秩 r(A)=2，而 （分数：2.00）填空项 1:_27.设 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：7，分数：14.00)28.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_29.已知 （分数：2.00）_设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 （分数：4.00）(1).计算并化简 PQ；（分数：2.00）_(2).证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 T A 一 1 b（分数：2.00）_30.设 ， 为 3 维列向量，矩阵 A= T + T ，其中 T ， T 分别为 ， 的转置证明：r(A)2（分数：2.0
7、0）_31.设 （分数：2.00）_32.已知矩阵 A 的伴随矩阵 A * =diag(1，1，1，8)，且 ABA -1 =BA -1 +3E，求 B（分数：2.00）_33.设方阵 A 满足 A 2 一 A 一 2 层=0，证明 A 及 A+2E 都可逆，并求 A 一 1 及(A+2E) 一 1 （分数：2.00）_考研数学二（矩阵）-试卷 7 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为 n 阶方阵，且 A 的行列式A=a0，A * 是
8、A 的伴随矩阵，则A * 等于( )（分数：2.00）A.aB.C.a n-1 D.a n 解析：解析：对 AA * =AE 两边取行列式，得AA * =AE=A n 由A=a0，可得A * =A n-1 =a n-1 3.设 A 和 B 都是 n 阶矩阵，则必有( )（分数：2.00）A.A+B=A+BB.AB=BAC.AB=BA D.(A+B) 一 1 =A 一 1 +B -1 解析：解析：因为AB=AB=BA=BA，所以 C 正确对于选项 A，取 B=一 A，则A+B=0，而A+B不一定必为零，故 A 错误对于选项 B，由矩阵乘法不满足交换律知，B 不正确对于选项 D，因(A+B)(A
9、-1 +B -1 )E，故 D 也不正确4.设 n 阶方阵 A、B、C 满足关系式 ABC=E，其中 E 是 n 阶单位阵，则必有( )（分数：2.00）A.ACB=EB.CBA=EC.BAC=ED.BCA=E 解析：解析：由题设 ABC=E，可知 A(BC)=E 或(AB)C=E，即 A 与 BC 以及 AB 与 C 均互为逆矩阵，从而有(BC)A=BCA=E 或 C(AB)=CAB=E，比较四个选项可知应选 D5.设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 ，矩阵 B=AC 的秩为 r 1 ，则( )（分数：2.00）A.rr 1 B.rr 1 C.r=r 1 D.r
10、 与 r 1 的关系依 C 而定解析：解析：因为 B=AC=EAC，其中 E 为 m 阶单位矩阵，而 E 与 C 均可逆，由矩阵的等价定义可知，矩阵B 与 A 等价，从而 r(B)=r(A)所以应选 C6.设三阶矩阵 （分数：2.00）A.a=b 或 a+2b=0B.a=b 或 a+2b0C.ab 且 a+2b=0 D.ab 或 a+2b0解析：解析：根据矩阵 A 与其伴随矩阵 A * 秩的关系可知，r(A)=2，即 A 为降秩矩阵，从而 7.设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQ=C 的可逆矩阵 Q 为(
11、)（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由题设，有8.已知矩阵 ，那么下列矩阵中(1) (2) (3) (4) （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.g解析：解析：二阶矩阵 A 有两个不同的特征值 1 和 3，因此 ，那么只要和矩阵 A 有相同的特征值，它就一定和 A 相似，也就一定与 A 相似(1)和(2)分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是 1 和 3，所以它们均与 A 相似，对于(3)和(4)，由9.设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A 3 =O，则( )（分数：2.00）A.EA 不可逆，E+A 不可逆B.EA 不可逆，E+A 可逆C.EA 可逆，E+
12、A 可逆 D.EA 可逆，E+A 不可逆解析：解析：已知(EA)(E+A+A 2 )=EA 3 =E，(E+A)(EA+A 2 )=E+A 3 =E故 EA，E+A 均可逆故应选 C10.设 A，B 均为 2 阶矩阵，A * ，B * 分别为 A，B 的伴随矩阵，若A=2，B=3，则分块矩阵 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：若矩阵 A 的行列式A0，则 A 可逆，且 的行列 ，即分块矩阵可逆，那么根据公式有二、填空题(总题数：17，分数：34.00)11.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 且矩阵的乘法满足结合律，A 3 =( T
13、)( T )( T )=( T )( T ) T 12.已知 2CA 一 2AB=C 一 B，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 2CA 一 2AB=CB，得 2CAC=2AB 一 B，因此有 C(2AE)=(2AE)B13.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对已知矩阵和单位矩阵同时作初等变换，即14.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）解析：解析：对 A 作初等变换，15.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 AB=O，则有 r(
14、A)+r(B)3，又已知矩阵 BO，因此 r(B)1，那么 r(A)3，则行列式A=O 而16.已知 n 阶矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：根据 A 2 一 A=A(AE)，已知矩阵 17.设 n 阶矩阵 A 满足 A 2 =A，E 为 n 阶单位阵，则 r(A)+r(AE)= 1?（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n）解析：解析：由已知 A 2 =A，则有 A(AE)=A 2 一 A=AA=O，所以 r(A)+r(AE)n 又 r(AE)=r(E 一A)，则 r(A)+r(AE)=r(A)+r(EA)r(A+E 一 A)=r
15、(E)=n，因此 r(A)+r(AE)=n18.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：左乘矩阵 A，并把等式 AA * =AE 代入已知矩阵方程，得AX=E+2AX，移项可得(AE 一 2A)X=E，因此 X=(AE 一 2A) -1 已知A=4，所以 19.已知 1 =(1，0，0) T ， 2 =(1，2，一 1) T ， 3 =(一 1，1，0) T ，且 A 1 =(2，1) T ，A 3 =(一 1，1)T，A) T =(3，一 4) T ，则 A= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用分块矩阵，得
16、A 1 , 2 , 3 =A 1 ，A 2 ，A 3 = ，那么 20.设 A、B 均为 3 阶矩阵，E 是 3 阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用已知条件 AB=2A+3B，通过移、添加项构造出 B 一 2E，于是有 AB 一 2A 一 3B+6E=6E，则有(A 一 3E)(B 一 2E)=6E 从而21.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由(E 一 B 一 1 A)TBTX=E，得B(EB -1 A) T X=E，即(BEBB 一 1 A) T X=E，也就是(B
17、A) T X=E，因此 22.设矩阵 A 与 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：矩阵 A 与 B 相似，则 A 一 2E 与 B 一 2E 相似，结合已知条件，并根据相似矩阵的性质，则有r(A)+r(A 一 2E)=r(B)+r(B 一 2E)=2+1=323.设 A 是一个 n 阶矩阵，且 A 2 一 2A 一 8E=0，则 r(4EA)+r(2E+A)= 1?（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n）解析：解析：根据已知 A 2 一 2A 一 8E=O，可得(4EA)(2E+A)=O，根据矩阵秩的性质可知 r(4EA)+r(2E+A)
18、n，同时 r(4EA)+r(2E+A)r(4EA)+(2E+A)=r(6E)=n，因此 r(4E 一 A)+r(2E+A)=n24.设 3 阶方阵 A，B 满足关系式 A 一 1 BA=6A+BA，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设可知，A 可逆，已知 A 一 1 BA=6A+BA，在该等式的两端右乘 A 一 1 ，则有 A 一 1 B=6E+B，在该等式两端左乘 A，可得 B=6A+AB，则有(EA)B=6A，即 B=6(EA) 一 1 A，且 25.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：对 A 作初等行变
19、换，则有26.设 A 是 43 矩阵，且 A 的秩 r(A)=2，而 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：因为27.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 3）解析：解析：因为矩阵 B 为 3 阶非零矩阵，并且满足 AB=O，因此可见线性方程 Ax=0 有非零解，因此三、解答题(总题数：7，分数：14.00)28.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：29.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得矩阵 A 的特征值 1 = 2 =3， 3 =0当 =3 时，有(3EA)x=0，且 得特征向量 1 =(1，
20、一 2，0) T ， 2 =(0，0，1) T 当 =0 时，有(OEAx)=0，且 得特征向量 2 =(一 1，一 1，1) T 那么，令 )解析：设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 （分数：4.00）(1).计算并化简 PQ；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AA * =A * A=AE 及 A * =AA 一 1 有 )解析：(2).证明矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 T A 一 1 b（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有 )解析：30.设 ， 为 3 维列向量，矩阵 A= T + T ，其中
21、 T ， T 分别为 ， 的转置证明：r(A)2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r(A)=r( T + T )r( T )+r( T )r()+r()2)解析：31.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先观察 )解析：32.已知矩阵 A 的伴随矩阵 A * =diag(1，1，1，8)，且 ABA -1 =BA -1 +3E，求 B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意可知 A 一 1 存在，A * =AA 一 1 两端取行列式可得A * =A 4 A -1 =A 3 ，因为 A * =diag(1，1，1，8)，所以A * =8，即A=2由 ABA -1 =B
22、A -1 +3E移项并提取公因式得，(AE)BA -1 =3E，右乘 A 得(AE)B=3A，左乘 A -1 得(EA -1 )B=3E且由已求结果A=2，知 得 因此 )解析：33.设方阵 A 满足 A 2 一 A 一 2 层=0，证明 A 及 A+2E 都可逆，并求 A 一 1 及(A+2E) 一 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A 2 一 A 一 2E=0，得 A(AE)=2E两端同时取行列式A(AE) =2，即AAE=2，故A0，所以 A 可逆而由 A 2 一 A 一 2E=0 可得 A+2E=A 2 ，两端同时取行列式A+2E=A 2 =A 2 0，所以 A+2E 也可逆由 A(AE)=2E，得 又 A 2 一 A 一 2E=0，通过添加项并整理可得(A+2E)(A 一 3E)=一 4E，则有 (A+2E) -1 (A+2E)(A 一 3E)=一 4(A+2E) -1 ，因此 )解析：
