1、考研数学二（矩阵）-试卷 6 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 是 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行上得 B，将 B 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列上得 CP（分数：2.00）A.P -1 ApB.PAP -1 C.p T APD.PAP T 3.设 A 为 3 阶矩阵，P( 1 ， 2 ， 3 )为 3 阶可逆矩阵，Q( 1 2 ， 2 ， 3 )已知 p T AP （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A 是 3
2、 阶可逆矩阵，交换 A 的 1，2 行得 B，则（分数：2.00）A.交换 A * 的 1，2 行得到 B * B.交换 A * 的 1，2 列得到 B * C.交换 A * 的 1，2 行得到B * D.交换 A * 的 1，2 列得到B * 5.设 A，B，C 都是 n 阶矩阵，满足 BEAB，CACA，则 BC 为（分数：2.00）A.EB.EC.AD.A6.A 和 B 都是 n 阶矩阵给出下列条件 A 是数量矩阵 A 和 B 都可逆 (AB) 2 A 2 2ABB 2 ABcE (AB) 2 A 2 B 2 则其中可推出 ABBA 的有( )（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题
3、(总题数：6，分数：12.00)7.若 A -1 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 A （分数：2.00）填空项 1:_9.设 A，B 均为 3 阶矩阵，且满足 AB2AB，其中 A （分数：2.00）填空项 1:_10.设 A 2 BAE，其中 A （分数：2.00）填空项 1:_11.设 XAA T X，其中 A （分数：2.00）填空项 1:_12.已知 A （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：46.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.设 A，B 和 C 都是 n 阶矩阵，其中 A，B 可逆，求下列 2n
4、阶矩阵的逆矩阵 （分数：2.00）_15.设 3 阶矩阵 A （分数：2.00）_16.矩阵 A （分数：2.00）_17.4 阶矩阵 A，B 满足 ABA -1 BA -1 3E，已知 A * （分数：2.00）_18.已知 （分数：2.00）_19.已知 （分数：2.00）_20.设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 2，向量 1 (1，1，1) T ， 2 =(2，1，1) T 都是齐次线性方程组 AX0 的解求 A（分数：2.00）_21.设 A 是 3 阶矩阵，交换 A 的 1，2 列得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列上，得 C求 Q，使得CAQ（分数：2.00）_22.
5、设 A，B 和 C 都是 n 阶矩阵，其中 A，B 可逆，求下列 2n 阶矩阵的伴随矩阵 （分数：2.00）_23.设 A 是 n 阶非零实矩阵，满足 A * A T 证明A0（分数：2.00）_24.设 A( 1 ， 2 ， 3 )，B( 1 ， 2 ， 3 )都是 3 阶矩阵规定 3 阶矩阵 C （分数：2.00）_25.设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明 EA 可逆（分数：2.00）_26.设 A，B 都是 n 阶矩阵，EAB 可逆证明 EBA 也可逆，并且(EBA) -1 EB(EAB) -1 A（分数：2.00）_27.设 A，B 都是 n 阶矩阵，证明 EAB 可逆 （分数：2.
6、00）_28.设 A，B 是 3 阶矩阵，A 可逆，它们满足 2A -1 BB4E证明 A2E 可逆（分数：2.00）_29.设 n 阶矩阵 A，B 满足 ABaAbB其中 ab0，证明 (1)AbE 和 BaE 都可逆 (2)ABBA（分数：2.00）_30.A，B 都是 n 阶矩阵，并且 B 和 EAB 都可逆，证明： B(EAB) -1 B -1 EB(EAB) -1 A（分数：2.00）_31.设 A，B 都是对称矩阵，并且 EAB 可逆，证明(EAB) -1 A 是对称矩阵（分数：2.00）_32.设 A，B 都是 n 阶矩阵，使得 AB 可逆，证明 B(AB) -1 AA(AB)
7、-1 B（分数：2.00）_33.设 A，B 都是 n 阶矩阵，并且 A 是可逆矩阵证明：矩阵方程 AXB 和 XAB 的解相同 （分数：2.00）_34.设 A （分数：2.00）_35.(1)设 A 是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等证明和 A 乘积可交换的一定是对角矩阵 (2)n阶矩阵 C 如果和任何 n 阶矩阵乘积可交换，则 C 必是数量矩阵（分数：2.00）_考研数学二（矩阵）-试卷 6 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 是
8、 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行上得 B，将 B 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列上得 CP（分数：2.00）A.P -1 ApB.PAP -1 C.p T APD.PAP T 解析：3.设 A 为 3 阶矩阵，P( 1 ， 2 ， 3 )为 3 阶可逆矩阵，Q( 1 2 ， 2 ， 3 )已知 p T AP （分数：2.00）A. B.C.D.解析：4.设 A 是 3 阶可逆矩阵，交换 A 的 1，2 行得 B，则（分数：2.00）A.交换 A * 的 1，2 行得到 B * B.交换 A * 的 1，2 列得到 B * C.交换 A * 的 1，2 行得到B * D.
9、交换 A * 的 1，2 列得到B * 解析：5.设 A，B，C 都是 n 阶矩阵，满足 BEAB，CACA，则 BC 为（分数：2.00）A.E B.EC.AD.A解析：6.A 和 B 都是 n 阶矩阵给出下列条件 A 是数量矩阵 A 和 B 都可逆 (AB) 2 A 2 2ABB 2 ABcE (AB) 2 A 2 B 2 则其中可推出 ABBA 的有( )（分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：和的成立是明星的，是不对的 ABcE，在 c0 时可推出 ABBA，但是 c0 时则推不出 ABBA 如 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.若 A -1 （分数：2.00）填空
10、项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：8.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析：A 不可逆 A0而9.设 A，B 均为 3 阶矩阵，且满足 AB2AB，其中 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：由 AB2AB2E2E，有 A(B2E)(B2E)2E，则 (AE)(B2E)2E 于是AE.B2E8，而AE10.设 A 2 BAE，其中 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 BAA 2 E，又 A 可逆，则有 B(A 2 E)A -1 AA -1 故 11.设 XAA
11、 T X，其中 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 XAXA T 有 X(AE)A T ，因为 A 可逆，知 X 与 AE 均可逆 故 XA T (AE) -1 12.已知 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：三、解答题(总题数：23，分数：46.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14.设 A，B 和 C 都是 n 阶矩阵，其中 A，B 可逆，求下列 2n 阶矩阵的逆矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A，B 都可逆，所以这几个矩阵都可逆 (1) 的
12、逆矩阵可用初等变换法计算： (2) 的逆矩阵也可用初等变换法计算： (3) 的逆矩阵用“待定系数法”计算：即设它的逆矩阵为 ，求 D ij 由 则 BD 21 0，得 D 21 0(因为 B 可逆) BD 22 E，得 D 22 B -1 AD 11 CD 21 E，即 AD 11 E，得 D 11 A -1 AD 12 CD 22 0，得 D 12 A -1 CB -1 (4)用(3)的方法，得 )解析：15.设 3 阶矩阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A -1 XAXA2A A -1 XX2E XAX2A (EA)X2A， 用初等变换法解此基本矩阵方程： )解析：16.矩
13、阵 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：化 2AXA4X 得 X(A4E)2A用初等变换法解此矩阵方程： )解析：17.4 阶矩阵 A，B 满足 ABA -1 BA -1 3E，已知 A * （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 A 右乘 ABA -1 BA -1 3E 的两边，得 ABB3A；再用 A * 从左乘两边，得 ABA * B3AE， 由A * 8，得A2，代入上式： (2EA * )B6E 用初等变换法求 B： )解析：18.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 XA2BAB2X 化得：X(A2E)(A2E)B，即 X(A2E)B(A2E) -1
14、， 则 X 2017 (A2E)B 2017 (A2E) -1 (A2E)B(A2E) -1 X 再从关于 X 的矩阵方程 X(A2E)(A2E)B 用初等变换法求解 X： (A2E) T B(A2E) T )(A T 2E(A T 2E) )解析：19.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先由 XA2XB 求出 X，再求 X XA2XB X(A2E)B， )解析：20.设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 2，向量 1 (1，1，1) T ， 2 =(2，1，1) T 都是齐次线性方程组 AX0 的解求 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 3 (1，1，1) T ，
15、则 A 3 (2，2，2) T ，建立矩阵方程： A( 1 ， 2 ， 3 )(0，0，2 3 )， 用初等变换法解得 A )解析：21.设 A 是 3 阶矩阵，交换 A 的 1，2 列得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列上，得 C求 Q，使得CAQ（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用矩阵初等变换与初等矩阵的关系得 )解析：22.设 A，B 和 C 都是 n 阶矩阵，其中 A，B 可逆，求下列 2n 阶矩阵的伴随矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A，B 都可逆，所以这几个矩阵都可逆于是可利用公式 A * AA -1 来求伴随矩阵 )解析：23.设 A 是
16、n 阶非零实矩阵，满足 A * A T 证明A0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把条件 A * A T 写出 则 a ij A ij ， i，j 于是A )解析：24.设 A( 1 ， 2 ， 3 )，B( 1 ， 2 ， 3 )都是 3 阶矩阵规定 3 阶矩阵 C （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由矩阵乘法的定义可看出(或用乘法的分块法则) C A T B 于是 CABAB 则C0 A0 并且B0 即 C 可逆 )解析：25.设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明 EA 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 n 是一个 n 维实向量，满足(EA)0，要证明 0用
17、 T 左乘上式，得 T (EA)0，即 T T A 由于 A 是反对称矩阵， T A 是一个数， T A( T A) T T A，因此 T A0 于是 T 0 是实向量，(，) T 0，从而 0)解析：26.设 A，B 都是 n 阶矩阵，EAB 可逆证明 EBA 也可逆，并且(EBA) -1 EB(EAB) -1 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(EBA)EB(EAB) -1 A(EBA)(EBA)B(EAB) -1 A (EBA)(BBAB)(EAB) -1 A (EBA)B(EAB)(EAB) -1 A EBABAE)解析：27.设 A，B 都是 n 阶矩阵，证明 EAB 可逆
18、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：证明一个更加强的事实：EABEBA记 )解析：28.设 A，B 是 3 阶矩阵，A 可逆，它们满足 2A -1 BB4E证明 A2E 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 A 左乘 2A -1 BB4E 两侧得 2BAB4A 即(A2E)B4A 由 A 可逆，得 A2E 可逆)解析：29.设 n 阶矩阵 A，B 满足 ABaAbB其中 ab0，证明 (1)AbE 和 BaE 都可逆 (2)ABBA（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)AbE 和 BaE 都可逆 (AbE)(BaE)可逆直接计算(AbE)(BAE) (AbE)(B
19、aE)ABaAbBabEabE 因为 ab0，得(AbE)(BaE)可逆 (2)利用等式(AbE)(BaE)abE，两边除以 ab，得 )解析：30.A，B 都是 n 阶矩阵，并且 B 和 EAB 都可逆，证明： B(EAB) -1 B -1 EB(EAB) -1 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对此等式进行恒等变形： B(EAB) -1 B -1 EB(EAB) -1 A B(EAB)BB(EAB) -1 AB(用 B 右乘等式两边) B(EAB) -1 B(EAB) -1 ABB )解析：31.设 A，B 都是对称矩阵，并且 EAB 可逆，证明(EAB) -1 A 是对称矩阵（
20、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(EAB) -1 A 对称，就是(EAB) -1 A T (EAB) -1 A (EAB) -1 A T A(EAB) -1 T A(EAB) T -1 A(EBA) -1 于是要证明的是 (EAB) -1 AA(EBA) -1 对此式作恒等变形： (EAB) -1 AA(EBA) -1 A(EAB)A(EBA) -1 (用 EAB 左乘等式两边) )解析：32.设 A，B 都是 n 阶矩阵，使得 AB 可逆，证明 B(AB) -1 AA(AB) -1 B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两边都加 A(AB) -1 A 后，都等于 A： B(AB
21、) -1 AA(AB) -1 A(BA)(AB) -1 AA A(AB) -1 BA(AB) -1 AA(AB) -1 (BA)A 因此 B(AB) -1 AA(AB) -1 B)解析：33.设 A，B 都是 n 阶矩阵，并且 A 是可逆矩阵证明：矩阵方程 AXB 和 XAB 的解相同 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AXB 的解为 A -1 B，XAB 的解为 BA -1 AXB 和 XAB 的解相同即 A -1 BBA -1 作恒等变形： A -1 BBA -1 BABA -1 )解析：34.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：与 A 乘积可交换的矩阵一定是 2 阶
22、矩阵 AXXA 即： a 1 3 a 1 2 a 2 4 1 ， 1 a 3 4 ， 2 3 ， 整理得 1 ， 2 ， 3 ， 4 的齐次线性方程组 )解析：35.(1)设 A 是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等证明和 A 乘积可交换的一定是对角矩阵 (2)n阶矩阵 C 如果和任何 n 阶矩阵乘积可交换，则 C 必是数量矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 B 和 A 乘积可交换，要证明 B 是对角矩阵，即要说明 B 的对角线外的元素 b ij (ij)都为 0 设 A 的对角线元素为 1 ， 2 ， n 则 AB 的(i，j)位元素为 i b ij ，而 BA 的(i，j)位元素为 i b ij 因为 ABBA，得 a i b ij j b ij ， 因为 i j ，所以 b ij 0 (2)先说明 C 一定是对角矩阵由于 C 与对角线上元素两两不相等的 n 阶对角矩阵乘积可交换，由(1)的结论得出 C 是对角矩阵 再说明 C 的对角线元素 c 11 ，c 22 ，c nn 都相等 构造 n 阶矩阵 A，使得其(i，j)位元素为 1，ij，则 CA 的(i，j)位元素为 c ij ，AC 的(i，j)位元素为 c jj 于是 c ii c jj 这里的 i，j 是任意的，从而c 11 c 22 c nn )解析：
