1、考研数学二（矩阵）-试卷 4 及答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 n 维行向量 ( （分数：2.00）A.0B.EC.ED.E T 3.设 A 是任一 n 阶矩阵，下列交换错误的是（分数：2.00）A.A * AAA * B.A m A p A p A m C.A T AAA T D.(AE)(AE)(AE)(AE)4.设 A，B，AB，A -1 B -1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1 B -1 ) -1 （分数：2.00）A.ABB.A -
2、1 B -1 C.A(AB) -1 BD.(AB) -1 5.设 A，B 均是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是（分数：2.00）A.AB0B.AB0C.AB0D.AB06. （分数：2.00）A.AP 1 P 2 B.AP 1 P 3 C.AP 3 P 1 D.AP 2 P 3 7.两个 4 阶矩阵满足 A 2 B 2 ，则（分数：2.00）A.ABB.ABC.AB 或 ABD.AB或AB二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.若 A （分数：2.00）填空项 1:_9.若 A （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_10.设 A （分数：2.00）填空项 1:_11.设矩阵 A
3、，BA 2 5A6E，则 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 A 是 n 阶矩阵，满足 A 2 2AE0，则(A2E) -1 1（分数：2.00）填空项 1:_13.若 A （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：46.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.设 A -1 （分数：2.00）_16.设 A （分数：2.00）_17.设 A，B 均为 n 阶矩阵，EAB 可逆，化简(EBA)EB)(EAB) -1 A（分数：2.00）_18.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，且 ABAC -1 ，证明 BA
4、CCAB（分数：2.00）_19.若 A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，则 AB 是反对称矩阵的充要条件是 AB=BA（分数：2.00）_20.设 A 是 n 阶矩阵，A m 0，证明 EA 可逆（分数：2.00）_21.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 （分数：2.00）_22.设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明(EA)(EA) -1 是正交矩阵（分数：2.00）_23.(1)证明两个上三角矩阵 A 和 B 的乘积 AB 还是上三角矩阵；并且 AB 对角线元素就是 A 和 B 对应对角线元素的乘积 (2)证明上三角矩阵 A 的方幂 A k 与多项式 f
5、(A)也都是上三角矩阵；并且 A k 的对角线元素为 a 11 k ，a 22 k ，a nn k f(A)的对角线元素为 f(a 11 )，f(a 22 )，f(a nn )(a 11 ，a 22 ，a nn 是 A 的对角线元素)（分数：2.00）_24.n 维向量 (a，0，0，a) T ，a0，AE T ，A -1 Ea -1 T ，求 a（分数：2.00）_25.AE T ，其中 ， 都是 n 维非零列向量，已知 A 2 3E2A，求 T （分数：2.00）_26.设 A T ，其中 和 都是 n 维列向量，证明对正整数 k，A k ( T ) k-1 A(tr(A) k-1 A(t
6、r(A)是 A 的对角线上元素之和，称为 A 的迹数)（分数：2.00）_27.设 A （分数：2.00）_28.求 （分数：2.00）_29.设 A （分数：2.00）_30.求 （分数：2.00）_31.阶矩阵 A，B 满足 ABA * 2BA * E，其中 A （分数：2.00）_32.设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A 1 1 2 3 ，A 2 2 2 3 ，A 3 2 2 3 3 求作矩阵 B，使得 A( 1 ， 2 ， 3 )( 1 ， 2 ， 3 )B（分数：2.00）_33.A 是 3 阶矩阵， 是 3 维列向量，使得 P(，A
7、，A 2 )可逆，并且 A 3 3A2A 2 (1)求 B，使得 APBP -1 (2)求AE（分数：2.00）_34.设 3 阶矩阵 A( 1 ， 2 ， 3 )，A1，B( 1 2 3 ， 1 2 2 3 3 ， 1 4 2 9 3 )，求B（分数：2.00）_35.已知 （分数：2.00）_36.3 维向量 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 3 满足 1 3 2 1 2 0，3 1 2 1 3 0， 2 3 2 3 0， 已知 1 ， 2 ， 3 ，求 1 ， 2 ， 3 （分数：2.00）_考研数学二（矩阵）-试卷 4 答案解析(总分：72.00，做题时间：90 分钟)一、选择题
8、(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 n 维行向量 ( （分数：2.00）A.0B.E C.ED.E T 解析：解析：AB(E T )(E2 T )E2 T T 2 T T E T 2 T ( T ) 注意 T 3.设 A 是任一 n 阶矩阵，下列交换错误的是（分数：2.00）A.A * AAA * B.A m A p A p A m C.A T AAA T D.(AE)(AE)(AE)(AE)解析：解析：因为 AA * A * AAE，A m A p A p A m A m+p ， (AE)(AE)(A
9、E)(AE)A 2 E， 所以选项 A、B、D 均正确 而 4.设 A，B，AB，A -1 B -1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1 B -1 ) -1 （分数：2.00）A.ABB.A -1 B -1 C.A(AB) -1 B D.(AB) -1 解析：解析：(A -1 B -1 ) -1 (EA -1 B -1 ) -1 (B -1 BA -1 B -1 ) -1 B -1 (BA -1 AA -1 )-1 B -1 (BA)A -1 -1 (A -1 ) -1 (BA) -1 (B -1 ) -1 A(AB) -1 B 故应选 C5.设 A，B 均是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是（
10、分数：2.00）A.AB0B.AB0C.AB0 D.AB0解析：6. （分数：2.00）A.AP 1 P 2 B.AP 1 P 3 C.AP 3 P 1 D.AP 2 P 3 解析：7.两个 4 阶矩阵满足 A 2 B 2 ，则（分数：2.00）A.ABB.ABC.AB 或 ABD.AB或AB 解析：二、填空题(总题数：6，分数：12.00)8.若 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：A 2 A 3 A 2 A 9.若 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）填空项 1:_ （正确答案：0）解析：解析：用定义A 11 3，A 12
11、 6，A 13 3，A 21 6，A 22 12，A 23 6，A 31 3，A 32 6，A 33 3，故 A * 10.设 A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用 易见11.设矩阵 A ，BA 2 5A6E，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：12.设 A 是 n 阶矩阵，满足 A 2 2AE0，则(A2E) -1 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(4EA)）解析：解析：由(A2E)(A4E)9EA * 2AE0 有 (A2E) (4EA)E 所以(A2E) -1 13.若 A （分数：
12、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：三、解答题(总题数：23，分数：46.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.设 A -1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对矩阵 A 分块，记 A ，则由 r(B)1，知 B 2 2B，B n 2 n-1 B 而 ，于是有 )解析：17.设 A，B 均为 n 阶矩阵，EAB 可逆，化简(EBA)EB)(EAB) -1 A（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(EBA)EB(EAB) -1 A EBAB(EA
13、B) -1 ABAB(EAB) -1 A EBAB(EAB)(EAB) -1 AEBABAE)解析：18.设 A，B，C 均为 n 阶矩阵，其中 C 可逆，且 ABAC -1 ，证明 BACCAB（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 C 可逆，知ABA0，故矩阵 A，B 均可逆 因 ABACE，即 A -1 BAC又 CABAE，得 A -1 CAB 从而 BACCAB)解析：19.若 A 是对称矩阵，B 是反对称矩阵，则 AB 是反对称矩阵的充要条件是 AB=BA（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A T A，B T B，那么(AB) T B T A T BA 若 AB
14、是反对称矩阵，则(AB) T AB，从而 ABBA反之，若 ABBA，则(AB) T BAAB，即 AB 是反对称矩阵)解析：20.设 A 是 n 阶矩阵，A m 0，证明 EA 可逆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A m 0，有 EA m E于是 (EA)(EAA 2 A m-1 )EA m E 所以 EA 可逆，且(EA) -1 EAA 2 A m-1 )解析：21.设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 n 维列向量，b 为常数，记分块矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 AA * A * AAE 及 A * AA -1 有 ()用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式
15、，有 )解析：22.设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明(EA)(EA) -1 是正交矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(EA)(EA) -1 (EA)(EA) -1 T (EA)(EA) -1 (EA) -1 T (EA) T (EA)(EA) -1 (EA) T -1 (EA) (EA)(EA) -1 (EA) -1 (EA) (EA)(EA)(EA) -1 (EA) (EA)(EA)(EA) -1 (EA) (EA)(EA) -1 (EA) -1 (EA)E 所以(EA)(EA) -1 是正交矩阵)解析：23.(1)证明两个上三角矩阵 A 和 B 的乘积 AB 还是上三角矩阵
16、；并且 AB 对角线元素就是 A 和 B 对应对角线元素的乘积 (2)证明上三角矩阵 A 的方幂 A k 与多项式 f(A)也都是上三角矩阵；并且 A k 的对角线元素为 a 11 k ，a 22 k ，a nn k f(A)的对角线元素为 f(a 11 )，f(a 22 )，f(a nn )(a 11 ，a 22 ，a nn 是 A 的对角线元素)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 A 和 B 都是 n 阶上三角矩阵，CAB，要说明 C 的对角线下的元素都为 0，即 i时，c ij 0c ij A 的第 i 个行向量和 B 的第 j 个列向量对应分量乘积之和由于 A 和 B
17、都是n 阶上三角矩阵，A 的第 i 个行向量的前面 i1 个分量都是 0，B 的第 j 个列向量的后面 nj 个分量都是0，而 i1njn(ij1)n，因此 c ij 0 iia i1 b 1i a ii-1 b i-1i a ii b ii a ii+1 b i+1i a in b ni a ii b ii (a i1 a ii-1 0，b i+1i b ni 0) (2)设 A是上三角矩阵由(1)，直接可得 A k 是上三角矩阵，并且对角线元素为 a 11 k ，a 22 k ，a nn k 设 f(A)a m A m a m-1 A m-1 a 1 Aa 0 Ea i A i 都是上三角
18、矩阵，作为它们的和，f(A)也是上三角矩阵f(A)的对角线元素作为它们的对角线元素的和，是 f(a 11 )，f(a 22 )，f(a nn )解析：24.n 维向量 (a，0，0，a) T ，a0，AE T ，A -1 Ea -1 T ，求 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(E T )(Ea -1 T )E Ea -1 T T a -1 T T E a -1 T T a -1 T T 0， ( T 2a) (a -1 2a) T 0， a -1 12a0，(因为 t 不是零矩阵) 1a2a 2 0a1)解析：25.AE T ，其中 ， 都是 n 维非零列向量，已知 A 2 3E2
19、A，求 T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 2 3E2A， A 2 2A 一 3E0， (A3E)(AE)0， (4E T )( T )0， 4 T T T 0，( T 是数!) (4 T ) T 0，(由于， 都是非零列向量， T 不是零矩阵) )解析：26.设 A T ，其中 和 都是 n 维列向量，证明对正整数 k，A k ( T ) k-1 A(tr(A) k-1 A(tr(A)是 A 的对角线上元素之和，称为 A 的迹数)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A k ( T ) k )解析：27.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意得，先求 A
20、2 A 2 )解析：28.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：此矩阵为 A )解析：29.设 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)A n A n-2 A 2 E 即 A n A n-2 A 2 E A n-2 (A 2 E)A 2 E 只要证明 A(A 2 E)A 2 E此式可以直接检验： )解析：30.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记此矩阵为 A则 A EBE 因为 B 和 E 乘积可交换，对 A 10 (BE) 10 可用二项展开式：(BE) 10 C 10 i B 10-i 注意矩阵 B 满足：B 2 ，而当 n2 时 B n 是零矩阵 于是 A
21、 10 CBCBE45B10BE )解析：31.阶矩阵 A，B 满足 ABA * 2BA * E，其中 A （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用 A 从右侧乘 ABA * 2BA * E 的两边，得 AAB2ABA， A(A2E)BA， 两边取行列式 A 3 A2EBA， B )解析：32.设 A 为 3 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A 1 1 2 3 ，A 2 2 2 3 ，A 3 2 2 3 3 求作矩阵 B，使得 A( 1 ， 2 ， 3 )( 1 ， 2 ， 3 )B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用矩阵分解 A( 1 ， 2 ，
22、 3 )(A 1 ，A 2 ，A 3 )( 1 2 3 ，2 2 3 ，2 2 3 3 ) ( 1 ， 2 ， 3 ) 得 B )解析：33.A 是 3 阶矩阵， 是 3 维列向量，使得 P(，A，A 2 )可逆，并且 A 3 3A2A 2 (1)求 B，使得 APBP -1 (2)求AE（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)APBP -1 即 APPB 或 A(，A，A 2 )(，A，A 2 )B A(，A，A 2 )(A，A 2 ，A)(Aa，A 2 ，3A2A 2 ) (，A，A 2 ) (矩阵分解法) B (2)AEP(BE)P -1 则 AEPBEP -1 BE )解析：3
23、4.设 3 阶矩阵 A( 1 ， 2 ， 3 )，A1，B( 1 2 3 ， 1 2 2 3 3 ， 1 4 2 9 3 )，求B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：B( 1 2 3 ， 1 2 2 3 3 ， 1 4 2 9 3 ) ( 1 ， 2 ， 3 ) B 1 ， 2 ， 3 )解析：35.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 ( 1 ， 2 ， 3 ) T ，(b 1 ，b 2 ，b 3 ) T ，(c 1 ，c 2 ，c 3 ) T ，所求行列式相应的矩阵为： (，) 将它对(，)做矩阵分解，得 (，)(，) 两边求行列式，得所求行列式的值： ， )解析：36.3 维向量 1 ， 2 ， 3 ， 1 ， 2 ， 3 满足 1 3 2 1 2 0，3 1 2 1 3 0， 2 3 2 3 0， 已知 1 ， 2 ， 3 ，求 1 ， 2 ， 3 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 3 2 1 2 ，3 1 2 1 3 ， 2 3 2 3 ， ( 1 3 ，3 1 2 ， 2 3 )(2 1 2 ， 1 3 ， 2 3 ) 用矩阵分解，得 )解析：
