1、考研数学二（矩阵）-试卷 3 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A 为三阶方阵，A*；为 A 的伴随矩阵， （分数：2.00）A.B.3C.6D.93.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且(A+B) 2 =E，则(E+BA 一 1 ) 一 1 =( )（分数：2.00）A.(A+B)BB.B+AB 一 1 C.A(A+B)D.(A+B)A5.下列命题中，(
2、1)如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A 一 1 =B (2)如果 n 阶矩阵 A，B 满足(AB) 2 =E，则(BA) 2 =E (3)如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 A+B 必不可逆 (4)如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆正确的是( )（分数：2.00）A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4)6.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且 AB=A+B，则(1)若 A 可逆，则 B 可逆(2)若 B 可逆，则 A+B 可逆(3)若 A+B 可逆，则 AB 可逆(4)AE 恒可逆上述命题中，正确的命题共有( )（分数：2.00）A.
3、1 个B.2 个C.3 个D.4 个7.设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.A+B 是对称矩阵B.AB 是对称矩阵C.A * +B * 是对称矩阵D.A 一 2B 是对称矩阵8.设 （分数：2.00）A.P 1 P 3 AB.P 2 P 3 AC.AP 3 P 2 D.AP 1 P 3 9.设 （分数：2.00）A.a=1 时，B 的秩必为 2B.a=1 时，B 的秩必为 1C.a1 时，B 的秩必为 1D.a1 时，B 的秩必为 210.已知 （分数：2.00）A.3B.2C.1D.1 或 3二、填空题(总题数：11，分数：22.00)11.设
4、A 为 4 阶矩阵，且A=2，则A * = 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设 A，B 是 3 阶矩阵，满足 AB=A 一 B，其中 （分数：2.00）填空项 1:_13.设矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_14.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 ， 均为 3 维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 （分数：2.00）填空项 1:_17.设方阵 A 满足 A 2 一 A 一 2E=O，并且 A 及 A+2E 都是可逆矩阵，则(A+2E) -1 = 1?（分数：2.00）填空项 1:_18.设矩阵 ，B=A 2 +5A+6E，
5、则 （分数：2.00）填空项 1:_19.设 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 （分数：2.00）填空项 1:_21.如果 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：7，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B（分数：4.00）(1).证明 B 可逆；（分数：2.00）_(2).求 AB 一 1 （分数：2.00）_23.设矩阵 A 的伴随矩阵 （分数：2.00）_已知 3 阶矩阵 A 和三维向量 x，使得 x，Ax，A 2 x 线性无关，且满足 A 3 x=3
6、Ax 一 2A 2 x（分数：4.00）(1).记 P=(x，Ax，A 2 x)求 3 阶矩阵 B，使 A=PBP 一 1 ；（分数：2.00）_(2).计算行列式A+E（分数：2.00）_设 A，B 为同阶方阵，（分数：6.00）(1).若 A，B 相似，证明 A，B 的特征多项式相等；（分数：2.00）_(2).举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立；（分数：2.00）_(3).当 A，B 均为实对称矩阵时，证明(1)的逆命题成立（分数：2.00）_24.设 （分数：2.00）_25.设 A 为 n 阶矩阵(n2)，A 为 A * 的伴随矩阵，证明 （分数：2.00）_考研数学二（矩
7、阵）-试卷 3 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A 为三阶方阵，A*；为 A 的伴随矩阵， （分数：2.00）A.B.3C.6D.9 解析：解析：由 3.设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是( )（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由AB=AB=0，且行列式是数值，故有A=0 或B=0，反之亦成立，故应选C取 ，但 AO，BO，选项 A 不成立4.设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，且(A+B) 2 =E，则(E+BA
8、 一 1 ) 一 1 =( )（分数：2.00）A.(A+B)BB.B+AB 一 1 C.A(A+B) D.(A+B)A解析：解析：因为(E+BA 一 1 ) 一 1 =(AA 一 1 +BA 一 1 ) 一 1 =(A+B)A 一 1 一 1 =(A 一 1 ) 一 1 (A+B) 一 1 =A(A+B)，所以应选 C注意，由(A+B) 2 =E，即(A+B)(A+B)=E，按可逆矩阵的定义知(A+B) 一 1 =(A+B)5.下列命题中，(1)如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A 一 1 =B (2)如果 n 阶矩阵 A，B 满足(AB) 2 =E，则(BA) 2 =E (3)如果矩阵
9、A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 A+B 必不可逆 (4)如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆正确的是( )（分数：2.00）A.(1)(2)B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4) 解析：解析：如果 A、B 均为 n 阶矩阵，命题(1)当然正确，但是题中没有 n 阶矩阵这一条件，故(1)不正确 例如 显然 A 不可逆若 A、B 为 n 阶矩阵，(AB) 2 =E，即(AB)(AB)=E，则可知 A、B 均可逆，于是 ABA=B 一 1 ，从而 BABA=E即(BA) 2 =E因此(2)正确若设 显然 A、B 都不可逆，但 6.设 A，B 均为 n 阶矩阵，且
10、 AB=A+B，则(1)若 A 可逆，则 B 可逆(2)若 B 可逆，则 A+B 可逆(3)若 A+B 可逆，则 AB 可逆(4)AE 恒可逆上述命题中，正确的命题共有( )（分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个 解析：解析：由 AB=A+B，有(AE)B=A若 A 可逆，则(AE)B=AEB=A0，知B0即矩阵 B 可逆，从而命题(1)正确应用命题(1)，由 B 可逆可得出 A 可逆，从而 AB 可逆，那么 A+B=AB 也可逆，故命题 (2)正确因为 AB=A+B，若 A+B 可逆，则有 AB 可逆，即命题(3)正确对于命题(4)，用分组因式分解，即 AB 一 AB+E
11、=E，则有(AE)(B 一 E)=E，所以得 AE 恒可逆，命题(4)正确所以应选 D7.设 A，B 均为 n 阶对称矩阵，则下列结论不正确的是( )（分数：2.00）A.A+B 是对称矩阵B.AB 是对称矩阵 C.A * +B * 是对称矩阵D.A 一 2B 是对称矩阵解析：解析：由题设条件，则(A+B) T =A T +B T =A+B，及 (kB) T =kB T =kB，所以有 (A 一 2B) T =A T 一(2B T )=A 一 2B，从而选项 A、D 的结论是正确的首先来证明(A * ) T =(A T ) * ，即只需证明等式两边(i，j)位置元素相等(A * ) T 在位置
12、(i，j)的元素等于 A * 在(j，i)位置的元素，且为元素 a ii 的代数余子式 A ij 而矩阵(A T ) * 在(i，j)位置的元素等于 A T 的(j，i)位置的元素的代数余子式，因A 为对称矩阵，即 a ii =a ij 则该元素仍为元素 a ij 的代数余子式 A ij 从而(A * ) T =(A T ) * =A * ，故 A * 为对称矩阵，同理，B * 亦为对称矩阵结合选项 A 的结论，则选项 C 的结论是正确的因为(AB) T =B T A T =BA，从而选项 B 的结论不正确注意：当 A，B 均为对称矩阵时，AB 为对称矩阵的充要条件是 AB=BA所以应选 B8
13、.设 （分数：2.00）A.P 1 P 3 AB.P 2 P 3 A C.AP 3 P 2 D.AP 1 P 3 解析：解析：矩阵 A 作两次行变换可得到矩阵 B，而 AP 3 P 2 ，AP 1 P 3 描述的是矩阵 A 作列变换，故应排除该变换或者把矩阵 A 第 1 行的 2 倍加至第三行后，再 1、2 两行互换可得到 B；或者把矩阵 A 的1、2 两行互换后，再把第 2 行的 2 倍加至第 3 行亦可得到 B而 P 2 P 3 A 正是后者，所以应选 B9.设 （分数：2.00）A.a=1 时，B 的秩必为 2B.a=1 时，B 的秩必为 1C.a1 时，B 的秩必为 1 D.a1 时，
14、B 的秩必为 2解析：解析：当 a=1 时，易见 r(A)=1；当 a1 时，则10.已知 （分数：2.00）A.3B.2C.1D.1 或 3 解析：解析：A 是四阶矩阵，那么由伴随矩阵秩的公式二、填空题(总题数：11，分数：22.00)11.设 A 为 4 阶矩阵，且A=2，则A * = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：8）解析：解析：因为A0 时，有 12.设 A，B 是 3 阶矩阵，满足 AB=A 一 B，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设，AB=AB，则(A+E)(EB)=E，因此13.设矩阵 （分数：2.00
15、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 ，又因为 AA * =A * A=AE，则对题中的矩阵方程右乘矩阵 A 得 3AB 一6B=A，即 3(A 一 2E)B=A，该等式两端同时取行列式有3(A 一 2E).B=A=3，即 27A 一2E.B=A=3 14.已知矩阵 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：15.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据矩阵乘积的计算方法16.设 ， 均为 3 维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5）解析：解析
16、：设 =(a 1 ，a 2 ，a 3 ) T ，=(b 1 ，b 2 ，b 3 ) T ，则 17.设方阵 A 满足 A 2 一 A 一 2E=O，并且 A 及 A+2E 都是可逆矩阵，则(A+2E) -1 = 1?（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 A 2 一 A 一 2E=O，即可得(A+2E)(A 一 3E)=一 4E，于是有(A+2E) -1 (A+2E)(A 一 3E)=一4(A+2E) -1 ，因此 18.设矩阵 ，B=A 2 +5A+6E，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：19.设 （分数：2.00
17、）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 B+E=(E+A) 一 1 (E 一 A)+E=(E+A) 一 1 (EA)+(E+A) 一 1 (E+A)=(E+A) 一 1 (EA)+(E+A)=2(E+A) 一 1 ， 20.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据逆矩阵的求法，对已知矩阵和单位矩阵，用相同初等行变换把已知矩阵变为单位矩阵，则单位矩阵在相同的变换下变为已知矩阵的逆矩阵，即21.如果 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：A）解析：解析：已知 且 B 2 =E，因此 三、解答题(总题数：7，分数：20.
18、00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B（分数：4.00）(1).证明 B 可逆；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 E(i，j)是由 n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换后得到的初等矩阵，则有B=E(i,j)A，因此有B=E(i，j)A=一A0，所以矩阵 B 可逆)解析：(2).求 AB 一 1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：AB 一 1 =A E E(i,j)A 一 1 =AA 一 1 E 一 1 (i，j)=E 一 1 (i,j)=E(i，j)解析：2
19、3.设矩阵 A 的伴随矩阵 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AA * =A * A=AE，知A * =A n 一 1 ，因此有 8=A * =A 3 ，于是A=2在等式 ABA 一 1 =BA 一 1 +3E，两边先右乘 A，再左乘 A * ，得 2B=A * B+3A * A由上述结论，则有 (2EA * )B=6E 于是 )解析：已知 3 阶矩阵 A 和三维向量 x，使得 x，Ax，A 2 x 线性无关，且满足 A 3 x=3Ax 一 2A 2 x（分数：4.00）(1).记 P=(x，Ax，A 2 x)求 3 阶矩阵 B，使 A=PBP 一 1 ；（分数：2.00）_正确答
20、案：(正确答案：令等式 A=PBP 一 1 两边同时右乘矩阵 P，得 AP=PB，即 A(x，Ax，A 2 x)=(Ax，A 2 x，A 3 x)=(Ax，A 2 x，3Ax 一 2A 2 x) 所以 )解析：(2).计算行列式A+E（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(1)知 AB，那么 A+EB+E，从而 )解析：设 A，B 为同阶方阵，（分数：6.00）(1).若 A，B 相似，证明 A，B 的特征多项式相等；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 A，B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 PAP=B，则E 一 B=E 一 P 一 1 AP=P 一 1 EP 一 P 一 1
21、AP=P 一 1 (EA)P=P 一 1 EAP=E 一 A所以A、B 的特征多项式相等)解析：(2).举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 )解析：(3).当 A，B 均为实对称矩阵时，证明(1)的逆命题成立（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵，若 A，B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为 1 ， n ，则有 也就是，存在可逆矩阵 P，Q，使 )解析：24.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r(B)=2，因此可设 由 AB=O，即 可得 解此非齐次线性方程组，得唯一
22、解 故所求矩阵为 )解析：25.设 A 为 n 阶矩阵(n2)，A 为 A * 的伴随矩阵，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)当 r(A)=n 时，A0，则有A * =A n-1 0从而 A * 可逆，即r(A * )=n (2)当 r(A)=n 一 1 时，由矩阵秩的定义知，A 中至少有一个 n 一 1 阶子式不为零，即 A * 中至少有一个元素不为零，故 r(A * )1又因 r(A)=n 一 1 时，有A=0，且由 AA * =AE 知，AA * =O因此根据矩阵秩的性质得 r(A)+r(A * )n，把 r(A)=n 一 1 代入上式，得 r(A * )1综上所述，有 r(A * )=1 (3)当 r(A)n 一 2 时，A 的所有 n 一 1 阶子式都为零，也就是 A * 的任一元素均为零，即 A * =O，从而 r(A * )=0)解析：
