1、考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷 8 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设有定义在(-，+)上的函数： （分数：2.00）A.B.C.D.3.设有定义在(-，+)上的函数： （分数：2.00）A.B.C.D.4.极限 （分数：2.00）A.等于B.等于C.等于 e -6 D.不存在5.设 f(x)在 x=a 处连续，(x)在 x=a 处间断，又 f(a)0，则（分数：2.00）A.f(x)在 x=a 处间断B.f(x)在 x=a 处间
2、断C.(x) 2 在 x=a 处间断D.在 x=a 处间断6.“f(x)在点 a 连续”是f(x)在点 a 处连续的( )条件（分数：2.00）A.必要非充分.B.充分非必要.C.充分必要.D.既非充分又非必要.7.设数列 x n ，y n 满足 （分数：2.00）A.若 x n 发散，则 y n 必发散B.若 x n 无界，则 y n 必有界C.若 x n 有界，则 y n 必为无穷小D.若 8.f(x)=xsinx（分数：2.00）A.在(-，+)内有界B.当 x+时为无穷大C.在(-，+)内无界D.当 x时有极限9.设 f(x)，g(x)在 x=x 0 均不连续，则在 x=x 0 处（分
3、数：2.00）A.f(x)+g(x)，f(x).g(x)均不连续B.f(x)+g(x)不连续，f(x)g(x)的连续性不确定C.f(x)+g(x)的连续性不确定，f(x)g(x)不连续D.(x)+g(x)，f(x)g(x)的连续性均不确定10.当 n时 （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小11.设 f(x)= （分数：2.00）A.0B.1C.2D.312.把 x0 + 时的无穷小量 =tanx-x，= 0 x （分数：2.00）A.，B.，C.，D.，13.在 （分数：2.00）A.B.C.D.二、解答题(总题数：15，分数：30.00)14.解
4、答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.设 f(x)在0，+)连续，且满足 （分数：2.00）_16.()设 f(x)，g(x)连续，且 ，求证：无穷小 0 (x) f(t)dt 0 (x) g(t)dt (xa)； ()求 w= （分数：2.00）_17.已知 （分数：2.00）_18.确定常数 a，b，c 的值，使 （分数：2.00）_19.求 x n ，其中 x n = （分数：2.00）_20.证明 （分数：2.00）_21.求 （分数：2.00）_22.设 x n = （分数：2.00）_23.求数列极限 x n ，其中 x n = （分数：2.00）_
5、24.当 x0 时下列无穷小是 x 的 n 阶无穷小，求阶数 n： ()e x4-2x2 -1； ()(1+tan 2 x) sinx -1； () （分数：2.00）_25.设 0，0 为任意正数，当 x+时将无穷小量： （分数：2.00）_26.设 （分数：2.00）_27.设 f(x)在0，1连续，且 f(0)=f(1)，证明：在0，1上至少存在一点 ，使得 （分数：2.00）_28.设 f(x)在(-，+)连续，存在极限 证明：()设 AB，则对 (A，B)， （分数：2.00）_考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷 8 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、
6、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设有定义在(-，+)上的函数： （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：()当 x0 与 x0 时上述各函数分别与某初等函数相同，故连续从而只需再考察哪个函数在点 x=0 处连续注意到若 f(x)= 其中 g(x)在(-，0连续，h(x)在0，+)连续因 f(x)=g(x)(x(-，0) f(x)在 x=0 左连续若又有 g(0)=h(0) f(x)=h(x)(x0，+) f(x)在 x=0 右连续因此 f(x)在 x=0 连续(B)中的函数 g(x)满足
7、：sinx x=0 =(cosx-1) x=0 ，又 sinx，cosx-1 均连续 3.设有定义在(-，+)上的函数： （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：关于(A)：由 x=0 是 f(x)的第一类间断点(跳跃间断点) 关于(C)：由 x=0 是h(x)的第一类间断点(可去间断点) 已证(B)中 g(x)在 x=0 连续因此选(D) 或直接考察(D)由4.极限 （分数：2.00）A.等于 B.等于C.等于 e -6 D.不存在解析：解析：注意到 ，本题为 1 型设 f(x)=*，则原极限= 而 故原极限= 5.设 f(x)在 x=a 处连续，(x)在 x=a 处间断，又 f(a
8、)0，则（分数：2.00）A.f(x)在 x=a 处间断B.f(x)在 x=a 处间断 C.(x) 2 在 x=a 处间断D.在 x=a 处间断解析：解析：连续与不连续的复合可能连续，也可能间断，故(A)，(B)不对不连续函数的相乘可能连续，故(C)也不对，因此，选(D)6.“f(x)在点 a 连续”是f(x)在点 a 处连续的( )条件（分数：2.00）A.必要非充分.B.充分非必要. C.充分必要.D.既非充分又非必要.解析：解析：f(x)在 x=a 连续 f(x)在 x=a 连续(f(x)-f(a)f(x)-f(a) f(x)在 x=a 连续 f(x)在 x=a 连续 如 f(x)=7.
9、设数列 x n ，y n 满足 （分数：2.00）A.若 x n 发散，则 y n 必发散B.若 x n 无界，则 y n 必有界C.若 x n 有界，则 y n 必为无穷小D.若 解析：解析：举例说明(A)，(B)，(C)不正确 x n ：0，1，0，2，0，3，发散，y n ：0，0，0，0，0，0，收敛， x n y n =0(A)不正确 x n ：0，1，0，2，0，3，无界，y n ：1，0，2，0，3，0，无界， x n y n =0(B)不正确 x n ：0，1，0，1，0，1，有界，y n ：1，0，1，0，1，0，不是无穷小， 8.f(x)=xsinx（分数：2.00）A.在
10、(-，+)内有界B.当 x+时为无穷大C.在(-，+)内无界 D.当 x时有极限解析：解析：取 x n =2n+ (-，+)(n=1，2，3，)，则 f(x n )= 9.设 f(x)，g(x)在 x=x 0 均不连续，则在 x=x 0 处（分数：2.00）A.f(x)+g(x)，f(x).g(x)均不连续B.f(x)+g(x)不连续，f(x)g(x)的连续性不确定C.f(x)+g(x)的连续性不确定，f(x)g(x)不连续D.(x)+g(x)，f(x)g(x)的连续性均不确定 解析：解析：如： 在 x=0 均不连续，但 f(x)+g(x)=1，f(x).g(x)=0 在 x=0 均连续又如：
11、 在x=0 均不连续，而 f(x)+g(x)=10.当 n时 （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小 解析：解析：该题就是要计算极限11.设 f(x)= （分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析：f(x)= ，c=0，1 是 f(x)的间断点，按题意，要逐一判 断这些间断点的类型计算可得 由于 f(0+0)与 f(0-0)存在但不相等，故 x=0 是 f(x)的跳跃间断点 x=1 是 f(x)的可去间断点， 又12.把 x0 + 时的无穷小量 =tanx-x，= 0 x （分数：2.00）A.，B.，C.， D.，解析：解析：因 即当
12、x+0 + 时 是比 高阶的无穷小量， 与 应排列为 ，故可排除(A)与(D) 又因 13.在 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：本题四个极限都可以化成 的形式，其中 n=2，3，故只需讨论极限 要选择该极限为+的，仅当 n=3 并取“+”号时，即二、解答题(总题数：15，分数：30.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.设 f(x)在0，+)连续，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先作恒等变形转化为求 型极限，然后用洛必达法则 )解析：16.()设 f(x)，g(x)连续，且 ，求证：无穷小 0 (x) f(t
13、)dt 0 (x) g(t)dt (xa)； ()求 w= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 0 (x) f(t)dt 0 (x) g(t)dt (xa). ()因ln(1+2sinx)2sinx2x(x0)，由题() 0 x3 ln(1+2sint)dt 0 x3 2tdt=t 2 0 x3 =x 6 ， 0 x ln(1+2sint)dt 0 x 2tdt=x 2 . 因此，利用等价无穷小因子替换即得 )解析：17.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式可改写成 由于该式成立，所以必有 ，即 a=9将 a=9 代入原式，并有理化得 )解析：18.确定常数 a，
14、b，c 的值，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于当 x0 时对 常数 a，b 都有 ax 2 +bx+1-e -2x 0，又已知分式的极限不为零，所以当 x0 时必有分母 c x dt0，故必有 c=0由于 )解析：19.求 x n ，其中 x n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作恒等变形后再作放大与缩小： 于是 又 故由夹逼定理知 )解析：20.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先对积分 0 1 e x2 cosnxdx 建立估计式然后证明它的极限为零，这里可行的方法是先对原积分进行分部积分 0 1 e x2 cosnxdx= 0 1 d(sin
15、nx) = e x2 sinnx 0 1 - 0 1 2xe x2 sinnxdx = 0 1 2xe x2 sinnxdx， 于是 0 1 e x2 cosnxdx 0 1 2xe x2 sinnxdx 0 1 2edx 因此 )解析：21.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 x n = 是 f(x)=tanx 在0，1区间上的一个积分和由于 f(x)在0，1上连续，故可积，于是 因此，我们对 x n 用适当放大缩小法，将求 x n 转化为求积分和的极限因 又 于是由夹逼定理得 )解析：22.设 x n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先取对数化为和式的极限 ln
16、x n = ln(n 2 +i 2 )-4lnn，然后作恒等变形(看看能否化为积分和的形式)，则 它是 f(x)=ln(1+x 2 )在0，2区间上的一个积分和(对0，2区间作 2n 等分，每个小区间长 )，则 = 0 2 ln(1+x 2 )dx =xln(1+x 2 ) 0 2 - 0 2 =2ln5-4+2arctan2 因此 )解析：23.求数列极限 x n ，其中 x n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先用等价无穷小因子替换： 于是 现把它转化为函数极限后再用洛必达法则即得 )解析：24.当 x0 时下列无穷小是 x 的 n 阶无穷小，求阶数 n： ()e x4-2x
17、2 -1； ()(1+tan 2 x) sinx -1； () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()e x4-2x2 -1x 4 -2x 2 -2x 2 (x0)，即 当 x0 时 e x4-2x2 -1 是 x 的 2阶无穷小， 故 n=2 ()(1+tan 2 x) sinx -1ln(1+tan 2 x) sinx -1+1 =sinxln(1+tan 2 x)sinxtan 2 xx.x 2 =x 3 (x0)， 即当 x0 时(1+tan 2 x) sinx -1 是 x 的 3 阶无穷小，故 n=3 ()由 是 x 的 4 阶无穷小，即当 x时 是 x 的 4 阶无穷小，
18、故 n=4 () )解析：25.设 0，0 为任意正数，当 x+时将无穷小量： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先考察 再考察 因此，当 x+时，按从低阶到高阶的顺序排列为 )解析：26.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先写出 fg(x)的表达式考察 g(x)的值域： 当 x1，2，5 时 fg(x)分别在不同的区间与某初等函数相同，故连续当 x=2，5 时，分别由左、右连续得连续当 x=1 时，)解析：27.设 f(x)在0，1连续，且 f(0)=f(1)，证明：在0，1上至少存在一点 ，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：即证： 存在零点因 f(x)在0
19、，1连续，所以 F(x)=f(x)- 连续 事实上，我们要证：F(x)在 存在零点(只需证 F(x)在 有两点异号)考察 于是 中或全为 0，或至少有两个值是异号的，于是由连续函数介值定理， ，使得 F()=0，即 f()= )解析：28.设 f(x)在(-，+)连续，存在极限 证明：()设 AB，则对 (A，B)， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用极限的性质转化为有界区间的情形 ()由 f(x)=A 及极限的不等式性质可知， X 1 使得 f(X 1 ) 由 f(x)=B 可知， X 2 X 1 使得 f(X 2 )因 f(x)在X 1 ，X 2 连续，f(X 1 )f(X 2 )，由连续函数介值定理知 (X 1 ，X 2 ) (-，+)，使得 f()= ()因 ，由存在极限的函数的局部有界性定理可知， X 1 使得当(-，X 1 )时 f(x)有界； )解析：
