1、考研数学二(极限、连续与求极限的方法)模拟试卷 7 及答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:3,分数:6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_2. (分数:2.00)A.0B.-C.+D.不存在但也不是3.设 f(x)=x-sinxcosxcos2x,g(x)= (分数:2.00)A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小D.等阶无穷小二、解答题(总题数:25,分数:50.00)4.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_5.()若 x n y n (nN),且存在极限 x n
2、=A, y n =B,则 AB; ()设 f(x)在(a,b)有定义,又 c(a,b)使得极限 =A,则 f(x)在(a,b)有界; ()若 使得当 0x-a 时 (分数:2.00)_6.设 f(x)= 又 a0,问 a 为何值时 (分数:2.00)_7.证明:() 不存在;()设 f(x)= (分数:2.00)_8.求 (分数:2.00)_9.求极限 (分数:2.00)_10.求下列极限: (分数:2.00)_11.求 (分数:2.00)_12.求 (分数:2.00)_13.求 (分数:2.00)_14.求下列极限 f(x): (分数:2.00)_15.求数列极限 (分数:2.00)_16.
3、设 x n = (分数:2.00)_17.求数列极限: () (M0 为常数);()设数列x n 有界,求 (分数:2.00)_18.设 f(x)在0,1上连续,求 (分数:2.00)_19.设 a 1 0,a n+1 = (n=1,2,),求 (分数:2.00)_20.设 x 1 =2,x n+1 =2+ ,n=1,2,求 (分数:2.00)_21.求 (分数:2.00)_22.设(x)= (分数:2.00)_23.求极限 (分数:2.00)_24.求极限 (分数:2.00)_25.求极限 (分数:2.00)_26.求极限 (分数:2.00)_27.求下列极限: (分数:2.00)_28.求
4、 (分数:2.00)_考研数学二(极限、连续与求极限的方法)模拟试卷 7 答案解析(总分:56.00,做题时间:90 分钟)一、选择题(总题数:3,分数:6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。(分数:2.00)_解析:2. (分数:2.00)A.0B.-C.+D.不存在但也不是 解析:解析:因为 e t =+, e t =0,故要分别考察左、右极限由于 3.设 f(x)=x-sinxcosxcos2x,g(x)= (分数:2.00)A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小 D.等阶无穷小解析:解析:由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得二、解答题(总题数
5、:25,分数:50.00)4.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。(分数:2.00)_解析:5.()若 x n y n (nN),且存在极限 x n =A, y n =B,则 AB; ()设 f(x)在(a,b)有定义,又 c(a,b)使得极限 =A,则 f(x)在(a,b)有界; ()若 使得当 0x-a 时 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()不正确在题设下只能保证 AB,不能保证 AB例如,x n = ,y n = ,则 x n y n ,而 y n =0 ()不正确这时只能保证: 点 c 的一个空心邻域 U 0 (c,)=x0x-c使 f(x)在 U 0 (c,)中
6、有界,一般不能保证 f(x)在(a,b)有界例如:f(x)= ,(a,b)=(0,1),取定 c(0,1),则 在(0,1)无界 ()正确因为 ,由存在极限的函数的局部有界性 使得 当 0x-a 时 )解析:6.设 f(x)= 又 a0,问 a 为何值时 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:f(0+0)= = f(0-0)= =1.a.1=a(a0),由 f(0+0)=f(0-0),得a=因此,当且仅当 a= 时,存 )解析:7.证明:() 不存在;()设 f(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()取 x n = ,y n = ,则均有 x n 0,y n 0(n),但
7、不存在 ()已知 f(x)= ,其中 g(x)= 0 x cost 2 dt,由于 而 )解析:8.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:这是求 型极限,用相消法,分子、分母同除以(e x ) 2 得 其中 )解析:9.求极限 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:属 1 型w= )解析:10.求下列极限: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()注意 x0 时, x 2 (1-cosx) x 4 ,e x4 -1x 4 w= =4 ()因为 x 3 (x0),ln(1+2x 3 )2x 3 (x0),所以 )解析:11.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:属 型先
8、作恒等变形 然后用等价无穷小因子替换:x0 时 sin3x 3 x 3 , x 2 -sin 2 x 于是 最后用洛必达法则得 )解析:12.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:属-型先通分化成 型未定式,则有 直接用洛必达法则比较麻烦,若注意到 这表明 x(x)因此对分母先作等价无穷小因子替换后再用洛必达法则,并利用ln(1+x)x(x0)就有 )解析:13.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:这是 1 型的对于幂指数型未定式,总可先用公式 u v =e vlnu ,然后再用洛必达法则,并注意 arctanxx(x0) 由于 ,而 因此 )解析:14.求下列极限 f(x)
9、: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()注意: 因此 ()由于 因此 )解析:15.求数列极限 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:由 (n)用等价无穷小因子替换得 引入函数 f(x)= (x0),则 )解析:16.设 x n = (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:作恒等变形,再用简单手段作适当放大与缩小 注意,已知 因此 )解析:17.求数列极限: () (M0 为常数);()设数列x n 有界,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()存在自然数 k,kM,使 ,当 nk 时,有 即当 nk 时,有 是常数,且 ,由夹逼定理知 ()由于x n 有界,故 M0
10、,对一切 n 有x n M于是 ,由题()的结论及夹逼定理知 )解析:18.设 f(x)在0,1上连续,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:因为 0 1 x n dx= ,且连续函数f(x)在0,1存在最大值记为 M,于是 0 1 x n f(x)dx 0 1 x n f(x)dxM 0 1 x n dx= 又 )解析:19.设 a 1 0,a n+1 = (n=1,2,),求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:显然,0a n 3(n=2,3,),于是a n 有界 令 f(x)= ,则 a n+1 =f(a n ),f(x)= (x0)于是 f(x)在 x0 单调上升,从而a
11、 n 是单调有界的,故极限 a n 存在令 a n =A,对递归方程取极限得 )解析:20.设 x 1 =2,x n+1 =2+ ,n=1,2,求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:令 f(x)=2+ ,则 x n+1 =f(x n )显然 f(x)在 x0 单调下降,因而由上面的结论可知x n 不具单调性易知,2x n x n =a,则由递归方程得 a=2+ ,即 a 2 -2a-1=0,解得 现考察 因此 )解析:21.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:x0 时,t=(1+x) x -10,则(1+x) x -1=tln(1+t)=ln(1+x) x =xln(1+x)
12、,于是用等价无穷小因子替换得 )解析:22.设(x)= (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()首先求出 f(x)注意到 故要分段求出 f(x)的表达式 当x1 时,当x1 时, =ax 2 +bx 于是得 其次,由初等函数的连续性知 f(x)分别在(-,-1),(-1,1),(1,+)上连续 最后,只需考察 f(x)在分界点 x=1 处的连续性这就要按定义考察连续性,分别计算: 从而 f(x)在 x=1 连续 f(1+0)=f(1-0)=f(1) a+b=1= (a+b+1) a+b=1; f(x)在 x=-1 连续 f(-1+0)=f(-1-0)=f(-1) a-b=-1= (a-b
13、-1) a-b=-1 因此 f(x)在 x=1 均连续 )解析:23.求极限 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:恒等变形:分子、分母同乘 然后再同除 x 2 ,得 )解析:24.求极限 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:这是求 型极限,用洛必达法则得 )解析:25.求极限 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:属.0 型可化为 型后作变量替换,接着再用洛必达法则求极限 )解析:26.求极限 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:属-型先作变量替换并转化成 型未定式,然后用洛必达法则 )解析:27.求下列极限: (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:()属 0 0 型.一般方法 因此 =e 0 =1 其中 ()属 0 型 因此 e=e -1 ()属 0 型利用恒等变形及基本极限 可得 )解析:28.求 (分数:2.00)_正确答案:(正确答案:属 型先用等价无穷小关系 arctan 4 xx(x0)化简分母后再用洛必达法则得 )解析: