1、考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷 7 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2. （分数：2.00）A.0B.-C.+D.不存在但也不是3.设 f(x)=x-sinxcosxcos2x，g(x)= （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小D.等阶无穷小二、解答题(总题数：25，分数：50.00)4.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_5.()若 x n y n (nN)，且存在极限 x n
2、=A， y n =B，则 AB； ()设 f(x)在(a，b)有定义，又 c(a，b)使得极限 =A，则 f(x)在(a，b)有界； ()若 使得当 0x-a 时 （分数：2.00）_6.设 f(x)= 又 a0，问 a 为何值时 （分数：2.00）_7.证明：() 不存在；()设 f(x)= （分数：2.00）_8.求 （分数：2.00）_9.求极限 （分数：2.00）_10.求下列极限： （分数：2.00）_11.求 （分数：2.00）_12.求 （分数：2.00）_13.求 （分数：2.00）_14.求下列极限 f(x)： （分数：2.00）_15.求数列极限 （分数：2.00）_16.
3、设 x n = （分数：2.00）_17.求数列极限： () (M0 为常数)；()设数列x n 有界，求 （分数：2.00）_18.设 f(x)在0，1上连续，求 （分数：2.00）_19.设 a 1 0，a n+1 = (n=1，2，)，求 （分数：2.00）_20.设 x 1 =2，x n+1 =2+ ，n=1，2，求 （分数：2.00）_21.求 （分数：2.00）_22.设(x)= （分数：2.00）_23.求极限 （分数：2.00）_24.求极限 （分数：2.00）_25.求极限 （分数：2.00）_26.求极限 （分数：2.00）_27.求下列极限： （分数：2.00）_28.求
4、 （分数：2.00）_考研数学二（极限、连续与求极限的方法）模拟试卷 7 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2. （分数：2.00）A.0B.-C.+D.不存在但也不是 解析：解析：因为 e t =+， e t =0，故要分别考察左、右极限由于 3.设 f(x)=x-sinxcosxcos2x，g(x)= （分数：2.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小 D.等阶无穷小解析：解析：由等价无穷小因子替换及洛必达法则可得二、解答题(总题数
5、：25，分数：50.00)4.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：5.()若 x n y n (nN)，且存在极限 x n =A， y n =B，则 AB； ()设 f(x)在(a，b)有定义，又 c(a，b)使得极限 =A，则 f(x)在(a，b)有界； ()若 使得当 0x-a 时 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()不正确在题设下只能保证 AB，不能保证 AB例如，x n = ，y n = ，则 x n y n ，而 y n =0 ()不正确这时只能保证： 点 c 的一个空心邻域 U 0 (c，)=x0x-c使 f(x)在 U 0 (c，)中
6、有界，一般不能保证 f(x)在(a，b)有界例如：f(x)= ，(a，b)=(0，1)，取定 c(0，1)，则 在(0，1)无界 ()正确因为 ，由存在极限的函数的局部有界性 使得 当 0x-a 时 )解析：6.设 f(x)= 又 a0，问 a 为何值时 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(0+0)= = f(0-0)= =1.a.1=a(a0)，由 f(0+0)=f(0-0)，得a=因此，当且仅当 a= 时，存 )解析：7.证明：() 不存在；()设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()取 x n = ，y n = ，则均有 x n 0，y n 0(n)，但
7、不存在 ()已知 f(x)= ，其中 g(x)= 0 x cost 2 dt，由于 而 )解析：8.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是求 型极限，用相消法，分子、分母同除以(e x ) 2 得 其中 )解析：9.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：属 1 型w= )解析：10.求下列极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()注意 x0 时， x 2 (1-cosx) x 4 ，e x4 -1x 4 w= =4 ()因为 x 3 (x0)，ln(1+2x 3 )2x 3 (x0)，所以 )解析：11.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：属 型先
8、作恒等变形 然后用等价无穷小因子替换：x0 时 sin3x 3 x 3 ， x 2 -sin 2 x 于是 最后用洛必达法则得 )解析：12.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：属-型先通分化成 型未定式，则有 直接用洛必达法则比较麻烦，若注意到 这表明 x(x)因此对分母先作等价无穷小因子替换后再用洛必达法则，并利用ln(1+x)x(x0)就有 )解析：13.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是 1 型的对于幂指数型未定式，总可先用公式 u v =e vlnu ，然后再用洛必达法则，并注意 arctanxx(x0) 由于 ，而 因此 )解析：14.求下列极限 f(x)
9、： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()注意： 因此 ()由于 因此 )解析：15.求数列极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 (n)用等价无穷小因子替换得 引入函数 f(x)= (x0)，则 )解析：16.设 x n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作恒等变形，再用简单手段作适当放大与缩小 注意，已知 因此 )解析：17.求数列极限： () (M0 为常数)；()设数列x n 有界，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()存在自然数 k，kM，使 ，当 nk 时，有 即当 nk 时，有 是常数，且 ，由夹逼定理知 ()由于x n 有界，故 M0
10、，对一切 n 有x n M于是 ，由题()的结论及夹逼定理知 )解析：18.设 f(x)在0，1上连续，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0 1 x n dx= ，且连续函数f(x)在0，1存在最大值记为 M，于是 0 1 x n f(x)dx 0 1 x n f(x)dxM 0 1 x n dx= 又 )解析：19.设 a 1 0，a n+1 = (n=1，2，)，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然，0a n 3(n=2，3，)，于是a n 有界 令 f(x)= ，则 a n+1 =f(a n )，f(x)= (x0)于是 f(x)在 x0 单调上升，从而a
11、 n 是单调有界的，故极限 a n 存在令 a n =A，对递归方程取极限得 )解析：20.设 x 1 =2，x n+1 =2+ ，n=1，2，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=2+ ，则 x n+1 =f(x n )显然 f(x)在 x0 单调下降，因而由上面的结论可知x n 不具单调性易知，2x n x n =a，则由递归方程得 a=2+ ，即 a 2 -2a-1=0，解得 现考察 因此 )解析：21.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x0 时，t=(1+x) x -10，则(1+x) x -1=tln(1+t)=ln(1+x) x =xln(1+x)
12、，于是用等价无穷小因子替换得 )解析：22.设(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()首先求出 f(x)注意到 故要分段求出 f(x)的表达式 当x1 时，当x1 时， =ax 2 +bx 于是得 其次，由初等函数的连续性知 f(x)分别在(-，-1)，(-1，1)，(1，+)上连续 最后，只需考察 f(x)在分界点 x=1 处的连续性这就要按定义考察连续性，分别计算： 从而 f(x)在 x=1 连续 f(1+0)=f(1-0)=f(1) a+b=1= (a+b+1) a+b=1； f(x)在 x=-1 连续 f(-1+0)=f(-1-0)=f(-1) a-b=-1= (a-b
13、-1) a-b=-1 因此 f(x)在 x=1 均连续 )解析：23.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：恒等变形：分子、分母同乘 然后再同除 x 2 ，得 )解析：24.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是求 型极限，用洛必达法则得 )解析：25.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：属.0 型可化为 型后作变量替换，接着再用洛必达法则求极限 )解析：26.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：属-型先作变量替换并转化成 型未定式，然后用洛必达法则 )解析：27.求下列极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()属 0 0 型.一般方法 因此 =e 0 =1 其中 ()属 0 型 因此 e=e -1 ()属 0 型利用恒等变形及基本极限 可得 )解析：28.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：属 型先用等价无穷小关系 arctan 4 xx(x0)化简分母后再用洛必达法则得 )解析：
