1、考研数学二（极限、连续与求极限的方法）-试卷 1 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.极限 （分数：2.00）A.等于B.等于C.等于 e -6 D.不存在3.设 f()在 a 处连续，()在 a 处间断，又 f(a)0，则（分数：2.00）A.f()在 a 处间断B.f()在 a 处间断C.() 2 在 a 处间断D.等在 a 处间断4.“f()在点 a 连续”是f()在点 a 处连续的( )条件（分数：2.00）A.必要非充分B.充分非必要C.充要
2、D.既非充分又非必要5.设数列 n ，y n 满足 （分数：2.00）A.若 n 发散，则 y n 必发散B.若 n 无界，则 y n 必有界C.若 n 有界，则 y n 必为无穷小D.若 6.f()sin（分数：2.00）A.在(，)内有界B.当 时为无穷大C.在(，)内无界D.当 时有极限二、填空题(总题数：4，分数：8.00)7. 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.设 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 K，L， 为正的常数，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：46.00)11.解答题解答应写出文
3、字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.求极限： （分数：2.00）_13.求极限： （分数：2.00）_14.求极限： （分数：2.00）_15.求极限： （分数：2.00）_16.求极限： （分数：2.00）_17.求极限： （分数：2.00）_18.求极限： （分数：2.00）_19.求极限： （分数：2.00）_20.求极限： （分数：2.00）_21.求极限： （分数：2.00）_22.求极限： （分数：2.00）_23.求极限： （分数：2.00）_24.求极限： （分数：2.00）_25.求极限： （分数：2.00）_26.求极限： （分数：2.00）_27.求极限
4、： n ，其中 n （分数：2.00）_28.求极限： f()，其中 f() （分数：2.00）_29.设 n+1 ln(1 n )， 1 0，()求 ；()求 （分数：2.00）_30.设 a0 为常数， （分数：2.00）_31.设 （分数：2.00）_32.讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型： （分数：2.00）_33.设 0 0 1， n+1 n (2 n )，求证： n 收敛并求 （分数：2.00）_考研数学二（极限、连续与求极限的方法）-试卷 1 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有
5、一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.极限 （分数：2.00）A.等于 B.等于C.等于 e -6 D.不存在解析：解析：注意到 1，本题为 1 型设 f() ，则原极限 而 故原极限 3.设 f()在 a 处连续，()在 a 处间断，又 f(a)0，则（分数：2.00）A.f()在 a 处间断B.f()在 a 处间断C.() 2 在 a 处间断D.等在 a 处间断 解析：解析：连续与不连续的复合可能连续，也可能间断，故选项 A，B 不对不连续函数的相乘可能连续，故选项 C 也不对，因此，选 D4.“f()在点 a 连续”是f()在点 a 处连续的( )条件（分数：2.00）A.
6、必要非充分B.充分非必要 C.充要D.既非充分又非必要解析：解析：f()在 a 连续 f()在 a 连续(f()f(a)f()f(a) f()在 a 连续 f()在 a 连续 如 f()5.设数列 n ，y n 满足 （分数：2.00）A.若 n 发散，则 y n 必发散B.若 n 无界，则 y n 必有界C.若 n 有界，则 y n 必为无穷小D.若 解析：解析：若 为无穷小，则 y n 6.f()sin（分数：2.00）A.在(，)内有界B.当 时为无穷大C.在(，)内无界 D.当 时有极限解析：二、填空题(总题数：4，分数：8.00)7. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
7、：正确答案：3）解析：解析：原式8.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12）解析：9.设 K，L， 为正的常数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：K L 1- ）解析：解析：属 1 型极限原式 ，而 因此，原式 10.设 f() （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：f()在 0 连续 f(0)由于三、解答题(总题数：23，分数：46.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：属 型利用洛必达法则 原式 )解析
8、：13.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 p n ，则原式 又 )解析：14.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：属型先通分，有 )解析：15.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式 )解析：16.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：属 0 0 型故原式 ，而 )解析：17.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：属 0 型原式 ，而 )解析：18.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式 )解析：19.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求极限： （分数：2.0
9、0）_正确答案：(正确答案：属 型 )解析：21.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 ，则 所以原极限 )解析：22.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：属 1 型极限原极限e A ，而 因此，原极限 )解析：23.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：被积函数中含有参数 ，把因子 提到积分号外后，易见所求极限为“ ”型未定式应当想到洛必达法则， 原式 )解析：24.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知：设 f()A0， ()，则 又 于是 只需再求 a 1 a 2 的情形： 因此，原极限 )解析：25.求极限： （分数：2
10、.00）_正确答案：(正确答案：注意 sintt，ln(1t)t(t0)，于是 ln (k 为常数)， () 因此，先用求极限的四则运算法则，再利用等价无穷小因子替换可得 )解析：26.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意立方和公式 1 3 2 3 n 3 (12n) 2 则 原式 )解析：27.求极限： n ，其中 n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：注意 2 ，为利用倍角公式化简 n ，两边同乘 sin ，得 从而 0 时， 0 时， n 1，则 )解析：28.求极限： f()，其中 f() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：分别求左、右极限： 因此
11、)解析：29.设 n+1 ln(1 n )， 1 0，()求 ；()求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()注意：ln(1) (0)，于是 ln(1)0 (n1，2，3，) n 有下界 0 极限 aln(1a)又 a0 时aln(1a)，故 a0 () )解析：30.设 a0 为常数， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 0a1 时 0 n a n ， a n 0；当 a1 时 n 0； 当 a1 时 0 n 0 因此 )解析：31.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设知 利用(*)，一方面有 另一方面，直接计算又有 3a， 这表明 3a0 a3 将 a3
12、代入(*)式，即得 b 故 b 综合得 a3，b)解析：32.讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()这是初等函数，它在定义域( 2 1)上连续因此，1 时均连续1 时， 故 1 是第一类间断点(跳跃的)又 ，故 1 也是第一类间断点(可去) ()先求极限函数 1 时，1 与1 分别与某初等函数相同，故连续 1 时均是第一类间断点(跳跃间断点)因左、右极限均 ，不相等 ()在区间(0，)，1，0)上函数 y 分别与某初等函数相同，因而连续在 0 处 y 无定义，而 推出0 是第一类间断点(可去间断点) ()f() 是初等函数，在(0，2，3)内
13、f()有定义处均连续仅在 tan( )无定义处及 tan( )0 处 f()不连续 在(0，2)内，tan( )无定义的点是： 0 的点是： 因此 f()的间断点是： 为判断间断点类型，考察间断点处的极限： ，则 是第二类间断点(无穷型的)又 ，则 是第一类间断点(可去型的) ()先求 fg()表达式 当1，1 时，fg()分别与某初等函数相同，因而连续当 1 时，分别求左、右极限 )解析：33.设 0 0 1， n+1 n (2 n )，求证： n 收敛并求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f()(2)，则 n+1 f( n )易知 f()2(1)0， (0，1) 因 0 0 1 1 0 (2 0 )1( 0 1) 2 (0，1) 若 n (0，1) n+1 n (2 n )(0，1) 又 1 0 0 (1 0 )0 n 单调上升且有界 极限 n a 由递归方程得 aa(2a)显然 a0 a1因此 )解析：
