1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 24 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设线性无关的函数 y 1 y 2 ，y 3 都是二阶非齐次线性微分方程 y”+py+qy=f(x)的解，C 1 、C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3B.C 1 y 2 +C 2 y 2 一(C 1 +C 2 )y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(1 一 C 1 C 2 )y 3D.C 1 y 1
2、+C 2 y 2 +(1 一 C 1 C 2 )y 3二、填空题(总题数：4，分数：8.00)3.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_4.微分方程(y 2 +x)dx 一 2xydy=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_5.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_6.方程 y“一 3y+2y=2e x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_8.求微分方程 （分数：2.00）_9.求下列方程通解或满足给定初始条件的特解： 1)y+1=xe x+y 2) （分
3、数：2.00）_10.已知 y 1 =3，y 2 =3+x 2 ，y 3 =3+e x 是二阶线性非齐次方程的解，求方程通解及方程（分数：2.00）_11.已知函数 y=e 2x +(x+1)e x 是二阶常系数线性非齐次方程 y”+ay+by=ce x 的一个特解，试确定常数 a，b，c 及该方程的通解（分数：2.00）_12.设有微分方程 y一 2y=(x)，其中 (x)= （分数：2.00）_13.已知 y“+(x+e 2y )y 3 =0。若把 x 看成因变量，y 看成自变量，则方程化为什么形式?并求此方程通解（分数：2.00）_14.求分别满足下列关系式的 f(x) 1)f(x)=
4、0 x f(t)dt，其中 f(x)为连续函数； 2)f(x)+xf(一x)=x（分数：2.00）_15.设 f(x)连续，且 0 1 f(tx)dt= （分数：2.00）_16.设 f(x)在 x0 上有定义，且对任意正实数 x，y f(xy)=xf(y)+yf(x),f(1)=2，试求 f(x)（分数：2.00）_17.设 (x)连续，且 (x)+ 0 x (x 一 u)(u)du=e x +2x 0 1 (xu)du,试求 (x)（分数：2.00）_18.设 f(x)在(0，+)上可导，f(1)=3 1 xy f(t)dt=x 1 y f(t)dt+y 1 x f(t)dt 求 f(x)
5、（分数：2.00）_19.设(r，)为极坐标，r0，02，设 u=u(r，)具有二阶连续偏导数，并满足 （分数：2.00）_20.设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 f u (u，v)+f v (u，v)=uv 求 y=e -2x f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解（分数：2.00）_21.设函数 f(t)= （分数：2.00）_22.求方程 y (4) -y“=0 的一个特解，使其在 x0 时与 x 3 为等价无穷小（分数：2.00）_23.设对任意 x0，曲线 y=f(x)上点(x，f(x)处的切线在 y 轴上的截距等于 （分数：2.00）_24.在上半平面求一条向上凹的
6、曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ 长度的导数(Q 是法线与 x 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行（分数：2.00）_25.设函数 f(x)在1，+上连续，若由曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 V(t)= t 2 f(t)一 f(1)试求 y=f(x)所应满足的微分方程并求该微分方程满足条件 （分数：2.00）_26.以 yOz 坐标面上的平面曲线段 y=f(z)(0zh)绕 z 轴旋转所构成的旋转曲面和 xOy 坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为 16c
7、m 3 ，如果以 3 cm 3 s 的速率把水注入容器，水表面的面积以cm 3 s 增大，试求曲线 y=f(z)的方程（分数：2.00）_27.要设计一形状为旋转体的水泥桥墩，桥墩高为 h，上底面半径为 a，要求桥墩在任一水面上所受上部桥墩的平均压强为一常数 P，设水泥比重为 ，试求桥墩形状（分数：2.00）_考研数学二（常微分方程）模拟试卷 24 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：2，分数：4.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设线性无关的函数 y 1 y 2 ，y 3 都是二阶非齐次线性微分
8、方程 y”+py+qy=f(x)的解，C 1 、C 2 是任意常数，则该非齐次方程的通解是（分数：2.00）A.C 1 y 1 +C 2 y 2 +y 3B.C 1 y 2 +C 2 y 2 一(C 1 +C 2 )y 3C.C 1 y 1 +C 2 y 2 一(1 一 C 1 C 2 )y 3D.C 1 y 1 +C 2 y 2 +(1 一 C 1 C 2 )y 3 解析：二、填空题(总题数：4，分数：8.00)3.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：4.微分方程(y 2 +x)dx 一 2xydy=0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （
9、正确答案：正确答案：y 2 =x(ln|x|+C)）解析：5.微分方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：6.方程 y“一 3y+2y=2e x 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=C 1 e x +C 2 e 2x 一 2xe x）解析：三、解答题(总题数：21，分数：42.00)7.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：8.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：9.求下列方程通解或满足给定初始条件的特解： 1)y+1=xe x+y 2) （分数：2.00）_正确答
10、案：(正确答案： 2)x(csc(x+y)一 cot(x+y)=C 3)y=(x+C)cosx 4)y=C 1 ln|1+x|+C 2 )解析：10.已知 y 1 =3，y 2 =3+x 2 ，y 3 =3+e x 是二阶线性非齐次方程的解，求方程通解及方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所求方程为(2x 一 x 2 )y”+(x 2 一 2)y+2(1 一 x)y=6(1-x)通解为： y=C 1 x 2 +C 2 e x +3)解析：11.已知函数 y=e 2x +(x+1)e x 是二阶常系数线性非齐次方程 y”+ay+by=ce x 的一个特解，试确定常数 a，b，c 及该方
11、程的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a=一 3，b=2,c=一 1y=C 1 e 2x +C 2 e x +xe x)解析：12.设有微分方程 y一 2y=(x)，其中 (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.已知 y“+(x+e 2y )y 3 =0。若把 x 看成因变量，y 看成自变量，则方程化为什么形式?并求此方程通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程化为 x y ”一 x=e 2y 通解为 x=C 1 e y +C 2 e -y + )解析：14.求分别满足下列关系式的 f(x) 1)f(x)= 0 x f(t)dt，其中 f(x
12、)为连续函数； 2)f(x)+xf(一x)=x（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1)f(x)=0 2)x-arctanx+ )解析：15.设 f(x)连续，且 0 1 f(tx)dt= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=Cx+2)解析：16.设 f(x)在 x0 上有定义，且对任意正实数 x，y f(xy)=xf(y)+yf(x),f(1)=2，试求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=2xlnx.)解析：17.设 (x)连续，且 (x)+ 0 x (x 一 u)(u)du=e x +2x 0 1 (xu)du,试求 (x)（分数：2.00）_
13、正确答案：(正确答案： )解析：18.设 f(x)在(0，+)上可导，f(1)=3 1 xy f(t)dt=x 1 y f(t)dt+y 1 x f(t)dt 求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=3lnx+3)解析：19.设(r，)为极坐标，r0，02，设 u=u(r，)具有二阶连续偏导数，并满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：u=C 1 +C 2 lnr)解析：20.设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 f u (u，v)+f v (u，v)=uv 求 y=e -2x f(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解（分数：2.00）_正确答案：(正
14、确答案：y+2y=x 2 e -2x )解析：21.设函数 f(t)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(t)=(4t 2 +1) )解析：22.求方程 y (4) -y“=0 的一个特解，使其在 x0 时与 x 3 为等价无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=-6x+3e x 一 3e -x)解析：23.设对任意 x0，曲线 y=f(x)上点(x，f(x)处的切线在 y 轴上的截距等于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=C 1 lnx+C 2)解析：24.在上半平面求一条向上凹的曲线，其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段 PQ
15、长度的导数(Q 是法线与 x 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设函数 f(x)在1，+上连续，若由曲线 y=f(x)，直线 x=1，x=t(t1)与 x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 V(t)= t 2 f(t)一 f(1)试求 y=f(x)所应满足的微分方程并求该微分方程满足条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：3f 2 (t)=2tf(t)+t 2 f(t)解析：26.以 yOz 坐标面上的平面曲线段 y=f(z)(0zh)绕 z 轴旋转所构成的旋转曲面和 xOy 坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为 16cm 3 ，如果以 3 cm 3 s 的速率把水注入容器，水表面的面积以cm 3 s 增大，试求曲线 y=f(z)的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=f(z)= )解析：27.要设计一形状为旋转体的水泥桥墩，桥墩高为 h，上底面半径为 a，要求桥墩在任一水面上所受上部桥墩的平均压强为一常数 P，设水泥比重为 ，试求桥墩形状（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：桥墩应为曲线段 )解析：
